2019年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.1双曲线及其标准方程练习（含解析）新人教A版选修.docx

2.3.1双曲线及其标准方程1.若方程-=1表示双曲线,则实数m的取值范围是(B)(A)(-1,3)(B)(-1,+)(C)(3,+)(D)(-,-1)解析:依题意应有m+10,即m-1.故选B.2.已知M(-2,0),N(2,0),|PM|-|PN|=3,则动点P的轨迹是(D)(A)圆 (B)椭圆 (C)射线 (D)双曲线解析:因为|PM|-|PN|=3|MN|=4,所以由双曲线定义可知,点P的轨迹是双曲线.故选D.3.设F1,F2是双曲线x2-=1的两个焦点,P是双曲线上的一点,且3|PF1|=4|PF2|,则|PF1|等于(A)(A)8(B)6(C)4(D)2解析:依题意得解得|PF2|=6,|PF1|=8,故选A.4.双曲线-=1的焦距为10,则实数m的值为(C)(A)-16(B)4 (C)16(D)81解析:因为2c=10,所以c2=25,所以9+m=25,所以m=16.故选C.5.在方程mx2-my2=n中,若mn0,则方程表示的曲线是(D)(A)焦点在x轴上的椭圆(B)焦点在x轴上的双曲线(C)焦点在y轴上的椭圆(D)焦点在y轴上的双曲线解析:方程mx2-my2=n可化为-=1.因为mn0,所以0.方程又可化为-=1,所以方程表示焦点在y轴上的双曲线.故选D.6.已知双曲线的方程为-=1(a0,b0),A,B在双曲线的右支上,线段AB经过双曲线的右焦点F2,|AB|=m,F1为另一焦点,则ABF1的周长为(B)(A)2a+2m(B)4a+2m(C)a+m(D)2a+4m解析:由双曲线定义得|AF1|-|AF2|=2a,|BF1|-|BF2|=2a,所以|AF1|+|BF1|-(|AF2|+|BF2|)=4a.所以|AF1|+|BF1|=4a+m.所以ABF1的周长是4a+2m.故选B.7.已知椭圆+=1与双曲线-=1有共同的焦点F1,F2,两曲线的一个交点为P,则的值为(C)(A)3(B)7(C)11 (D)21解析:椭圆与双曲线同焦点,解得m=4,设r1=|PF1|r2=|PF2|,根据圆锥曲线定义得r1+r2=10,r1-r2=4,解得r1=7,r2=3,而焦距为6,由余弦定理得cosF1PF2=,因此=37=11.故选C.8.焦点分别为(-2,0),(2,0)且经过点(2,3)的双曲线的标准方程为(A)(A)x2-=1(B)-y2=1(C)y2-=1(D)-=1解析:由双曲线定义知,2a=-=5-3=2,所以a=1.又c=2,所以b2=c2-a2=4-1=3,因此所求双曲线的标准方程为x2-=1.故选A.9.设m是常数,若点F(0,5)是双曲线-=1的一个焦点,则m=.解析:由点F(0,5)可知双曲线-=1的焦点落在y轴上,所以m0,且m+9=52,解得m=16.答案:1610.已知双曲线的两个焦点F1(-,0),F2(,0),P是双曲线上一点,且=0,|PF1|PF2|=2,则双曲线的标准方程为.解析:由题意可设双曲线方程为-=1(a0,b0).由=0,得PF1PF2.根据勾股定理得|PF1|2+|PF2|2=(2c)2,即|PF1|2+|PF2|2=20.又根据双曲线定义有|PF1|-|PF2|=2a,两边平方并代入|PF1|PF2|=2得20-22=4a2,解得a2=4,从而b2=5-4=1,所以双曲线方程为-y2=1.答案:-y2=111.已知椭圆+=1与双曲线-y2=1的公共焦点为F1,F2,点P是两条曲线的一个公共点,则cosF1PF2的值为.解析:设P在第一象限,由椭圆与双曲线的定义可得又|F1F2|=4,由余弦定理得cosF1PF2=.答案:12.从双曲线-=1(a0,b0)的左焦点F引圆x2+y2=a2的切线,切点为T,延长FT交双曲线右支于点P,若M是线段PF的中点,O为原点,则|MO|-|MT|的值是.解析:如图所示,设双曲线的右焦点为F1,连接PF1,则|PF|-|PF1|=2a,在RtFTO中,|OF|=c,|OT|=a,所以|FT|=b,又M是线段PF的中点,O为FF1中点,所以|PF|=2|MF|=2(|MT|+b),所以|MO|=|PF1|=(|PF|-2a)=(2|MT|+2b-2a)=|MT|+b-a即|MO|-|MT|=b-a.