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文档简介

同一直线上线段比例关系的证明方法彭晓 王永俊（北京市海淀区海淀南路165号 人大附中，100080） “相似形”是初中平面几何中的重要内容。此章的难点在于证明线段之间的比例关系，尤其是证明同一直线上的线段比例关系。本文拟通过几个例子，系统阐述同一直线上线段比例关系的证明方法，以帮助广大中学生突破难点，开拓视野，训练思维。 （一）通过等量代换等，将直线上某些线段，转移到直线外，转化为三角形相似的问题例1 已知：如图a，EF是O的直径，P、C为圆周上任意两点，CAEF于A，FP的延长线与AC的延长线相交于D，PE与AC相交于点B。求证：。证明：EF是O的直径，CAEF ，EPF=BAE=90ABE=AFDBAE=FAD=90 ABEAFD（二）利用平行线分线段成比例定理例2 已知：如图b，BC是半O的直径，BE是的平分线，ACEF，EF与BC的延长线交于点F，过E作EDBC于D。求证：（1）EF是半O的切线；（2）。1. 连接OE，易证OEAC，半径OEEF，从而证明EF是半O的切线。（证明过程略） （2）证明：（如图c）连接CE，过C作GHBE，交EF于H，交ED延长线于G则 , BC是半O的直径 EF是半O的切线 CEF=EBF EDBC EBF=CEG CEH=CEG CE是公共边 CH=CG （三）面积法例2中（2）问证法之二(如图d)：证明：连接EC BC是半O的直径 EDBC EF是半O的切线 CEF=EBFF是公共角 （四）联合使用平行线分线段成比例定理及三角形相似例2中（2）问证法之三(如图d)：证明： OEAC，EDBC EGK=BDE=90 OB=OE KEG=EBD KEG EBD BC是半O的直径 EDBC CED=CBE AE=AE ABE=ACE ABE= CBE ECG=CED EDC= CGE=90，CE为公共边 EG=CD ACEF （五）巧用代数方法、比例性质等，获取解题途径例2中（2）问证法之四(如图d)：证明： EF是半O的切线，FCB是半O的割线CEF=EBF， BC是半O的直径 EDBC F是公共角 例3 已知：如图f，两圆相交于M、N两点，C是MN上任意一点，过C点的直线交两圆于A、B、D、E四点。求证：。证明：弦MN、AD相交于C同理，即 上面介绍了五种同一直线上线段比例关系的证明方法。需要说明的是，还有一些性质定理（如三角形内（外）角平分线定理等）可以直接给出同一直
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