2013年高三第一轮复习理科数学__导数的计算及其几何意义.doc

导数的计算及其几何意义考点1 导数的几何意义、物理意义例1曲线y=x2+4x上有两点A（4，0）、B（2，4）.求：（1）割线AB的斜率kAB ，及AB所在直线的方程；（2）在曲线AB上是否存在点C，使过C点的切线与AB所在直线平行?若存在，求切线方程；若不存在，请说明理由.变式1 曲线在点处的切线方程为 变式2 已知函数的图象在处有相同的切线，则=（ ）A1B0C1D2变式3 已知直线与曲线在点P（1，1）处的切线互相垂直，则=（ ）ABCD考点2 求基本函数的导数及导数的运算法则例1 求下列函数的导数（1）； （2）变式1 函数在处的导数值为( ) A. 0 B. C. 20 D. 10!突破1 导数的意义与函数图象结合考查例1 如图是的导函数，的图象如下图所示，则的图象只可能是（ ）例2 如右图，函数的图象在点P处的切线方程是 ，则= .突破2 导数的意义与直线的斜率结合考查例1 已知曲线，（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求曲线过点的切线方程；（3）求斜率为4的曲线的切线方程.1、如果质点A按规律运动，则在秒的瞬时速度为（）A6 B18 C54 D812、函数的导数是（ ） AB C D3、曲线在点处切线的倾斜角为（）A1 B C D4、已知直线与曲线切于点(1,3)，则的值为()A3 B3 C5 D55、函数的导数是（ ）A B C D6、设是可导函数，且 （ ）A B1 C0 D27、设为曲线：上的点，且曲线在点处切线倾斜角的取值范围为，则点横坐标的取值范围为（）AB CD8、等比数列中，函数，则（ ）A. B. C. D.9、曲线yex在点(2，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( )A . e2 B2e2 Ce2 D.10、若存在过点的直线与曲线和都相切，则等于( ) A或 B或 C或 D或11、设曲线在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为,则的值为（ ）A B. C. D. 112、设曲线在点处的切线与直线垂直，则 ；13、若曲线存在垂直于轴的切线，则实数取值范围是_ _；14、曲线和在它们交点处的两条切线与轴所围成的三角形面积是 ；15、设，则它与x轴交点处的切线的方程为 ；16、曲线在点处的切线斜率为_，切线方程为_；17、在平面直角坐标系中，点P在曲线上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线的斜率为2，则点P的坐标为 ；18、已知（1）求在点处的切线方程；（2）求过点的切线方程19、已知函数，(1)求曲线在点处的切线的方程；(2)直线l为曲线的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标；(3)如果曲线的某一切线与直线垂直，求切点坐标与切线的方程20、设函数 (,)，曲线在点处的切线方程为.（1）求的解析式；（2）证明：曲线上任一点的切线与直线和直线所围三角形的面积为定值，并求出此定值.。21.已知函数，定义域为（1）若，求的单调递减区间；（2）若，且的最大值为，求的最小值22.已知函数，其中.（）求函数的单调区间；（）若直线是曲线的切线，求实数的值；（）设，求在区间上的最大值.（其中为自然对数的底数）【答案】解:()-2f令,解得或-3f所以的单调递减区间为,.-5f()由（）知-6f当时，是减函数；当，是增函数；-8f所以在，（）-9f又，所以-10f由题设得，代入（）-11f得，的最小值的是.-12f已知函数，其中.（）求函数的单调区间；（）若直线是曲线的切线，求实数的值；（）设，求在区间上的最大值.（其中为自然对数的底数）【答案】解：（），（）， 3分在区间和上，；在区间上，.所以，的单调递减区间是和，单调递增区间是.4分（）设切点坐标为，则 7分（1个方程1分）解得，. 8分（），则，9分解，得，所以，在区间上，为递减函数，在区间上，为递增函数. 10分当，即时，在区间上，为递增函数，所以最大值为. 11分当，即时，在区间上，为递减函数，所以最大值为.12分当，即时，的最大值为和中较大者；，解得，所以，时，最大值为， 13分时，最大值为. 14分综上所述，当时，最大值为，当时，的最大值为. 导数的计算及其几何意义考纲要求1.了解导数概念的某些实际背景(如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等)；2.掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念;3.熟记基本导数公式；4.掌握两个函数和、差、积、商的求导法则;5.了解复合函数的求导法则.会求某些简单函数的导数命题规律近年来,导数及其应用几乎成了数学高考舞台上必唱“主角”之一,在高考卷中所占比重也有上升趋势。考查学生的运算能力、逻辑推理能力以及分析问题和解决问题的能力，本节主要考察导数的几何意义，与函数及图象、直线方程等几何考查。同时会以求基本函数的导数为基础，本节内容在高考中以简单题和中档题为主。考点解读考点1 导数的概念1.平均变化率在其定义域内从点到的平均变化率为.2.瞬时变化率在其定义域内的点处的瞬时变化率为.3.导数的定义函数,在处的瞬时变化率为，我们称它为函数在处导数，记作，或，即=.考点2 导数的几何意义、物理意义1.几何意义（1）函数在点处的导数就是在点处的切线的斜率，即=.（2）点处的切线方程为.2.物理意义如果物体按规律运动，那么表示物体在时刻的瞬时速度，即.考点3 求基本函数的导数及导数的运算法则1. 基本函数的导数 (1).若，则 (2).若，则(3).