第四章-有限集和无限集

第四章有限集与无限集 有限集S的元素的个数称为S的基数 可记为 S 自然数集N是无限集 实数集R是无限集 基数是与集合的元素数量有关的概念 在有限集中 基数即是元素的个数 而在无限集中 集合基数就变得复杂了 理论上讲 无限集中元素数量为无限 但这太笼统了 因为个数中其浓度与密度是不同的 如 实数与自然数同为无限个元素 但是实数无限浓度高于自然数的无限浓度 有限集 性质1 如果A和B是分离的有限集合 则有 A B A B 性质2 如果A和B是有限集合 则有 A B A B A B B A B A 有限集 性质3 如果A B和C是有限集合 则有 A B C A B C A B A C B C A B C B A C 有限集 例 120个学生中有100个学生至少要学法 德 英三种语言中的一种 假定有65人学法语 45人学德语 42人学英语 20个人学法语和德语 25人学法语和英语 15人学德语和英语 请问同时学三种语言的有多少人 解 令A B C表示学法语学 德语和英语的人数100 65 45 42 20 25 15 A B C 所以 A B C 8 有限集 性质3 如果n个有限集合S1 S2 Sn 则有 S1 S2 Sn Si Si Sj Si Sj Sk 1 n 1 S1 S2 Sn 无限集的性质 定义 集合A与B的元素间如果存在一一对应的关系 则说A与B是等势的 记为A B 集合间的等势关系是一种等价关系 对于有限集而言 两个集合等势即表示两个集合有相同的元素个数 如A a b c d e A与 0 1 2 3 4 等势 故A是有限集 对于无限集而言 两个集合等势表现为两个集合间的元素存在一一对应的关系 例如 自然数集N S为其子集S 1 3 5 N 0 1 2 3 S 1 3 5 7 无限集的性质 性质1 一集合为无限集 则它必含有与其等势的真子集 无限集的这个特性可以用来区分有限集和无限集 性质2 一集合为无限集的充分必要条件是有与其等势的真子集 无限集的性质 定义 一集合若存在与其等势的真子集称为无限集 否则 称为有限集 定义 凡与自然数集N等势的集合称为可列集 也可以将有限集与可列集合称为可数集 故可列集也可称为可数无限集 性质 可列集的无限子集仍为一可列集 可列集是无限集中的最小集合 无限集的性质 例如 整数集I是可列集 N 0 1 2 3 4 5 6 I 0 1 1 2 2 3 3 有理数集Q为可列集 一切有理数都可写为m n的形式 对于分数可以按照分子和分母的顺序排列 实数集R是不可列集 无限集的性质 因为自然数集N不可能与某个自然数n等势 所以N的基数不能是有限数 就用一个 无限大 的数 0表示 Aleph零 可列集是与自然数集中元素可以建立一一对应的集合 即可列集与自然数集等势 势也为Aleph零 所以我们可以用 等势 来表示集合间的大小比较 由于可列集是 最小 的无限集 故已经没有比可列集更小的无限集了 因此 其他无限集的势比Aleph零要大 如实数集比可列集要大 它的基数是Aleph 无限集的性质 德国数学家康托尔证明了在无限集中还有比Aleph零和Aleph更 大 的无限集 如幂集 设A是有限集合 则 A