28.2.2 三角函数应用题

28 2 2应用举例 第2课时应用举例 2 画出方向图 表示东南西北四个方向的 并依次画出表示东南方向 西北方向 北偏东65度 南偏东34度方向的射线 北 南 西 东 北偏东65度 南偏东34度 东南 西北 创设情景明确目标 1 了解 方位角 航海术语 并能根据题意画出示意图 2 利用解直角三角形的方法解决航海问题中的应用 学习目标 65 34 P B C A 例5如图 一艘海轮位于灯塔P的北偏东65方向 距离灯塔80海里的A处 它沿正南方向航行一段时间后 到达位于灯塔P的南偏东34方向上的B处 这时 海轮所在的B处距离灯塔P有多远 结果保留小数点后一位 探究点一 方位角问题 合作探究达成目标 解 如图 在Rt APC中 PC PA cos 90 65 80 cos25 80 0 91 72 8 在Rt BPC中 B 34 当海轮到达位于灯塔P的南偏东34 方向时 它距离灯塔P大约130 23海里 65 34 P B C A 合作探究达成目标 小组讨论 通过对上面例题的学习 你对方位角问题的解答有可感想 进而请你归纳利用解直角三角形的知识解决问题的一般过程 反思小结 1 方位角是一种表示方向的角 在航海 测绘等位置确定中非常重要 解决方位角问题 首先明确概念 通过添加辅助线 把具体问题抽象成直角三角形模型 利用直角三角形的边角关系以及勾股定理来解题 合作探究达成目标 小组讨论 通过对上面例题的学习 你对方位角问题的解答有可感想 进而请你归纳利用解直角三角形的知识解决问题的一般过程 反思小结 2 利用解直角三角形的知识解决问题的一般过程 1 将实际问题抽象为数学问题 画出平面图形 转化为解直角三角形的问题 2 根据问题中的条件 适当选用锐角三角函数等解直角三角形 3 得到数学问题的答案 4 得到实际问题的答案 1 如图 一艘海轮位于灯塔P的东北方向 距离灯塔海里的A处 它沿正南方向航行一段时间后 到达位于灯塔P的南偏东方向上的B处 则海轮行驶的路程AB为多少海里 结果保留根号 解 在Rt APC中 AP 40 APC 45 AC PC 40在Rt BPC中 PBC 30 BPC 60 BC PC tan60 40 40 AB AC BC 40 40 海里 答 海轮行驶的路程AB为 40 40 海里 针对练 解直角三角形有广泛的应用 解决问题时 要根据实际情况灵活运用相关知识 例如 当我们要测量如图所示大坝的高度h时 只要测出仰角a和大坝的坡面长度l 就能算出h lsina 但是 当我们要测量如图所示的山高h时 问题就不那么简单了 这是由于不能很方便地得到仰角a和山坡长度l 化整为零 积零为整 化曲为直 以直代曲的解决问题的策略 与测坝高相比 测山高的困难在于 坝坡是 直 的 而山坡是 曲 的 怎样解决这样的问题呢 合作探究达成目标 探究点二 我们设法 化曲为直 以直代曲 我们可以把山坡 化整为零 地划分为一些小段 图表示其中一部分小段 划分小段时 注意使每一小段上的山坡近似是 直 的 可以量出这段坡长l1 测出相应的仰角a1 这样就可以算出这段山坡的高度h1 l1sina1 在每小段上 我们都构造出直角三角形 利用上面的方法分别算出各段山坡的高度h1 h2 hn 然后我们再 积零为整 把h1 h2 hn相加 于是得到山高h 以上解决问题中所用的 化整为零 积零为整 化曲为直 以直代曲 的做法 就是高等数学中微积分的基本思想 它在数学中有重要地位 在今后的学习中 你会更多地了解这方面的内容 总结梳理内化目标 利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是 1 将实际问题抽象为数学问题 画出平面图形 转化为 2 根据条件特点 适当选用 等去解直角三角形 3 得到数学问题的答案 4 得到 的答案 几何图形 三角函数 实际问题 1 如下图 在一次数学课外活动中 测得电线杆底部B与钢缆固定点O的距离为4米 钢缆与地面的夹角 BOA为60 则这条钢缆在电线杆上的固定点A到地面的距离AB是多少米 结果保留根号 解 在Rt ABO中 tan BOA tan60 AB BO tan60 4 4 米 答 这条钢缆在电线杆上的固定点A到地面的距离AB是4米 达标检测反思目标 2 如右下图 海船以5海里 小时的速度向正东方向行驶 在A处看见灯塔B在海船的北偏东60 方向 2小时后船行驶到C处 发现此时灯塔B在海船的北偏西45方向 求此时灯塔B到C处的距离 解 如图 过B点作BD AC于D ABD 60 DCB 90 45 45 设BD x 则CD BD x在Rt ABD中 AD x tan60 x在Rt BDC中 BC BD X又AC 5 2 10 AD CD AC x x 10 得x 5 1 BC 5 1 5 海里 答 灯塔B距C处5 海里 达标检测反思目标 3 如图6 32 海岛A的周围8海里内有暗礁 鱼船跟踪鱼群由西向东航行 在点B处测得海岛A位于北偏东60 航行12海里到达点C处 又测得海岛A位于北偏东30 如果鱼船不改变航向继续向东航行 有没有触礁的危险 解 如图 过A作AD BC于点C 则AD的长是A到BC的最短距离 CAC 30 DAB 60 BAC 60 30 30 ABC 90 60 30 ABC BAC BC AC 12海里 CAC 30 ACC 90 CD AC 6海里 由勾股定理得AC 6 10 392 8 即渔船继续向正东方向行驶 没有触礁的危险 达标检测反思目标 4 如图 在一次暖气管道的铺设工作中 工程是由A点出发沿正西方向进行的 在A点的南偏西60 的方向上有一所学校 学校占地是以B点为中心方圆100米的圆形 当工程进行了200米时到达C处 此时B在C的南偏西30 的方向上 请根据题中所提供的信息计算 分析一下 工程继续进行下去 是否会穿过学校 达标检测反思目标 解 过点B作BD AD于点D EA CA于点A FC CA于点C 由题意得 BAE 60 BCF 30 CAB 30 DCB 60 DBC 30 CBA CBD CA