硬盘模型分析及控制器设计.doc

硬盘模型分析及控制器设计摘要:本文选取硬盘驱动器作为研究对象，首先通过对该系统分析建立了其物理模型。然后针对以音圈电机作为伺服机构的硬盘磁头定位伺服系统的性能要求，对音圈电机的控制设计采用了4种控制器方案，即极点配置方法、PID控制方法、线性二次型调节器(LQR)方法、H-infinite 控制器方法，并分别分析了系统的阶跃响应，与原系统进行比较。最后比较了所设计反馈系统之间的调节性能，抗干扰特性及说明了4种控制方案各自的优点和缺点。关键词:硬盘驱动器；音圈电机；极点配置；PID；LQR；H-infinite 0 引言硬盘驱动器作为一种存储数据信息的设备，在目前的计算机系统中起着不可替代的作用。如今，硬盘技术的发展日趋成熟，而其中又以读写磁头的定位控制为核心技术。硬盘磁头定位包括：寻道控制与跟踪控制。寻道控制要求使磁头以最快速度从起始轨道到达期望轨道，并通过跟踪控制保持磁头准确定位于目标轨道。而硬盘数据存储容量以及磁道密度显著地增大，重复干扰大大降低了磁道跟踪的效率。因此我们希望控制性能伴随着磁道宽度和扇区的减小能相应地得到提升1。硬盘是电子计算机磁记录机构中最为精密的一类微机电系统设备，它对振动的敏感性是由其结构决定的。硬盘组件和工作原理如图l所示。硬盘驱动器由磁头驱动机构(包括音圈电机、悬架、磁头、轴承)，硬盘碟片和主轴组成。图1 硬盘内部结构示意图硬盘工作时，磁盘高速旋转，磁头依靠空气的阻力悬浮于盘面上面，伺服机构驱动磁头沿着盘面的径向移动，实现对磁盘进行读/写。为了保证磁头对盘面记录信号的敏感性，磁头与盘面的间隙变得很小，一般在3050nm之间。为了保证磁头能准确定位于盘面的某一磁道，伺服机构必须能控制磁头精确地移动，任何对硬盘驱动器的扰动都会引起磁头定位的偏差，偏差大到一定值后会造成磁头不能准确定位，造成读/写失效，甚至引起硬盘物理损坏。磁头的定位过程主要是由硬盘中的音圈电机(VCM)来完成的。它接受主机发出的读写数据命令，快速的将磁头从当前磁道移动到数据所在的目标磁道上。详细的过程如下：首先音圈电机分析目标磁道和当前磁道的距离，主要是根据磁道号和磁道宽来确定。磁道号通过读取刻录在磁盘上的伺服信息中的磁道号获得然后决定是向内径还是外径移动。这个过程称为寻道。当到达目标磁道后，磁头再紧紧跟随目标磁道，跟随过程通过读取刻录在磁盘上的伺服信息中的位置误差信号来实现。伺服控制机构通过获取磁头相对于当前磁道的位置信息，及时调整磁头的位置，使磁头始终能够准确定位在磁道的中心位置，并能够有效的克服噪音干扰和机械扰动造成的磁头偏离当前磁道的问题。这个过程称为跟随。这两个过程都是由音圈电机带动滑块来完成的。通过以上分析我们知道，音圈电机（VCM）的运行性能是决定磁头准确定位的关键。在实际中，由于干扰因素，音圈电机并不能运行在理想的状态，而是会出现振荡或不稳定的情况，这样不仅不利于磁头的准确定位，还有可能损坏整个磁盘。因此需要设计控制器来改善其动态性能，本文主要讨论极点配置方法、PID控制方法、线性二次型调节器(LQR)方法和H-infinite 控制器方法来设计硬盘驱动器的控制器，并讨论各方法的优点与缺点。1 系统建模硬盘可以存储海量信息，考虑图1.1所示的硬盘驱动器结构示意图可以发现，硬盘驱动器读取装置的目标是将磁头准确定位，以便正确读取硬盘磁道上的信息（第1步）。要精确控制的变量的磁头（安装在一个滑动簧片上）的位置（第2步）。硬盘转速在5400r/min7200r/min之间，磁头悬在硬盘上方100nm的位置，定位精度指标设为1m（第3步）；如有可能，我们还要进一步做到使磁头从磁道a移动到磁道b的响应时间小于10ms。我们由此可以得到电机驱动磁头臂到达预定位置的闭环系统框如图1.2所示。图1.1 硬盘驱动器结构图图1.2 闭环系统框图接着选定系统的执行机构、传感器和控制器（第4步），然后建立控制对象和传感器的数学模型。由选定的参考文献3，得到传感器环节的传递函数为H(s)=1，执行机构即被控对象的传递函数为2。上面的模型实际上是一个二阶线性系统串接了一个高频的谐振模态， 但它不包括低频区域的非线性扰动。在控制设计中，为了简化设计和兼顾鲁棒性(同一控制器适用于一大类控制对象，其高频模态可能有所偏移)，需要使用简化的对象模型。此外，在正常的工作频带内，高频谐振模态并不会被激活(若有必要，也可引入适当的带阻滤波器来抑制谐振模态)。据此，暂时忽略传递函数中的高频模态，而只保留二阶模型。为了更直观地说明这种简化的效果，本文比较了原系统（带高频部分）的四阶模型与简化的（不带高频部分）二阶模型的频率响应特性和阶跃响应的差别，通过Matlab程序得图1.3，1.4所示。