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数学幻方的排列与规律 由龟背上的数字想到的 传说在很久以前，夏禹治水来到洛水。洛水中浮起一只大龟，龟背上有许多奇怪的图，图上有许多圈和点。一个人好奇地数了一下龟背上的点数，发现这里有非常有趣的关系（如图）492357816 （图）并有文字记载：“九宫之礼，二四为肩，六八为足，左三右七，带九履一，五居中央。”这样一来不管横、竖、斜三个数相加其和为15。这就是我国古代的“九宫图”，国外把它叫“幻方”。 一、古代的幻方 除了上述的“九宫图”，人们还在印度和阿拉伯发现过幻方，但大都是在一些神庙中，那时的人都认为这种方图能够辟邪恶、驱瘟疫。而且，有许多关于迷信的传说，宗教和迷信当然不足为信，但是这种方图却反映了正整数的一种性质。二、幻方的排列方法幻方的排列靠碰运气是不行的，正因为它反应了正整数的一种性质，所以它的排列还是有方法发可寻的，还是以刚才的“九宫图”为例，先画一个图（如图），把1到9从小到大斜排进图中。然后把最 1 42753869（图）上面的1和最下面的9对调，左边的7和右边的3对调，最后把最外边的四个数填进中间的空格中，就得到了图。至于这种方法的来源，完全是通过观察找规律而得来的，拿图来说，细心的人就会发现，它只不过是将一个从左往右，从上至下填好1-9的一个方图顺时针旋转了45度，这时一个很奇妙的规律就出现了，三个数的横行，三个数的纵列，两条对角线的和都等于15，也就是幻方常数。我们还会发现，两个数的横行4和2，8和6的差值相等为2，两个数的纵列8和4，6和2的差值相等为4，三个数的横行两端7和3的差值为4，是2的2倍，三个数的纵列两端9和1的差值为8，是4的2倍，所以我们只要将7和3对调，使差值4，满足4和2，8和6二倍的差值2，同理9和1对调。经多次计算，五阶、七阶、九阶等奇数阶幻方都具有这个规律。奇数阶幻方的排列方法也就由此规律而得这种方法岁说巧妙，但也有限制，它只适用于“九宫”这种三阶幻方，和与其类似的五阶，七阶，九阶等奇数阶幻方，原因显而易见，偶数阶幻方无法画成图的样子。但偶数阶幻方也像奇数阶幻方一样有着特殊的排列方法。偶数阶幻方又分为两种，单偶数阶幻方和双偶数阶幻方，单偶数阶幻方是六阶、十阶、十四阶一类的幻方，双偶数阶幻方是指四阶、八阶、十二阶一类的幻方。当然，两种幻方自然有两种不同的排列方法。单偶数阶幻方设阶数为x，作x行x列的方图（如图以六阶幻方为例），把1到x2从左到右，从上到下填入方图，再把由四个数，十六个数，等正方形个数所组成正方形的两组对角上的数对调（如图），再把第一行和最后一行，第二行和倒数第二行(以此类推)，任取（除对角线上的数）(x/2-2)个数对调，同时将左起第一行和右起第一行，左起第二行和右起第二行（以此类推），任取（除对角线上的数）(x/2-2)个数对调，这样一个六阶幻方便排列好了。这种幻方的排列方法同样来源于差值，我首先发现，方图两对角线的和为幻方常数，所以要在保留对角线的基础上，寻找差值，进行对调。根据图我们能发现，31和1，32和2，33和3一一对应的两个数的差值都相等，为了尽量减少对调数字的个数，先将对角线的范围内斜向对调，又因为对应行差值为x倍的对应数差值，所以为了要满足差值，对调数字的个数应为x/2，又因为对角线已经调换了两个数字，所以在对调的数字的个数应为（x/2）-2个，但一定要是对应数相对调，只有保证这一点，就一定能满足差值的互相弥补。 123456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536 图363129262221161511861 图双偶数阶数幻方设阶数为y,作y行y列方图（如图以八阶幻方为例），分别作出每16个格所组成的正方形的对2367912131617202124262730313435383941444548495253566263（图）角线。