二、数字积分法插补

二 数字积分法插补 数字积分法又称数字微分分析器 DigitalDifferentialAnalyzer 简称DDA 采用该方法进行插补 具有运算速度快 逻辑功能强 脉冲分配均匀等特点 且只输入很少的数据 就能加工出直线 圆弧等较复杂的曲线轨迹 精度也能满足要求 因此 该方法在数控系统中得到广泛的应用 一 数字积分的基本原理如图 从时刻t 0到t 函数Y f t 曲线所包围的面积可表示为 S f t dt若将0 t的时间划分成时间间隔为 t的有限区间 当 t足够小时 可得公式 S f t dt Yi t即积分运算可用一系列微小矩形面积累加求和来近似 T O Y Y f t t Yo t t 0 0 t i 0 n 1 若 t取最小基本单位 1 则上式可简化为 S Yi 累加求和公式或矩形公式 这种累加求和运算 即积分运算可用数字积分器来实现 n 1 i 0 被积函数寄存器 累加器 余数寄存器 t Y 存放Y值 若求曲线与坐标轴所包围的面积 求解过程如下 被积函数寄存器用以存放Y值 每当 t出现一次 被积函数寄存器中的Y值就与累加器中的数值相加一次 并将累加结果存于累加器中 如果累加器的容量为一个单位面积 则在累加过程中 每超过一个单位面积 累加器就有溢出 当累加次数达到累加器的容量时 所产生的溢出总数就是要求的总面积 即积分值 被积函数寄存器 累加器 余数寄存器 t Y 存放Y值 被积函数寄存器与累加器相加的计算方法 例 被积函数寄存器与累加器均为3位寄存器 被积函数为5 求累加过程 101101101101 000 101 010 111101010111100101101101101 100 001 110 011001110011000经过2 8次累加完成积分运算 因为有5次溢出 所以积分值等于5 3 二 数字积分直线插补如图 直线段OA 起点位于原点 终点为A Xe Ye 东电沿X Y坐标移动的速度为Vx Vy 则动点沿X Y坐标移动的微小增量为 X Vx t Y Vy t若动点沿OA匀速移动 V Vx Vy均为常数 则有 VVxVyOAXeYe成立 X O Y A Xe Ye Vx Vy V K 因而可以得到坐标微小位移增量为 X Vx t KXe t Y Vy t KYe t所以 可以把动点从原点走向终点的过程看作X Y坐标每经过一个单位时间间隔以KXe KYe进行累加的过程 则可得直线积分插补近似表达式为 X KXe tY KYe t X O Y A Xe Ye Vx Vy V i 1 m i 1 m 由此可以得到直线插补的数字积分插补器 JVx KXe 被积函数寄存器 JRx 累加器 JRy 累加器 JVy KYe 被积函数寄存器 t X X轴溢出脉冲 Y轴溢出脉冲 Y 设经过m次累加 X Y坐标分别达到终点 则有 X KXe t KmXe XeY KYe t KmYe Ye由该式可知 mK 1 即m 1 K这样 经过m次累加后 X Y坐标分别到达终点 而溢出脉冲总数即为 X XeY Ye X O Y A Xe Ye Vx Vy V m m i 1 i 1 确定K的取值 根据每次增量 X Y不大于1 以保证每次分配的进给脉冲不超过1 即需满足 X KXe 1 Y KYe 1其中Xe Ye的最大允许值受被积函数寄存器容量的限制 假定寄存器有n位 则Xe Ye的最大允许值为2 1 若取K 1 2 则必定满足 KXe 2 1 2 1KYe 2 1 2 1由此可定 动点从原点到达终点的累加次数为 m 1 K 2 n n n n n n n 例 插补第一象限直线OA 起点为O 0 0 终点为A 5 3 取被积函数寄存器分别为JVx JVy 余数寄存器分别为JRx JRy 终点计数器为JE 且都是三位二进制寄存器 试写出插补计算过程并绘制轨迹 X O Y 1 2 3 4 5 1 2 3 A 5 3 插补计算过程如下 累加次数 t X积分器 JVx JRx 溢出 X Y积分器 JVy JRy 溢出 Y 终点计数器JE 备注 0 1 2 3 4 5 6 7 8 101 000 011 000 初始状态 101 101 000 101 101 101 101 101 101 101 011 011 011 011 011 011 011 011 011 111 第一次累加 010 1 