图1.3 原系统与二阶等效系统的频率特性响应曲线图1.4 原系统与二阶等效系统的阶跃响应曲线从图中可以看到：高频部分的峰值出现在rad/sec处，而在频率rad/sec前，二阶系统和原系统的频率响应完全相同，所以峰值不影响低频段的特性；且原系统和等效后的二阶系统的阶跃响应都是先振荡后衰减至稳态而无误差，不同的是两者的超调量与衰减速度不同。由于系统是稳定的，因此需要设计一定的控制器来改善系统的动态性能。本文通过分析，发现原系统是不完全能控但完全能观，且能控部分的阶数是2，不能控部分是稳定的，而等效的二阶系统是完全能控能观的，阶数都是2，所以原系统可以通过状态反馈设计原系统的能控部分，从而使原系统动态性能得到改善。但考虑到PID算法和系统的鲁棒性，本文采用二阶等效模型来进行控制器的设计。上述分析所用的Matlab程序清单如下。format long; %设置数据格式为双精度型num1=20970000;den1=1 150.8 63170;sys1=tf(num1,den1); %二阶等效系统的开环传递函数num2=1238000000;den2=1 7037 1238000000;sys2=tf(num2,den2); %高频部分的传递函数num3=conv(num1,num2);den3=conv(den1,den2);sys3=tf(num3,den3); %原系统的开环传递函数sys3_3=feedback(sys3,1); %原系统的闭环传递函数sys1_1=feedback(sys1,1); %二阶等效系统的闭环传递函数num3_3,den3_3=feedback(num3,den3,1,1);num1_1,den1_1=feedback(num1,den1,1,1);a,b,c,d=tf2ss(num3_3,den3_3); %原系统的状态空间模型A,B,C,D=tf2ss(num1_1,den1_1); %二阶等效系统的状态空间模型Cr1=ctrb(a,b); %求原系统的能控矩阵n1=rank(Cr1) %判断原系统是否能控Ob1=obsv(a,c); %求原系统的能观矩阵m1=rank(Ob1) %判断原系统是否能观Cr2=ctrb(A,B); %求二阶等效系统的能控矩阵n2=rank(Cr2) %判断二阶等效系统是否能控Ob2=obsv(A,C); %求二阶等效系统的能观矩阵m2=rank(Ob2) %判断二阶等效系统是否能观figure(1);bode(sys3,r-,sys2,b,sys1,g.)title(-为二阶等效系统的波特图.原系统的波特图- 为高频部分的bode图)grid;figure(2);subplot(2,1 ,1),step(sys3_3,0.5);title(原系统的阶跃响应)grid;subplot(2,1 ,2),step(sys1_1,0.5);title(二阶等效系统的阶跃响应);grid;将二阶等效模型用状态空间表示为A = 1.0e+007 * -0.000015080000000 -2.103317000000000 0.000000100000000 0B = 1 0C = 0 20970000D = 02 极点配置2.1 极点配置理论控制系统的性能主要取决于系统极点的位置，它包含了系统的稳定性、超调量、阻尼比等动态特性信息。由于极点是系统性能指标的一种形式，我们往往希望得到一组期望极点使系统的稳定性、超调量和调节时间等动态性能达到理想值。而极点配置就是对于给定对象的状态模型，通过选择状态反馈矩阵，使闭环系统的极点配置到期望的极点位置上，以便获得所需要的较好的动态性能3。状态反馈控制框图如图2.1所示。图2.1 状态反馈控制框图引入状态反馈后，该系统的控制信号为，其中为系统的参考指令输入，则闭环系统的状态方程为 (2.1)利用极点配置方法来设计控制器，首先要考虑系统的能控性。系统的可控性取决于状态方程中的(A,B)矩阵，定义可控性矩阵，若该矩阵满秩，则称系统是完全可控的;若该矩阵不是满秩的，则称系统是不完全可控的。只有在系统完全能控或者不完全能控部分的特征根具有负实部，即系统是镇定的，则可任意配置极点使系统的稳定性和动态性得到改善。本文中，在系统建模的过程中，经Matlab计算结果表明原系统是不完全能控但完全能观，且能控部分的阶数是2，不能控部分是稳定的，而等效的二阶系统是完全能控能观的，阶数都是2。这里通过对等效二阶系统进行极点配置，从而使原系统动态性能得到改善。2.2 性能比较对于本文研究的硬盘驱动器模型，在上述建立模型时已说明，由于在低频部分系统的响应与等效二阶系统接近，在极点配置过程中，主要考虑系统低频部分的阶跃响应，不必考虑高频部分的响应，因此选用原系统的等效二阶系统来考虑极点配置问题。首先，分析原系统的动态响应性能。在Matlab中，先分析等效二阶系统的阶跃响应，得系统的阶跃响应如图2.2所示。