备战2020年高考数学考点一遍过考点04函数及其表示文（含解析）.docx

考点04函数及其表示（1）了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念.（2）在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数.（3）了解简单的分段函数，并能简单应用.一、函数的概念1函数与映射的相关概念(1)函数与映射的概念函数映射两个集合A、B设A、B是两个非空数集设A、B是两个非空集合对应关系按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应名称称f：AB为从集合A到集合B的一个函数称f：AB为从集合A到集合B的一个映射记法yf(x)，xAf：AB注意：判断一个对应关系是否是函数关系，就看这个对应关系是否满足函数定义中“定义域内的任意一个自变量的值都有唯一确定的函数值”这个核心点(2)函数的定义域、值域在函数yf(x)，xA中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域，与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合f(x)|xA叫做函数的值域(3)构成函数的三要素函数的三要素为定义域、值域、对应关系.(4)函数的表示方法函数的表示方法有三种：解析法、列表法、图象法.解析法：一般情况下，必须注明函数的定义域；列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征；图象法：注意定义域对图象的影响.2必记结论(1)相等函数如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数相等两个函数是否是相等函数，取决于它们的定义域和对应关系是否相同，只有当两个函数的定义域和对应关系完全相同时，才表示相等函数函数的自变量习惯上用x表示，但也可用其他字母表示，如：f(x)2x1，g(t)2t1，h(m)2m1均表示相等函数.(2)映射的个数若集合A中有m个元素，集合B中有n个元素，则从集合A到集合B的映射共有个二、函数的三要素1函数的定义域函数的定义域是使函数解析式有意义的自变量的取值范围，常见基本初等函数定义域的要求为：(1)分式函数中分母不等于零.(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0.(3)一次函数、二次函数的定义域均为R.(4)yx0的定义域是x|x0.(5)yax(a0且a1)，ysinx，ycosx的定义域均为R.(6)ylogax(a0且a1)的定义域为(0，).(7)ytanx的定义域为.2函数的解析式(1)函数的解析式是表示函数的一种方式，对于不是yf(x)的形式，可根据题目的条件转化为该形式.(2)求函数的解析式时，一定要注意函数定义域的变化，特别是利用换元法(或配凑法)求出的解析式，不注明定义域往往导致错误.3函数的值域函数的值域就是函数值构成的集合，熟练掌握以下四种常见初等函数的值域：(1)一次函数ykxb(k为常数且k0)的值域为R.(2)反比例函数(k为常数且k0)的值域为(，0)(0，)(3)二次函数yax2bxc(a，b，c为常数且a0)，当a0时，二次函数的值域为；当a0，b0)求最值若“和定”，则“积最大”，即已知abs，则，ab有最大值，当ab时取等号；若“积定”，则“和最小”，即已知abt，则，ab有最小值，当ab时取等号应用基本不等式的条件是“一正二定三相等”9判别式法：将函数转化为二次方程：若函数yf(x)可以化成一个系数含有y的关于x的二次方程a(y)x2b(y)xc(y)0，则在a(y)0时，由于x，y为实数，故必须有b2(y)4a(y)c(y)0，由此确定函数的值域利用判别式求函数值的范围，常用于一些“分式”函数、“无理”函数等，使用此法要特别注意自变量的取值范围.10有界性法：充分利用三角函数或一些代数表达式的有界性，求出值域.11导数法：利用导数求函数值域时，一种是利用导数判断函数单调性，进而根据单调性求值域；另一种是利用导数与极值、最值的关系求函数的值域.典例3 求下列函数的值域：（1）；（2）；（3）.【答案】（1）0，8；（2）；（3）.