若，则 (4).若，则(5).若，则 (6).若，则 (7).若，则 (8).若，则2.导数的运算法则(1) . (2) .(3). (4). (5).若函数是由与复合而成的函数，则考点突破考点1 导数的几何意义、物理意义典例1 曲线y=x2+4x上有两点A（4，0）、B（2，4）.求：（1）割线AB的斜率kAB ，及AB所在直线的方程；（2）在曲线AB上是否存在点C，使过C点的切线与AB所在直线平行?若存在，求切线方程；若不存在，请说明理由.解题思路 本题主要考查导数的几何意义.假设存在符合条件的点C，则切线的斜率与直线AB的斜率相等，即点C处的导数与直线AB的斜率相等，从而求出切点C的坐标，进而求得切线方程.解题过程 （1）kAB=2，y=2（x4）.所求割线AB所在直线方程为2x+y8=0.（2）=2x+4，由2x+4=2，得x=3，y=32+34=3.C点坐标为（3，3），所求切线方程为2x+y9=0.即存在这样的点C，点C处的切线方程为2x+y9=0.易错点拨 （1）已知两点求直线的斜率与切线的斜率要分清； （2）对于存在性问题的步骤与解题思路。变式1 （2012年广东理）曲线在点处的切线方程为 点拨 求出已知函数的导数，判断点是否在曲线上，利用切线的斜率公式求解即可。答案 变式2 已知函数的图象在处有相同的切线，则=（ ）A1B0C1D2点拨 分别求得两函数的导数，利用两曲线在公共切点处的斜率相等，列等式即可求解。答案 C变式2 已知直线与曲线在点P（1，1）处的切线互相垂直，则=（ ）ABCD点拨 求出曲线在切点处切线的斜率，用两直线的垂直关系找到等式便可求得结果。答案 D考点2 求基本函数的导数及导数的运算法则典例1 求下列函数的导数（1）； （2）解题思路 选择中间变量是复合函数求导的关键必须正确分析复合函数是由哪些基本函数经过怎样的顺序复合而成的，分清其间的复合关系要善于把一部分量、式子暂时当作一个整体，这个暂时的整体，就是中间变量求导时需要记住中间变量，注意逐层求导，不遗漏，而其中特别要注意中间变量的系数求导数后，要把中间变量转换成自变量的函数解题过程 （1）解法一：设，则解法二： （2）解法一：设，则解法二： 易错点拨 对于复合函数的求导，要注意分析问题的具体特征，灵活恰当地选择中间变量，不可机械照搬某种固定的模式，否则会使确定的复合关系不准确，不能有效地进行求导运算学生易犯错误是混淆变量或忘记中间变量对自变量求导。变式1 函数在处的导数值为( ) A. 0 B. C. 20 D. 10!点拨 看成与的乘积，利用导数的运算易求解。答案 D综合突破突破1 导数的意义与函数图象结合考查 理解曲线（函数图象）的切线与导数的关系，是关键；还要理解原函数和导函数的关系。典例1 如图是的导函数，的图象如下图所示，则的图象只可能是（ ）DBBBCBBBABBBB解题思路 首先观察函数的图象，y=与x轴的交点即为的极值点，然后根据函数与其导数的关系进行判断。解题过程 由图可以看出函数y=的图象是一个二次函数的图象，在与之间，导函数的值是先增大后减小故在与之间，原函数图象切线的斜率是先增大后减小因此故排除答案（A），（B），（C）故答案为：（D）。易错点拨 会观察函数的图象并从中提取相关信息，并熟练掌握函数与其导数的关系典例2 如右图，函数的图象在点P处的切线方程是 ，则= .解题思路 考查在某点处的切线方程，切点既在曲线上又在切线上解题过程 观察图形,设,过P点的切线方程为 ，即它与重合,比较系数知:故=2.突破2 导数的意义与直线的斜率结合考查导数的几何意义是曲线在某点处切线的斜率，因此切线方程可通过求导数先得斜率，再由切点利用点斜式方程求得。求过点的切线方程时，一要注意是否在曲线上；二要注意该点可能是切点，也可能不是切点，因而所求的切线可能不只一条。典例2 已知曲线，（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求曲线过点的切线方程；（3）求斜率为4的曲线的切线方程.解题思路 在点时：切点坐标切线斜率点斜式求切线方程；过点时，先把切点设出来，然后解方程。解题过程 （1）上，且在点处的切线的斜率k=4;曲线在点处的切线方程为,即.（2）设曲线与过点的切线相切于点， 则切线的斜率，切线方程为，即点在切线上，即，解得或故所求的切线方程为或.（3）设切点为则切线的斜率为, .切点为，切线方程为和即和易错点拨 注意所求切线与已知点的关系，求过点的切线方程时，一要注意是否在曲线上；二要注意该点可能是切点，也可能不是切点，因而所求的切线可能不只一条。快乐训练1、如果质点A按规律运动，则在秒的瞬时速度为（）A6 B18 C54 D812、函数的导数是（ ） AB C D3、曲线在点处切线的倾斜角为（）A1 B C D4、已知直线与曲线切于点(1,3)，则的值为()A3 B3 C5 D55、设，则它与x轴交点处的切线的方程为 ；6、曲线在点处的切线斜率为_，切线方程为_；7、在平面直角坐标系中，点P在曲线上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线的斜率为2，则点P的坐标为 ；8、已知（1）求在点处的切线方程；（2）求过点的切线方程提高训练1、函数的导数是（ ）A B C D2、设是可导函数，且 （ ）A B1 C0 D23、设为曲线：上的点，且曲线在点处切线倾斜角的取值范围为，则点横坐标的取值范围为（）AB CD4、等比数列中，函数，则（ ）A. B. C. D.5、设曲线在点处的切线与直线垂直，则 ；6、若曲线存在垂直于轴的切线，则实数取值范围是_ _；7、曲线和在它们交点处的两条切线与轴所围成的三角形面积是 ；8、已知函数，(1)求曲线在点处的切线的方程；(2)直线l为曲线的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点