图2.2 等效二阶系统的阶跃响应图在阶跃响应图中，可以看到虽然系统最后趋于稳定，但是在开始响应阶段出现了比较严重的振荡，这是不符合系统性能指标要求的。在磁盘驱动器中，振荡不仅不利于磁头的准确定位，还有可能导致整个磁盘的损坏。为改善系统的动态性能，对其进行极点配置。一般来说，要系统稳定，则全部闭环极点均应在s平面左半部；要系统的快速性好，则闭环极点均应远离虚轴，以便使各个分量衰减得越快；若要系统的平稳性好，则共轭复数极点应为于的等阻尼线上，角度越大，超调量越大；离虚轴最近的闭环极点对系统的动态性能影响最大，起决定作用。但是期望极点的选取也不能只考虑到响应速度而忽略其它性能指标，故只能做一个折衷的考虑。通过多次的尝试，观察系统的阶跃响应，保证系统输出性能最佳，最终配置期望极点为 -7000;-3000。极点配置代码如下：new_eigenvalue=-7000;-3000;K=acker(A,B,new_eigenvalue) %求极点配置的反馈矩阵E=eig(A-B*K) %求配置后的极点，进行验证sys2=ss(A-B*K,B,C,D) %求极点配置后系统传递函数figure(2);subplot(2,1 ,1),step(sys1_1,0.5);title(二阶等效系统的阶跃响应)grid;subplot(2,1 ,2),step(sys2,0.5);title(极点配置后系统的阶跃响应);grid;输出结果如下：K = 1.0e+004 * 0.98492000000000 -3.31700000000000E= -7000 -3000得到极点配置前后的阶跃响应对比图如图2.3所示。图2.3 极点配置后系统与原系统阶跃响应对比图从输出可以看出配置后的极点E与欲配置的极点new_eigenvalue相同，极点配置正确。由于新配置的极点全部具有负实部并且选取了适当的值，新系统渐近稳定，在阶跃输入下输出逐渐趋于稳态输出。如图2.3所示，系统在极点配置前系统有振荡；而对系统进行极点配置后，在阶跃输入下系统输出消除了振荡，改善了动态性能。总之，用极点配置方法设计控制器过程中，首先对系统模型进行了简化。对系统进行极点配置后，系统是稳定的，阶跃响应曲线也较好，消除了原来系统阶跃响应中的振荡，但这取决于闭环极点的位置，因为闭环极点决定着响应速度，而闭环极点的选取需要多次试凑才能得到较为满意的结果，因此极点配置方法具有一定的盲目性。3 PID控制3.1 PID控制器PID 控制器是一个在工业控制应用中常见的反馈回路部件。这个控制器把收集到的数据和一个参考值进行比较，然后把这个差别用于计算新的输入值，这个新的输入值的目的是可以让系统的数据达到或者保持在参考值。和其他简单的控制运算不同，PID控制器可以根据历史数据和差别的出现率来调整输入值，这样可以使系统更加准确，更加稳定。PID控制器（比例-积分-微分控制器），由比例单元 P、积分单元 I 和微分单元 D 组成，如图3.1所示。通过Kp， Ki和Kd三个参数的设定。PID控制器主要适用于基本线性和动态特性不随时间变化的系统4。图3.1 PID控制器结构图设PID控制器为，系统固有开环传递函数为，则系统的特征方程为：或者：通过对三个系数的不同赋值，可改变闭环系统全部或部分极点的位置，从而改变系统的动态性能。由于PID调节器只有三个任意赋值的系数，因此只能对固有传递函数是一阶和二阶的系统进行极点位置的任意配置，使得系统的阶跃响应指标满足所需设计的要求。3.2 硬盘系统中PID控制器的设计根据第一章中对音圈电机所建立的模型，它是由一个二阶系统和17KHz的高频成分组成，由于其频率远远高于伺服机构频率，因此可以通过滤波器对其进行降阶处理，简化的对象模型如图3.2所示。音圈电机模型传递函数：图3.2 PID控制结构框图闭环系统传递函数为：由上面系统的得到闭环特征方程为：可以通过设置，的值来改变系统的闭环特征根从而改变系统的稳定性和动态特性，在此，我们利用2010版matlab中Simulink的PID模块来实现对PID参数的自动整定。结构如图3.3所示。图3.3 PID参数整定结构图整定前后的系统阶跃响应和相关参数如3.4，3.5图所示。图3.4 PID参数整定前后的阶跃响应图3.5 整定后的PID参数及性能指标Matlab计算出=1.5428，=220.544，=0.00089961。整定后系统的开环传递函数为：闭环系统的特征方程：特征值为p1=-157，p2=-1718 p3=-17140均具有负实部，能使系统稳定。3.3 分析P,I,D参数变化对系统性能的影响首先，绘制出PID调节前后的阶跃响应图，比较调节前后的上升时间、调节时间、超调量、系统稳定性、零极点位置变化等系统参数。比较如图3.6，3.7所示。