【解析】（1），x1，x2，1(x2)29，则0(x2)28故函数的值域为0，8（2）f(x)的定义域为，令，得，故.（3）.当且仅当x2时“”成立.故的值域为.3高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为:设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如:，已知函数，则函数的值域为ABCD考向三求函数的解析式求函数解析式常用的方法1换元法：已知复合函数f(g(x)的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；2配凑法：由已知条件f(g(x)F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式；3待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法；4方程组法：已知关于f(x)与或f(x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程求出f(x).典例4 已知，则ABCD【答案】A【解析】方法一（配凑法）：，又，所以.方法二（换元法）：令，则，所以，所以.【名师点睛】在方法二中，用替换后，要注意的取值范围为，如果忽略了这一点，在求时就会出错.4若一次函数满足，则_考向四分段函数分段函数是一类重要的函数，常作为考查函数知识的最佳载体，以其考查函数知识容量大而成为高考的命题热点，多以选择题或填空题的形式呈现，重点考查求值、解方程、零点、解不等式、函数图象及性质等问题，难度一般不大，多为容易题或中档题. 分段函数问题的常见类型及解题策略：1求函数值：弄清自变量所在区间，然后代入对应的解析式，求“层层套”的函数值，要从最内层逐层往外计算2求函数最值：分别求出每个区间上的最值，然后比较大小3求参数：“分段处理”，采用代入法列出各区间上的方程或不等式4解不等式：根据分段函数中自变量取值范围的界定，代入相应的解析式求解，但要注意取值范围的大前提5求奇偶性、周期性：利用奇函数(偶函数)的定义判断，而周期性则由周期性的定义求解.典例5 已知，则等于A2B4C2D4【答案】B【解析】，f，4.故选B【名师点睛】分段函数的应用：设分段函数.(1)已知x0，求f(x0)：判断x0的范围，即看x0I1，还是x0I2；代入相应解析式求解(2)已知f(x0)a，求x0：当x0I1时，由f1(x0)a，求x0；验证x0是否属于I1，若是则留下，反之则舍去；当x0I2时，由f2(x0)a，求x0，判断是否属于I2，方法同上；写出结论(3)解不等式f(x)a：或.5已知函数，若，则实数的值为AB或CD或典例6 已知函数，若，则实数的取值范围是ABCD【答案】A【解析】函数在上为减函数，函数的图象开口向下，对称轴为，所以函数在区间上为减函数，且.所以函数在上为减函数.由得，解得.故选A【思路点拨】判断分段函数两段的单调性，当时，为指数函数，可判断函数在上为减函数；第二段函数的图象开口向下，对称轴为，可得函数在区间上为减函数.时，两段函数值相等.进而得函数在上为减函数.根据单调性将不等式变为，从而解得即可【名师点睛】（1）分段函数的单调性，应考虑各段的单调性，且要注意分解点出的函数值的大小；（2）抽象函数不等式，应根据函数的单调性去掉“”，转化成解不等式，要注意函数定义域的运用.6已知函数，则不等式的解集是_.1已知集合，则ABCD2设函数，若，则A1BC3D1或3函数，那么的值为ABCD4若函数yf(x)的定义域是0,2，则函数g(x)的定义域是A0,1B0,1)C0,1)(1,4D(0,1)5设下列函数的定义域为，则值域为的函数是ABCD6已知函数满足，则ABCD7设函数则下列结论中正确的是A对任意实数，函数的最小值为B对任意实数，函数的最小值都不是C当且仅当时，函数的最小值为D当且仅当时，函数的最小值为8函数的定义域为_9已知函数,，则_10设函数则使得成立的的取值范围是_1（2019年高考全国卷文数）设f(x)为奇函数，且当x0时，f(x)=，则当x0时，f(x)=ABCD2（2018年高考新课标I卷文科）设函数，则满足的x的取值范围是ABCD3（2017年高考山东卷文科）设,若,则A2 B4 C6 