高中数学第一章立体几何1.1.6棱柱棱锥棱台和球的表面积课件

1 1 6棱柱 棱锥 棱台和球的表面积 一 二 三 一 棱柱 棱锥 棱台的侧面积 问题思考 1 直棱柱 正棱锥 正棱台的侧面展开图分别是什么 提示 直棱柱的侧面展开图是一个矩形 正棱锥的侧面展开图是若干个全等的等腰三角形 正棱台的侧面展开图是若干个全等的等腰梯形 2 填写下表 一 二 三 一 二 三 3 斜棱柱的侧面展开图是什么 它的侧面积如何求解 提示 斜棱柱的侧面展开图是由一些平行四边形连接起来的不规则图形 它的侧面积等于各个侧面面积之和 也等于直截面 与侧棱垂直相交的截面 的周长与侧棱长的乘积 一 二 三 4 做一做 一个四棱锥的侧棱长都相等 底面是正方形 其主视图如图所示 则该四棱锥的侧面积是 解析 由题意可知该四棱锥为正四棱锥 底面边长为2 高为2 答案 B 一 二 三 二 圆柱 圆锥的侧面积 问题思考 1 圆柱 圆锥 圆台的侧面展开图是什么 提示 这三类几何体的侧面均是沿其母线割开 分别得到矩形 扇形 扇环 2 填写下表 一 二 三 3 圆台的侧面积公式如何推导 提示 圆台的侧面展开图是一个扇环 它的侧面积可以利用大扇形与小扇形面积作差推出 S圆台侧 r1 r2 l 其中r1 r2分别是圆台上 下底面圆的半径 l为圆台的侧面母线长 4 做一做 已知矩形的边长分别为1和2 若分别以这两边所在直线为轴旋转 所形成几何体的侧面积之比为 A 1 2B 1 1C 1 4D 1 3解析 以长度为1的边所在直线为轴旋转得到的圆柱的底面半径为2 母线长为1 其侧面积S1 2 2 1 4 以长度为2的边所在直线为轴旋转得到的圆柱的底面半径为1 母线长为2 其侧面积S2 2 1 2 4 故S1 S2 1 1 答案 B 一 二 三 三 球的表面积 问题思考 1 球的表面积能用展开的方法求得吗 提示 不能 球的表面积公式推导需要借助后续的知识得以解决 2 填空 S球 4 R2 R为球的半径 3 做一做 长方体的体对角线长为2 若长方体的八个顶点都在同一个球面上 则这个球的表面积是 答案 12 一 二 三 思考辨析判断下列说法是否正确 正确的在后面的括号内画 错误的画 1 侧面积公式S棱柱侧 cl 其中c为底面周长 l为棱柱侧棱长 仅适用于正棱柱 2 若圆锥的母线长为l 底面圆的半径为r 则一定有S圆锥侧 rl 3 正棱锥侧面积公式S正棱锥侧 ch 中c为底面周长 而h 为正棱锥的高 4 如果一个球的表面积变为原来的9倍 那么对应的球的半径变为原来的3倍 答案 1 2 3 4 探究一 探究二 探究三 探究四 思维辨析 棱柱 棱锥 棱台的面积问题 例1 如图所示 正四棱锥底面正方形的边长为4cm 高与斜高的夹角为30 求该正四棱锥的侧面积和表面积 思路分析 根据多面体的侧面积公式 必须求出相应多面体的底面边长和各侧面的斜高 我们可以把问题转化到三角形内加以分析求解 探究一 探究二 探究三 探究四 思维辨析 解 正四棱锥的高PO 斜高PE 底面边心距OE组成一个Rt POE 因为OE 2cm OPE 30 S正四棱锥表 S正四棱锥侧 S正四棱锥底 32 4 4 48 cm2 反思感悟对于多面体 只有直棱柱 正棱锥和正棱台可直接用公式求侧面积 其余多面体的侧面积要先把每个侧面积求出来再相加 求解时还要注意区分是求侧面积还是表面积 探究一 探究二 探究三 探究四 思维辨析 变式训练1直平行六面体ABCD A B C D 的底面是菱形 两个对角面DBB D ACC A 的面积分别为Q1 Q2 求直平行六面体的侧面积 解 如图所示 设底面边长为a 侧棱长为h 两条底面对角线的长分别为c d 即BD c AC d 探究一 探究二 探究三 探究四 思维辨析 圆柱 圆锥 圆台的面积问题 例2 圆锥的底面直径为6 高为4 则它的侧面积为 A 12 B 24 C 15 D 30解析 作圆锥轴截面如图 高AD 4 底面半径CD 3 则母线AC 5 所以S侧 3 5 15 答案 C 探究一 探究二 探究三 探究四 思维辨析 反思感悟1 圆柱 圆锥 圆台的侧面积公式 S圆柱侧 2 rl S圆锥侧 rl S圆台侧 r1 r2 l 应的圆台就转化为圆锥 