答案:b-a 13.求适合下列条件的双曲线的标准方程:(1)a=3,c=4,焦点在x轴上;(2)经过点(3,-4),(,5).解:(1)由题设知,a=3,c=4,由c2=a2+b2得,b2=c2-a2=42-32=7.因为双曲线的焦点在x轴上,所以所求双曲线的标准方程为-=1.(2)设双曲线的方程为mx2+ny2=1(mn0),因为双曲线经过点(3,-4),(,5),所以解得故所求双曲线的标准方程为-=1.14.已知双曲线-=1的左、右焦点分别是F1,F2,若双曲线上一点P使得F1PF2=60,求F1PF2的面积.解:由-=1,得a=3,b=4,c=5.由定义和余弦定理得|PF1|-|PF2|=6,|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|PF2|cos 60,所以102=(|PF1|-|PF2|)2+|PF1|PF2|,所以|PF1|PF2|=64.所以=|PF1|PF2|sinF1PF2=64=16.15.已知双曲线过点(3,-2)且与椭圆4x2+9y2=36有相同的焦点.(1)求双曲线的标准方程;(2)若点M在双曲线上,F1,F2分别为左、右焦点,且|MF1|=2|MF2|,试求MF1F2的面积.解:(1)椭圆方程可化为+=1,焦点在x轴上,且c=,故设双曲线方程为-=1,则解得所以双曲线的标准方程为-=1.(2)因为点M在双曲线上,又|MF1|=2|MF2|,所以点M在双曲线的右支上,则有|MF1|-|MF2|=2,故解得|MF1|=4,|MF2|=2,又|F1F2|=2,因此在MF1F2中,cosF1MF2=,所以sinF1MF2=,所以=|MF1|MF2|sinF1MF2=42=2.16.已知双曲线的两个焦点为F1(-,0),F2(,0),M是此双曲线上的一点,且满足=0,|=2,则该双曲线的方程是(A)(A)-y2=1 (B)x2-=1(C)-=1 (D)-=1解析:因为=0,所以,即MF1MF2,所以|MF1|2+|MF2|2=40.则(|MF1|-|MF2|)2=|MF1|2-2|MF1|MF2|+|MF2|2=40-22=36.所以|MF1|-|MF2|=6=2a,即a=3.因为c=,所以b2=c2-a2=1.所以该双曲线的方程是-y2=1.故选A.17.已知两圆C1:(x+4)2+y2=2,C2:(x-4)2+y2=2,动圆M与两圆C1,C2都相切,则动圆圆心M的轨迹方程是(D)(A)x=0 (B)-=1(x)(C)-=1 (D)-=1或x=0解析:动圆M与两圆C1,C2都相切,有四种情况:动圆M与两圆都外切;动圆M与两圆都内切;动圆M与圆C1外切,与圆C2内切;动圆M与圆C1内切,与圆C2外切.在情况下,显然动圆圆心M的轨迹方程是x=0;在的情况下,如图,设动圆M的半径为r,则|MC1|=r+,|MC2|=r-,故得|MC1|-|MC2|=2;在的情况下,同理,得|MC2|-|MC1|=2.由得|MC1|-|MC2|=28=|C1C2|,根据双曲线定义,可知点M的轨迹是以C1(-4,0),C2(4,0)为焦点的双曲线,且a=,c=4,b2=c2-a2=14,所以此时动圆圆心M的轨迹方程为-=1.故选D.18.(2018浙江衢州高三模拟)F1,F2分别是双曲线-=1的左、右焦点,P为双曲线右支上的一点,A是PF1F2的内切圆,A与x轴相切于点M(m,0),则m的值为.解析:如图所示,易知|PB|=|PC|,|BF1|=|MF1|,|CF2|=|MF2|,|PF1|-|PF2|=|BF1|-|CF2|=|MF1|-|MF2|=2a,所以点M在双曲线上,因为a=4,所以M(4,0),即m=4.答案:419.已知F是双曲线-=1的左焦点,点A(1,4),P是双曲线右支上的动点,则|PF|+|PA|的最小值为.解析:设右焦点为F,依题意,|PF|=|PF|+4,所以|PF|+|PA|=|PF|+4+|PA|=|PF|+|PA|+4|AF|+4=5+4=9.答案:920.已知ABC的两个顶点A,B分别为椭圆x2+5y2=5的左焦