110 JRx有进位 X溢出 110 111 001 1 101 JRy有进位 Y溢出 100 1 100 100 X溢出 001 1 111 011 X溢出 110 010 1 010 Y溢出 011 1 101 001 X溢出 000 1 000 1 000 X Y同时溢出JE 0 插补结束 加工轨迹如下 X O Y 1 2 3 4 5 1 2 3 A 5 3 作业 插补第一象限直线OA 起点为O 0 0 终点为A 2 6 取被积函数寄存器分别为JVx JVy 余数寄存器分别为JRx JRy 终点计数器为JE 且都是三位二进制寄存器 试写出插补计算过程并绘制轨迹 X O Y 1 2 3 4 5 A 2 6 6 1 2 插补计算过程如下 累加次数 t X积分器 JVx JRx 溢出 X Y积分器 JVy JRy 溢出 Y 终点计数器JE 备注 0 1 2 3 4 5 6 7 8 010 000 110 000 初始状态 010 010 000 010 010 010 010 010 010 010 110 110 110 110 110 110 110 110 110 111 第一次累加 100 100 JRy有进位 Y溢出 110 110 010 1 101 JRy有进位 Y溢出 000 1 000 100 X Y同时溢出 010 110 011 X Y同时无溢出 100 100 1 010 Y溢出 110 010 001 Y溢出 000 1 000 1 000 X Y同时溢出JE 0 插补结束 1 1 1 加工轨迹如下 X O Y 1 2 3 4 5 A 2 6 6 1 2 三 数字积分圆弧插补如图所示 设加工半径为R的第一象限逆时针圆弧AB 坐标原点定在圆心上 A Xo Yo 为圆弧起点 B Xe Ye 为圆弧终点 Pi Xi Yi 为加工动点 X O Y A Xo Yo B Xe Ye Pi Xi Yi 如图所示 可以得到 VVxVyRYiXi即Vx KYi Vy KXi因而可以得到坐标微小位移增量为 X Vx t KYi t Y Vy t KXi t设 t 1 K 1 2则有 X O Y A Xo Yo B Xe Ye Pi Xi Yi R V Vx Vy K n X 1 2 i 1 m Yi Y 1 2 i 1 m Xi n n 由可看出 用DDA法进行圆弧插补时 是对加工动点的坐标Xi和Yi的值分别进行累加 若积分累加器有溢出 则相应坐标轴进给一步 则圆弧积分插补器如图所示 X 1 2 i 1 m Yi Y 1 2 i 1 m Xi n n 圆弧积分插补器 JVx Y 被积函数寄存器 JRy 累加器 JRx 累加器 JVy X 被积函数寄存器 t X X轴溢出脉冲 Y轴溢出脉冲 Y 例 设圆弧AB为第一象限逆圆弧 起点A 0 终点为B 0 用DDA法加工圆弧AB X O Y 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 插补计算过程如下 累加次数 t X积分器 JVx Yi JRy 溢出 X Y积分器 Jvy Xi JRx 溢出 Y X终点计数器 备注 0 1 2 3 4 5 000 000 101 101 初始状态 000 000 000 000 001 001 001 010 010 011 101 101 101 101 101 101 101 第一次累加 000 010 Y溢出 修正Yi 100 001 101 111 100 X Y无溢出 010 100 011 Y溢出修正Yi 100 001 010 Y溢出修正Yi 1 1 Y终点计数器 101 101 101 101 1 101 插补计算过程如下 累加次数 t X积分器 JVx Yi JRy 溢出 X Y积分器 Jvy Xi JRx 溢出 Y X终点计数器 备注 6 7 9 11 011 111 101 010 无溢出 011 010 110 100 100 100 101 101 101 010 101 100 100 011 011 011 001 X Y同时溢出 修正Xi Yi 010 011 011 000 X Y同时溢出 Y到终点停止迭代 100 X溢出修正Xi Y终点计数器 101 100 010 1 1 8 110 100 100 111 无溢出 1 1