其中图3.6为PID控制器调节前后的系统阶跃响应对比；图3.7为PID控制器调节前后的系统零极点位置对比图。图3.6 原系统与PID调节后系统的阶跃响应图3.7 原系统与PID调节后系统的零极点分布通过比较可以看出，原系统有一对负实部约为-75的共轭复根，其阶跃响应超调量约为95%，调节时间约为50ms，远远不能满足硬盘系统的性能指标；而通过PID调节后的系统有p1=-157，p2=-1718 p3=-17140三个稳定极点，超调量为12.5%，上升时间为7*10-6s，调节时间约为0.9ms，满足系统要求。Matlab程序如下。%PID控制器调节与原系统阶跃响应对比%clear all;num=20970000;den=1 150.8 63170; %绘制原系统的阶跃响应图G=tf(num,den);GG=feedback(G,1);%GG表示闭环系统的传递函数figure(1);subplot(211);step(GG,r);grid on;title(原系统的阶跃响应图); %绘制PID调节后的系统阶跃响应图Kp=1.5428; Kd=0.00089961;Ki=220.544;num1=Kd Kp Ki;den1=1 0;G1=tf(num1,den1);GG1=feedback(G*G1,1); %GG1表示经过PID控制器调节后的系统传递函数subplot(212);step(GG1,b);grid on;title(PID调节后的系统阶跃响应图); %绘制系统在PID调节前后的零极点分布图figure(2);subplot(211);pzmap(GG)%绘制原系统的闭环零极点分布图title(原系统的零极点分布图);subplot(212);pzmap(GG1);%绘制PID调节后的零极点分布图title(PID调节后系统的零极点分布图);其次，在仿真过程中，我们可以分别改变PID各个参数的大小，观察P，I，D参数对系统阶跃响应的影响。整定后的P参数Kp=1.5428，改变这一参数，分别使Kp为1.5428的1倍，2倍，和3倍三组数据来对比，Ki与Kd保持不变。图形如图3.8所示。图3.8 Kp以i倍增大时的系统阶跃响应曲线由图所知，PID调节器的P参数增大时，系统的上升时间和调节时间变小，系统反应更快，但是，系统的超调量变大。其Matlab程序如下。%改变PID控制器的P参数时系统的阶跃响应对比% %改变P参数的系统阶跃响应变化图for i=1:3Kp=1.5428;Ki=220.544;Kd=0.00089961; Kp=i*Kp; num1=Kd Kp Ki; den1=1 0; G1=tf(num1,den1); GG1=feedback(G*G1,1); figure(3); step(GG1);grid on;title(改变P参数的系统阶跃响应变化图); hold on;end整定后的I参数Ki=220.544，改变这一参数，分别使Ki为220.544的1倍，6倍，和11倍三组数据来对比，Kp与Kd保持不变。图形如图3.9所示。图3.9 Ki以i倍增大时的系统阶跃响应曲线由图所知，PID调节器的I参数增大时，系统的调节时间变大，系统的超调量变大。其Matlab程序如下：%改变PID控制器的I参数时系统的阶跃响应对比%改变I参数的系统阶跃响应变化图for i=1:5:11Kp=1.5428;Ki=220.544;Kd=0.00089961; Ki=i*Ki; num1=Kd Kp Ki; den1=1 0; G1=tf(num1,den1); GG1=feedback(G*G1,1); figure(4); step(GG1);grid on;title(改变I参数的系统阶跃响应变化图); hold on; end整定后的D参数Kd=220.544，改变这一参数，分别使Kd为0.00089961的1倍，3倍，和5倍三组数据来对比，Kp与Kd保持不变。图形如图3.10所示。图3.10 Kd以i倍增大时的系统阶跃响应曲线由图所知，PID调节器的D参数增大时，系统的上升时间和调节时间变小，系统反应更快，系统的超调量也在变小。系统的其Matlab程序如下。%改变PID控制器的D参数时系统的阶跃响应对比%改变D参数的系统阶跃响应变化图for i=1:2:5Kp=1.5428;Ki=220.544;Kd=0.00089961; Kd=i*Kd; num1=Kd Kp Ki; den1=1 0; G1=tf(num1,den1); GG1=feedback(G*G1,1); figure(5); step(GG1);grid on;title(改变D参数的系统阶跃响应变化图);hold on;end综上所述：PID调节器设计后，能使系统的性能指标较好地符合硬盘系统的要求，确定最终的PID调节器参数为：Kd=0.0045，Ki=220.544，Kp=1.5428。