从左上角开始，从左到右，从上到下按着自然数1到y2依次填写。但是要注意的是被对角线割开的格不要填数，再从右下角开始，从右向左，从下到上，从1到y2依次把没填上的其它自然数填到被割开的格子里，着就得到了排列好的双偶数阶幻方。其实，这种双偶数阶幻方的排列方法，是根据单偶数阶幻方的排列方法创新出来的。里面所体现的规律都是一致的。三、幻方的规律以上所说的各种幻方，都是由1开始的，按自然数顺序依次填写到n2为止，这种幻方就叫做标准幻方，它们的排列方法之所以有规律可寻，重要是由于每一个标准幻方的幻方常数都是有规律可寻的，它们都遵循一个幻方常数公式m=n(1+n2)/2,有了这个公式就容易算出标准幻方的幻方常数。比如M3=3（1+32)/2=15,M4=4(1+42)/2=34。类似的可求出M5=65、M6=111、M7=175、M8=260等等。当然，这个公式也是可以求出来的，可以先把n阶幻方的所有数和先求出来，再除以n。计算方法如下：S=1+2+3+(n2-1)+n2 =(1+n2)+(2+ n2)+(3+ n2-2)+ = n2(1+ n2)/2除以n、的Mn=1/n* n2(1+ n2)/2=n(1+ n2)/2有了这种求幻方常数的方法，以及前面所说的幻方的排列方法，就可以排列标准幻方了。但是，对其它特殊的幻方就又有着不同的规律和方法。 四、各种各样的幻方博览会地板上的幻方在一次国际博览会上，人们惊奇的发现地板上的方砖上都写着数字。无论你按横竖斜的方向任意找四个相临的数，加起来的和都等于34（如图）。显然这是一个由四阶小幻方组成的组合幻方而已，而幻方71211471211471211421381121381121381116310516310516310596154961549615471211471211471211421381121318112131811163105163105163105961549615496154常数是34罢了。 图铜版画里的幻方16世纪德里著名画家先勒发表了一幅铜版画，画中有一个四阶幻方，排列得十分巧妙（如图）它除了具有标准幻方的一般规律，还有一些十分特殊的规律。1、 上面两行数的平方和等于下面两行数的平方和：162+32+22+132+102+162+82=74892+62+72+122+4+152+142+12=7482、 第一列和第三列的平方和等于第二列和第四列的平方和：162+52+92+42+22+112+7+142=74832+102+62+152+132+82+122+12=7483、 两条对角线上数的平方和等于不在对角线上数的平方和：162+102+72+12+132+112+62+42=74832+22+52+82+92+122+152+142=7484、 两条对角线上的立方和等于不在对角线上数的立方和：163+103+73+13+133+113+63+43=924833+23+53+83+93+123+153+143=924816321351011896712415141（图）更为奇妙的是这个幻方最后一行的中间数字15、14是这幅画的出版年代。“双重幻方“平方幻方这种幻方的规律是把幻方内的每个数的平方填入幻方，又将得到一个新幻方（如图）53135605734830199534647561812162242395261271633725243144450264644938431323415115221286240544820111017554536586293273359图具有这种性质的幻方并不多见，直到现在，被发现的双重幻方共有二百多个。还有一种叫乘积幻方。横、竖、斜除了和相等外，其乘积也相等。富兰克林幻方（如图）美国著名科学家富兰克林编写了一个八阶幻方，是有奇特的规律，将幻方如图的联线两两相加。所得的和都等于65。数学幻方是人类智慧的结晶，现代科学家热衷于幻方，已经不是为了好玩或者驱灾辟邪，而且随着电子计算机的出现，幻方在程序设计、组合分析、人工智能等