D84（2017年高考天津卷文科）已知函数设，若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围是ABCD5（2018年高考江苏卷）函数的定义域为_6（2018年高考新课标I卷文科）已知函数，若，则_7（2018年高考浙江卷）已知R，函数f(x)=，当=2时，不等式f(x)0的解集是_若函数f(x)恰有2个零点，则的取值范围是_8（2018年高考天津卷文科）已知aR，函数若对任意x3，+），f(x)恒成立，则a的取值范围是_9（2018年高考江苏卷）函数满足，且在区间上，则的值为_10（2017年高考江苏卷）记函数的定义域为在区间上随机取一个数，则的概率是11（2017年高考江苏卷）函数y=的定义域是_12（2017年高考新课标卷文科）设函数，则满足的x的取值范围是_.13（2019年高考江苏）函数的定义域是 .变式拓展1【答案】D【解析】由题意可知，自变量满足，故且，故函数的定义域为，故选D.【名师点睛】解答本题时，列出自变量满足的不等组，它的解集即为函数的定义域.函数的定义域一般从以下几个方面考虑：（1）分式的分母不为零；（2）偶次根号（，为偶数）中，；（3）零的零次方没有意义；（4）对数的真数大于零，底数大于零且不为1.2【答案】B【解析】由题意，函数满足，即，所以函数满足且，解得，即函数的定义域为，故选B【名师点睛】本题主要考查了抽象函数的定义域的求解，其中解答中熟记函数的定义域的概念，合理列出不等式是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题解答本题时，由函数解得，再由函数，得到且，即可求解3【答案】C【解析】的定义域为，因为，所以，所以的值域为，所以的值域为，故选C.【名师点睛】解答本题时，先求的值域，再根据高斯函数的定义求的值域.函数值域的求法，大致有两类基本的方法：（1）利用函数的单调性，此时需要利用代数变形把函数的单调性归结为一个基本初等函数的单调性，代数变形的手段有分离常数、平方、开方或分子（或分母）有理化等.（2）利用导数讨论函数的性质，从而得到函数的值域.4【答案】1【解析】因为是一次函数，故可设，则，所以，解得，所以，所以.故答案为1.【名师点睛】本题考查了函数解析式的求法，在已知函数名称时常采用待定系数法求解.解答本题时，先用待定系数法求出一次函数的解析式，然后代入求出.5【答案】A【解析】因为函数，所以，因为，所以可得，因为在R上的函数值恒大于0，故，即故选A【名师点睛】本题考查分段函数的运用：求函数值，考查方程思想和运算能力，属于基础题解答本题时，由分段函数求得，结合指数函数的值域和方程思想，可得的值6【答案】【解析】由题意可得或，即或，或，即解集为.【名师点睛】本题考查的知识点是分段函数，一元二次不等式的解法，一元一次不等式的解法，而根据分段函数分段处理的原则，对不等式，分为和两种情况进行讨论，然后给出两种情况中解集的并集，即可得到答案考点冲关1【答案】B【解析】由二次根式有意义的条件可得，解得，所以.由对数函数的性质可得，解得，所以，所以.故选B.【名师点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合且属于集合的元素的集合.解答本题时，根据函数的定义域化简集合，利用对数函数的单调性化简集合，由交集的定义可得结果.2【答案】A【解析】当时，得，当时，得，这与矛盾，故此种情况下无解，由上知，故选A【名师点睛】该题考查的是分段函数中已知函数值求自变量的问题，在解题的过程中，需要时刻关注自变量的取值范围，在明显感觉解是不符合要求时可以不解确切值，只说无解即可.3【答案】C【解析】由题意，函数，令，则，故选C.【名师点睛】本题主要考查了函数值的求解，以及特殊角的三角函数值的应用，其中解答中合理赋值，根据特殊角的三角函数求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.解答本题时，根据函数的解析式，令即可求解.4【答案】D【解析】f(x)的定义域为0,2，要使f(2x)有意义，必有02x2，0x1，要使g(x)有意义，应有，0x1，故选D5【答案】D【解析】由题，对于A，在上，所以函数单调递增，其值域为，排除A；对于B，函数，为增函数，且当，排除B；对于C，函数可以看作关于的二次函数，即易得值域为，排除C，故选D.