此时，系统的调节时间约为63s，无静差，超调量约为0。4 采用线性二次型调节器(LQR)本文采用基于状态空间设计法的LQR最优调节器，较好地兼顾了系统的鲁棒稳定性和快速性。4.1 LQR控制器理论线性二次型最优控制器的设计方法是通过设对象为以状态空间形式给出的线性系统，而目标函数为对象状态和控制输入的二次型函数。那么二次型问题就是在线性系统的约束条件下，选择适当的控制输入使得二次型目标函数最小。各种问题的二次型公式的优点是他们可以导出易于实现和分析的线性控制率。我们现在主要考虑二次型调节器的问题。假定系统在平衡点处，并期望在有干扰的情况下，也能维持在平衡点（即设定点）。这样，线性二次型最优控制器设计方法是60 年代发展起来的一种应用较多的方法，最优控制系统的目标就是使外部干扰对系统的影响最小，这也可以与跟踪或伺服控制问题相比较，他们的目标是跟踪给定参考输入或其他外部输入。跟踪问题也可以转换为二次型调节器问题。首先叙述一下最优控制器设计问题。对于线性系统，若取状态变量和控制变量的二次型函数的积分作为性能指标泛函，这种动态系统的最优控制问题称为线性系统的最优二次型性能指标的最优控制问题，简称为线性二次型问题。设线性定常系统的状态方程和初始条件为设计 （4.1）使二次型性能指标 （4.2）达到最小值，其中最优反馈增益矩阵为 （4.3）P为下面黎卡提方程的解 （4.4） 二次型性能指标函数中为控制函数，为半正定实对称常数矩阵，为正定实对称常数矩阵，分别为和的加权矩阵。性能指标函数是一项综合指标，积分项中的第一项用来衡量整个控制期间系统的实际状态与给定状态之间的综合误差，这一项越小，说明控制的性能越好，积分的第二项是对控制总能量的限制，如果仅要求控制误差尽量小，则可能造成求得的控制向量过大，控制能量消耗过大，甚至实际上难以实现，实际上这两个积分项是互相制约的，控制状态的误差平方积分减小，必然导致控制能量的消耗过大；反之，为了节省控制能量，就不得不降低对控制性能的要求，求两者之和的极小值，实质上式在某种最优意义下的折中。综上所述，系统的设计步骤如下：1）求解式（4.4）中方程，得到矩阵P。如果正定矩阵P存在（对某些系统可能不存在），则系统是稳定的或矩阵A-BK是稳定的。2）将矩阵P代入方程（4.3）中，得到的即为最优反馈增益矩阵K。4.2 LQR控制器设计设计线性二次型最优控制器关键是选择加权矩阵Q和R。一般来说，Q选择的越大，系统达到稳态所需的时间越短；而同样减小R，系统达到稳态所需的时间也越短。当然还需要实际的系统允许。矩阵Q和矩阵R用来平衡状态量与输入量的权重，对闭环系统动态性能影响很大。一般Q和R都取为对角阵。目前确定加权矩阵Q和R的普遍方法是仿真试凑法，该方法的基木过程是：首先进行分析初步选取Q和R，通过计算机仿真判断其是否符合设计要求，如果符合要求则停止仿真当前的Q和R值就是实际控制系统所需要的，然后求出最优增益矩阵K，把K代入到实际系统的控制器参数中，这样就完成了控制器的设计。如果不符合要求，则须重新选取Q和R值重复进行，直至符合实际系统的性能指标要求为止。为了更好地分析LQR设计控制器抗干扰的能力，本文分别对系统无干扰输入和有干扰输入进行设计，且对有干扰输入的系统采用了基于内模原理的LQR设计控制器6。（1） 无干扰输入时LQR设计在无干扰输入时，等效的二阶系统的结构框图如图4.1所示。 +图4.1 等效的二阶系统无干扰的结构图要设计最优反馈控制器K，使系统的动态系统得到改善，而LQR调节器方框图如图4.2所示。图4.2 LQR调节器方框图Matlab中提供了lqr()函数，用来依照给定加权矩阵设计LQ最优控制器，该函数的调用格式为：K,P,E=lqr(A,B,Q,R)，其中K、P、A、B、Q、R所代表的意义如前所述，E为闭环系统的特征根，即矩阵A-BK的特征值。先选定加权矩阵Q、R，分别取Q=diag(1 1)，R=1；Q=diag(100 100) ，R=1（Q增大，R不变）；Q=diag(1 1) ,R=10（Q不变，R增大）；比较系统阶跃响应特性。所用程序清单如下：num1=20970000;den1=1 150.8 63170;sys1=tf(num1,den1);sys1_1=feedback(sys1,1);num1_1,den1_1=feedback(num1,den1,1,1); A,B,C,D=tf2ss(num1_1,den1_1);Q1=diag(1 1);R1=1; Q2=diag(100 1);R2=1; % Q增大，R不变Q3=diag(1 1);R3=10 % Q不变，R增大K1,P1,E1=lqr(A,B,Q1,R1);K2,P2,E2=lqr(A,B,Q2,R2);K3,P3,E3=lqr(A,B,Q3,R3);A1=A-B*K1;A2=A-B*K2;A3=A-B*K3;sys1=ss(A1,B,C,D);sys2=ss(A2,B,C,D);sys3=ss(A3,B,C,D);step(sys1,g-,sys2,r-.,sys3,k:)title(LQR控制器中Q、R改变后阶跃响应)legend(Q,R为单位阵时,加大Q后,加大R后)图4.3 LQR控制器中Q、R改变后阶跃响应从图可以看到，仅仅增大加权矩阵Q或者R时，系统的动态性能并没有得到很大改善。