而当r1 r2 r时 相应的圆台就转化为圆柱 相应的侧面积公式也随之变化 圆柱 圆锥 圆台的侧面积公式之间的变化关系为 探究一 探究二 探究三 探究四 思维辨析 2 对于圆锥还要明确如下结论 1 圆锥的侧面展开图是扇形 2 圆锥的底面周长 扇形的弧长 3 圆锥的母线长 扇形的半径 探究一 探究二 探究三 探究四 思维辨析 变式训练2已知一圆锥的侧面展开图为半圆 且面积为S 则圆锥的底面面积是 解析 如图 设圆锥底面半径为r 母线长为l 探究一 探究二 探究三 探究四 思维辨析 球的表面积 例3 1 用与球心距离为1的平面去截球 所得截面面积为 则球的表面积为 2 某几何体的三视图如图所示 则其表面积为 答案 1 8 2 3 反思感悟1 当球半径未知时 要根据已知条件求得球半径 球内的计算一般要用到轴截面及勾股定理 2 当几何体用三视图给出数据时 一定要把三视图与还原后的几何体的对应关系弄清楚 探究一 探究二 探究三 探究四 思维辨析 将本例3 2 中几何体的三视图改为如图所示的三视图 其中俯视图与左视图均为半径是2的圆 则这个几何体的表面积是多少 答案 16 探究一 探究二 探究三 探究四 思维辨析 球的切接问题 例4 已知圆台内有一表面积为144 的内切球 如果圆台的下底面与上底面半径之差为5 求圆台的表面积 解 其轴截面如图所示 设圆台的上 下底面半径分别为r1 r2 母线长为l 球半径为R 则r2 r1 5 母线l r1 r2 因为4 R2 144 所以R 6 又l2 2R 2 r2 r1 2 所以 r1 r2 2 2R 2 r2 r1 2 2 6 2 52 132 所以r1 r2 13 结合r2 r1 5得r1 4 r2 9 所以l 13 42 92 4 9 13 266 探究一 探究二 探究三 探究四 思维辨析 反思感悟对球的表面积公式的考查 通常与球的性质结合在一起 与其他多面体和旋转体组合也是考查球的表面积的一种常见方式 常见的有关球的一些性质 1 长方体的8个顶点在同一个球面上 则长方体的体对角线是球的直径 球与正方体的六个面均相切 则球的直径等于正方体的棱长 球与正方体的12条棱均相切 则球的直径是正方体的面对角线 2 球与圆柱的底面和侧面均相切 则球的直径等于圆柱的高 也等于圆柱底面圆的直径 探究一 探究二 探究三 探究四 思维辨析 变式训练3已知长方体的长 宽 高分别为2 3 6 则其外接球的表面积为 A 196 B 49 C 44 D 36 所以它的表面积为4 R2 49 故选B 答案 B 探究一 探究二 探究三 探究四 思维辨析 对几何体认识不清而致误 典例 如图所示 从底面半径为2a 高为a的圆柱中 挖去一个底面半径为a且与圆柱等高的圆锥 求圆柱的表面积S1与挖去圆锥后的几何体的表面积S2之比 探究一 探究二 探究三 探究四 思维辨析 以上解答过程中都有哪些错误 出错的原因是什么 你如何订正 你怎么防范 提示 本题中挖去圆锥的几何体的表面积去掉了一个半径为a的圆的面积 但同时增加了一个圆锥的侧面的面积 而错解未考虑到增加的部分 几何体的表面积是各个面的面积之和 防范措施求组合体的表面积时切忌直接套用柱 锥 台的表面积公式 而应先分析该几何体由几部分组成 几何体各个面间有无重叠 再结合相应几何体选择公式求解 探究一 探究二 探究三 探究四 思维辨析 变式训练已知球的两个平行截面的面积分别为5 和8 且距离为3 求这个球的表面积 解 当两截面在球心的同侧时 解法同上 当两截面在球心的异侧时 d1 d2 3 由以上解法可知 d1 d2 d1 d2 3 S球 4 R2 36 1 2 3 4 5 1 长方体的对角线长为2 长 宽 高的比为3 2 1 那么它的表面积为 A 44B 88C 64D 48解析 设长 宽 高分别为3x 2x x 则对角线长为 所以x 2 所以表面积S 2 6x2 3x2 2x2 88 答案 B 1 2 3 4 5 2 若球的大圆周长为C 则这个球的表面积是 答案 C 1 2 3 4 5 3 如图所示 一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形 俯视图是一个圆 那么这