【名师点睛】本题考查了函数的定义域和值域问题，熟悉导函数、基本初等函数的性质是解题的关键，属于较为基础题.解答本题时，利用导函数，基本初等函数的值域，分别对A、B、C选项进行分析，可得答案.6【答案】C【解析】由,可得(2),将(1)+(2)得:,故选C7【答案】D【解析】因为所以，当时，单调递增，此时；当时，；（1）若，则，此时的值域为，无最小值；（2）若，则，此时的值域为，此时，最小值为.故选D.【名师点睛】本题主要考查分段函数，求分段函数的最值问题，灵活运用分类讨论的思想即可求解，属于常考题型.解答本题时，分别讨论、两种情况，即可得出结果.8【答案】【解析】依题意得，得，即函数的定义为.【名师点睛】本小题主要考查函数定义域的求法，解答本题时，利用偶次方根被开方数为非负数、对数真数大于零和分式分母不为零列不等式组，解不等式组求得函数的定义域.函数的定义域主要由以下方面考虑来求解：第一个是分数的分母不能为零，第二个是偶次方根的被开方数为非负数，第三个是对数的真数要大于零，第四个是零次方的底数不能为零.属于基础题.9【答案】3【解析】由题意，得，即，解得，即.故填3.10【答案】【解析】由，得或，得或，即的取值范围是，故答案为.【名师点睛】本题主要考查分段函数的解析式、由分段函数解不等式，属于中档题.对于分段函数解析式的考查是命题的动向之一，这类问题的特点是综合性强，对抽象思维能力要求高，因此解决这类题一定要层次清楚，思路清晰.直通高考1【答案】D【解析】由题意知是奇函数，且当x0时，f(x)=，则当时，则，得故选D【名师点睛】本题考查分段函数的奇偶性和解析式，渗透了数学抽象和数学运算素养采取代换法，利用转化与化归的思想解题2【答案】D【解析】将函数的图象画出来，观察图象可知会有，解得，所以满足的x的取值范围是，故选D【思路分析】首先根据题中所给的函数解析式，将函数图象画出来，从图中可以发现：若有成立，一定会有，从而求得结果.【名师点睛】该题考查的是通过函数值的大小来推断自变量的大小关系，从而求得相关的参数的值的问题，在求解的过程中，需要利用函数解析式画出函数图象，从而得到要出现函数值的大小，绝对不是常函数，从而确定出自变量所处的位置，结合函数值的大小，确定出自变量的大小，从而得到其等价的不等式组，最后求得结果.3【答案】C【解析】由时是增函数可知,若,则,所以,由得,解得,则,故选C.【名师点睛】求分段函数的函数值,首先要确定自变量的范围,然后选定相应关系式，代入求解；当给出函数值或函数值的取值范围求自变量的值或自变量的取值范围时,应根据每一段解析式分别求解,但要注意检验所求自变量的值或取值范围是否符合相应段的自变量的值或取值范围4【答案】A【解析】当，且时，即，即，显然上式不成立，由此可排除选项B、C、D，故选A【名师点睛】涉及分段函数问题要遵循分段处理的原则，分别对的两种不同情况进行讨论，针对每种情况根据的范围，利用极端原理，求出对应的的取值范围本题具有较好的区分度，所给解析采用了排除法，解题步骤比较简捷，口算即可得出答案，解题时能够节省不少时间当然，本题也可画出函数图象，采用数形结合的方法进行求解5【答案】2，+）【解析】要使函数有意义，则需，解得，即函数的定义域为.【名师点睛】求给定函数的定义域往往需转化为解不等式（组）的问题.求解本题时，根据偶次根式下被开方数非负列不等式，解对数不等式得函数定义域.6【答案】【解析】根据题意有，可得，所以，故答案是.【名师点睛】该题考查的是有关已知某个自变量对应函数值的大小，来确定有关参数值的问题，在求解的过程中，需要将自变量代入函数解析式，求解即可得结果，属于基础题目.7【答案】(1,4) 【解析】由题意得或，所以或，即，故不等式f(x)0的解集是当时，此时，即在上有两个零点；当时，由在上只能有一个零点得.综上，的取值范围为.【名师点睛】根据分段函数，转化为两个不等式组，分别求解，最后求并集.先讨论一次函数零点的取法，再对应确定二次函数零点的取法，即得参数的取值范围.已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路：(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解8【答案】，2【解析】分类讨论：当时，即：，整理可得：，由恒成立的条件可知：，其中，结合二次函数的性质