经过反复的试凑，发现Q选择的越大，系统达到稳态所需的时间越短；而同样减小R，系统达到稳态所需的时间也越短，即衰减速度越快，因此增大Q一定的倍数并减小R到一定的倍数时，系统的动态性能得到极大地改善，无超调量出现，且响应时间极短。如图4.3，4.4所示。图4.4 LQR控制器中Q、R改变后阶跃响应为了更好的分析LQR控制器的优越性，可以对加大Q前后以及减小R前后的跟踪仿真效果图进行对比，分析LQR控制器在变化Q，R权值时系统的跟踪效果，通过Simulink仿真图如4.5所示，输入为阶跃信号，比较阶跃响应输出。图4.5 改变Q、R值的Simulink仿真图（1）加大Q前后的系统阶跃响应比较： 图4.6 Q=1,R=1 图4.7 Q=10000()，R=1（不变）图4.8 Q增大前后结果分析：由图4.64.8可看出，仅仅增大Q时，输出振荡衰减速度加快，最终达稳态且无误差跟踪输入信号。（2）减小R前后的系统阶跃响应比较：图4.9 Q=1,R=1 图4.10 Q=1（不变）,R=0.0001（）图4.11 R减小前后结果分析：由图4.9图4.11可看出，仅仅减小R时，输出振荡衰减速度加快，最终达稳态且无误差跟踪输入信号。（3）在（2）的基础上继续增大Q时系统阶跃响应比较：图4.12 Q=1000（）,R=0.0001（）图4.13 在Q=1（不变）,R=0.0001（）基础上Q=1000（）,R=0.0001（） 图4.14 Q=1000（）,R=0.0001（）基础上Q=10000（继续）,R=0.0001（）结果分析：从图4.124.14可以清楚地看到减小的R不变的情况下继续增大Q到一定的倍数时，系统的动态性能得到极大地改善，无超调量出现，且响应时间极短，达到理想的控制器设计的要求，极大地表现出LQR设计的优越性。最后，选取Q=diag(10000 1)，R=0.0001，比较加入LQR控制器前后系统的阶跃响应，如图4.15所示。所用程序清单如下。format long;num1=20970000;den1=1 150.8 63170;sys1=tf(num1,den1);sys1_1=feedback(sys1,1);num1_1,den1_1=feedback(num1,den1,1,1); A,B,C,D=tf2ss(num1_1,den1_1)Q=diag(10000 1);R=0.0001;K,P,E=lqr(A,B,Q,R) %F为状态反馈矩阵；P为黎卡提方程解A1=A-B*K;sys2=ss(A1,B,C,D);subplot(2,1,1),step(sys1_1,0.1);grid;title(Unit-Step-Response of Orignal System)xlabel(Times);ylabel(Output yum)subplot(2,1,2),step(sys2,0.03);grid;title(Unit-Step-Response of LQR System)xlabel(Times);ylabel(Output y)图4.15 原系统阶跃响应与经LQR设计后系统的阶跃响应将配置的K=9850.33696738903 0.00023771753值代入到原系统，搭建模块，用Simulink得图4.6。图4.16 LQR设计的系统结构图只需将K=9850.33696738903 0.00023771753装载到模块K中，运行得图4.17。图4.17 经LQR设计后系统的阶跃响应从图中看以清楚地看到：原系统先短时间的振荡后快速衰减至稳态而无误差，而经LQR设计的系统极速地到达稳态值，且无超调出现。因此，LQR设计的系统能够快速地跟踪给定的输入且无静差。（2） 有干扰输入时LQR设计考虑干扰作用，可得到硬盘驱动器系统的框图如图4.18所示。 +图4.18 带干扰的系统结构图为了使系统具有很好的抗干扰性能，使输出无静差的快速跟踪输入，本文主要是基于内模原理，现将无干扰情况下经LQR配置的最优状态反馈增益K2数据加载到K2模块中，然后在系统中引入积分环节，再通过设置增益K1来调节系统的稳态性能和动态性能。其中状态反馈增益矩阵K2、增益K1与积分器一起构成所要设计的控制器，如图4.19所示。 +CK1K21+ux控制器对象 图4.19 设计控制器的结构图当干扰信号为常数时，取。图4.20 常数干扰K1=700时系统结构图通过反复的调整K1的值，一直增大K1值，发现当K1=800时，系统出现极小的超调且调节时间也大些（如图4.21），直到调整K1=700到时，系统的阶跃响应无超调且响应时间也较快，输出达稳态而无误差（如图4.22）。且系统的结构框如图4.23所示。图4.21 常数干扰K1=800时系统的阶跃响应曲线图4.22 常数干扰K1=700时系统的阶跃响应曲线当干扰信号为正弦信号时，取。调整的方法和前述常数干扰相同，同样取到K1=700到时，系统的阶跃响应无超且响应时间也较快，输出达稳态而无误差（如图4.24，4.25）。图4.23 正弦信号干扰K1=700时系统结构图 图4.24 正弦信号干扰K1=700时系统阶跃响应曲线结构图 图4.25 正弦信号干扰K1=700时系统阶跃响应误差曲线小结：从上述的设计中可以看到，基于LQR和内模原理设计的控制器，使系统的输出快速无误差跟踪阶跃输入，且对常数干扰信号和正弦干扰信号有很好的抑制和消除作用，即使干扰对输出的影响较小。从而实现硬盘磁头能够准确快速无误差定位于期望的磁道进行信息的读写操作。4.3 性能分析实践证明LQR方法具有优点：它非常适合于线性控制系统二次型的最优整定，即我们在现代控制理论中所介绍的极点配置问题。因为选取极点的位置，实际上是确定综合目标的问题，所谓综合目标就是使其控制过程满足事先规定的性能指标。根据给定的输入函数和输出函数，通过该方法可以避免用手工进行大量的探索工作，利用Matlab已有的工具箱中的命令格式，可以直接找到控制系统中二次型的最优值，能够较好的解决现代控制理论中极点的配置问题，而且能够通过系统的响应曲线看出系统的一些动态参数，以便与约束的性能指标进行比较，看是否与其相符，从而使控制过程满足事先规定的性能指标。另外，设计的控制器的抗干扰性也很强。它的不足之处在于加权矩阵Q，R的值与系统的响应性能之间的关系是定性的，往往不能一次得到满意的结果，需要多次调整它们的值得到满意的系统响应性能。5 采用H-infinite控制器5.1 H-infinite控制器一个控制系统最重要的目的是使其达到给定的性能指标而同时又能保证系统的内稳定。一般来讲，描述给定的性能指标的方法之一是用某些信号的大小来表示。H控制中的性能指标就是用传递函数矩阵的H范数来描述的。H鲁棒控制理论是通过对传递函数的无穷范数优化而获得具有鲁棒性能的控制器的一种控制理论。H范数的物理意义是它代表系统获得的最大能量增益。基于H鲁棒控制理论设计控制系统，不论是鲁棒稳定还是干扰抑制问题，都可以归结为求反馈控制器使闭环系统稳定且闭环传递函数阵的H范数最小或者小于某一给定值。在本例的设计中，采取基于Riccati方程的设计方法，在设计中只需求解一个或两个代数Riccati方程，控制器的推导可以基于状态空间理论10。实际应用中，很多问题都可以化成如图5.1所示的H标准控制问题。图5.1 H标准控制结构图其中w表示外部干扰输入信号，包括参考指令信号、干扰和传感器噪声。z是被控输出信号，也是评价信号，通常包括跟踪误差、调节误差和执行机构输出。u是控制输入信号；y是向控制器提供的测量值。P为广义被控对象，包含了受控对象以及描述期望特性所加的权重函数，该模型一般表示为：H最优控制问题：要设计一个镇定控制器K，使闭环系统内部稳定，并且得w到z的闭环传递函数Tzw的H范数达到极小，即。H次优控制问题：设计控制器K，使得系统内部稳定，且使，其中。不失一般性，常取，对于被控对象P，控制器设计的准则是设计一个控制器K，使闭环系统内部稳定且使得w到z的闭环传递函数Tzw的H范数达到极小，即：。状态反馈控制器的设计一般采用基于Riccati方程的方法求解。系统方程为：其中w为干扰输入，它的能量有限，即。设计控制器使干扰对输出的影响较小。对于给定常数 ，系统的输出能量满足 。为了求出控制器u=Kx ，首先求出Riccati方程的解若（A，B2）能控，（C1，A）能观，D11=0，则方程有正定解P，之后将其代入即可求出反馈控制器。5.2 控制器设计根据上一节中所讨论的H-infinite控制器的原理可以画出如5.2所示的系统结构图，在Simulink中进行试验仿真。图5.2 H-infinite控制器设计系统仿真结构图在实际的H-infinite控制器设计过程中，我们可以充分利用MATLAB工具箱来计算控制器参数K。在MATLAB中，鲁棒控制工具箱提供了hinf()、aresolv()等函数来设计一个混合稳定性与品质鲁棒性要求相结合的H控制器。本文选用了aresolv()函数来求得黎卡提方程的解阵P，最后根据公式得到K。首先选定，然后根据公式： 和计算出Q和R，从而可以就得P与K。在求出控制器参数K后进行仿真，将加入控制器前后的系统阶跃响应对比，调整参数，观察阶跃响应变化，从而设计出一组能使系统满足设计要求的参数。在本文中通过反复的试凑，首先选定，通过单独增大减小G参数，得到原系统阶跃响应及加入鲁棒控制器的系统阶跃响应图如图5.35.8所示。图5.3 原系统的阶跃响应图5.4 G=0.01,Y=1时，加入鲁棒控制器系统阶跃响应图5.5 G=0.1,Y=1时，加入鲁棒控制器系统阶跃响应图5.6 G=1,Y=1时，加入鲁棒控制器系统阶跃响应图5.7 G=10,Y=1时，加入鲁棒控制器系统阶跃响应图5.8 G=0.1,Y=1时，加入鲁棒控制器系统阶跃响应从图上可以清楚地看到加入鲁棒控制器的系统阶跃响应最终都是趋近稳态的，不同的是保持Y()=1不变，分别将G()减小到0.1，0.01，增大到10，100。即增大时，系统阶跃响应的稳态误差逐渐减小，最后近乎趋近0但达稳态的时间增长。接着，保持G()=1不变，单独增大减小G参数，得到加入鲁棒控制器的系统阶跃响应图如图5.95.13所示。图5.9 G=1,Y=0.1时，加入鲁棒控制器系统阶跃响应图5.10 G=1,Y=1时，加入鲁棒控制器系统阶跃响应图5.11 G=1,Y=10时，加入鲁棒控制器系统阶跃响应图5.12 G=1,Y=100时，加入鲁棒控制器系统阶跃响应图5.13 G=1,Y=1000时，加入鲁棒控制器系统阶跃响应从图上可以清楚地看到加入鲁棒控制器的系统阶跃响应最终都是趋近稳态的，不同的是保持G()=1不变，分别将Y()减小到0.1，增大到10，100，1000。即增大时，系统阶跃响应的稳态误差和调节时间几乎不变。所以本系统中保持=1不变的时，的变化对系统的阶跃响应几乎无影响。所以综合考虑到硬盘磁头在干扰的情况下要快速稳定达到期望磁道的要求，本文选择参数=10，=100来设计控制器，使系统的抗扰性增强。所用Matlab程序代码如下所示，并运行得加入鲁棒控制器的系统阶跃响应图如图5.14所示。%Matlab源代码%clear all;A=-150.8 -2.103317e+007;1 0;B1=0.05;0;B2=1;0;C=0 20970000;D=0;G=10; %的取值Y=100; %的取值Q=C*C;R=B2*B2/(G2)-B1*B1/(Y2); %求矩阵RP1,P2,M,N,L,P=ARESOLV(A,Q,R,eigen); %解Riccati方程K=-1*B2*P/G 2 %求反馈矩阵KABAR=A+B2*K;sys1=SS(A,B2,C,D);sys2=SS(ABAR,B2,C,D);b0,a0 = ss2tf(A,B2,C,D);printsys(b0,a0,s) %求反馈前z-w的传递函数b1,a1 = ss2tf(ABAR,B2,C,D);printsys(b1,a1,s) %求加入反馈后的z-w的传递函数step(sys2); title(G=10,Y=100时，加入鲁棒控制器阶跃响应); grid on;图5.14 G=10,Y=100时，加入鲁棒控制器系统阶跃响应5.3 仿真分析为了更好的分析H-infinite控制器抗干扰的优越性，通过搭建Simulink仿真图来比较原系统与加入H-infinite设计的控制器后，系统在常数干扰情况下的比较。将上述G=10,Y=100时得到的状态反馈矩阵K=1.0e+005*-0.0033 -1.0428装载到K模块中，得Simulink仿真图如图5.15所示。常数干扰d=1时，原系统及加入H-infinite设计的控制器后系统阶跃响应曲线分别如图5.16，5.17所示，比较曲线如图5.18所示。图5.15 常数干扰时原系统和加入鲁棒控制器后系统的Simulink图 图5.16常数干扰d=1时，原系统阶跃响应曲线图5.17常数干扰d=1时，加入H-infinite设计的控制器后系统阶跃响应曲线图5.18 常数干扰d=1时，加入H-infinite设计的控制器前后系统阶跃响应曲线从图上可以清楚地看到，H-infinite设计的控制器的系统能够抑制干扰，几乎能渐进地跟踪输入，达稳态而无误差。6 比较与总结极点配置：极点配置法能很直观地在系统完全能控或者镇定的前提下任意将系统极点配置到期望的极点，以实现系统的渐近稳定，还可以优化系统的动态性能，比如减小超调量，缩短调节时间等。然而这种方法有较大的局限性，因为期望极点的选择往往有一定的盲目性，很大程度上依赖于技术人员的经验，另外极点配置对系统性能的改善往往不太精确，一般难以实现各种苛刻的性能指标。 PID控制器：PID参数的配合使得控制器能够在时域范围能很好地完成对被控对象的调节，使得系统能够稳定运行，同时能满足系统要求的各项指标。而且，利用Matlab工具，能很方便地整定出较好的参数，但