高中数学 6.4基本不等式的应用配套课件 苏教版.ppt

第四节基本不等式的应用 三年2考高考指数 1 基本不等式的常见应用基本不等式 a 0 b 0 常用于证明不等式以及求某些函数的 或 最大值 最小值 即时应用 判断下列各不等式是否正确 正确的打 错误的打 1 x2 1 x 0 2 2 3 x 4 4 a b是正实数 解析 1 正确 x2 x2 1 1 2 1 1 但等号成立时x 0 又x 0 故等号不成立 2 正确 2 但等号不成立 故 2 3 错误 x 0时 x 4 4 正确 等号成立的条件是a b 答案 1 2 3 4 2 运用基本不等式求函数最值的方法对于非负数a b ab有最大值 a b有最小值 即时应用 1 思考 若a 0 b 0 且ab为定值 怎样求a b的最大值 提示 a b a b 2 2 a b的最大值为 2 2 若lgx lgy 2 则的最小值是 解析 由lgx lgy 2 得lg xy 2 即xy 100 x 0 y 0 2 2 等号成立的条件是x y 10 答案 3 若x 2y 4 则2x 4y的最小值是 解析 2x 4y 2x 22y 2 2 2 8 当且仅当2x 22y x 2y 2时取 答案 8 4 已知扇形面积为定值s 则半径为 时 扇形周长取得最小值 解析 设扇形半径为r 弧长为l 则lr s lr 2s 周长c l 2r 2 2 4 当且仅当l 2r时 周长取最小值4 此时由2r2 2s 得r 答案 4 与基本不等式相关的范围问题 方法点睛 常见的求参数取值范围的关注点利用 2 ab a b r 求最值时 要注意和a b为定值时 平方和a2 b2有最小值 平方和a2 b2为定值时 和a b有最大值 例1 已知a b r a b a2 b2 24 则a b的取值范围是 解题指南 利用 2 ab a b r 求解 规范解答 a2 b2 2ab 当且仅当a b时取 2 a2 b2 a b 2 即a2 b2 a b 2 当且仅当a b时取 24 a b a2 b2 a b 2 当且仅当a b时取 即 a b 2 2 a b 48 0 解关于a b的二次不等式 得 8 a b 6 a b的取值范围是 8 6 答案 8 6 反思 感悟 利用基本不等式求范围问题的关键是配凑出基本不等式的常见形式 注意在一次求解过程中可能多次应用基本不等式的情况 此时要注意条件的一致性 变式训练 已知a b为正数 ab a b 3 求ab的范围 解析 ab a b 3 2 3 ab 2 3 0 3或 1 舍去 ab 9当且仅当a b 3时取 ab的范围是 9 基本不等式的实际应用 方法点睛 基本不等式实际应用题的解法 1 问题的背景是人们关心的社会热点问题 如 物价 销售 税收 原材料 等 题目往往较长 解题时需认真阅读 从中提炼出有用信息 建立数学模型 转化为数学问题求解 2 当运用基本不等式求最值时 若等号成立的自变量的值不满足定义域时 就不能使用基本不等式求解 此时可根据变量的范围应用函数的单调性求解 例2 某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为162平方米的三级污水处理池 池的深度一定 平面图如图所示 如果池四周围墙建造单价为400元 米 中间两道隔墙建造单价为248元 米 池底建造单价为80元 米2 水池所有墙的厚度忽略不计 1 试设计污水处理池的长和宽 使总造价最低 并求出最低总造价 2 若由于地形限制 该池的长和宽都不能超过16米 试设计污水池的长和宽 使总造价最低 并求出最低总造价 解题指南 1 由题意设出未知量 构造函数关系式 变形转化利用基本不等式求得最值 得出结论 2 先由限制条件确定自变量的范围 然后判断 1 中函数的单调性 利用单调性求最值 得出结论 规范解答 1 设污水处理池的宽为x米 则长为米 则总造价f x 400 2x 248 2x 80 162 1296x 12960 1296 x 12960 1296 2 12960 38880 元 当且仅当x x 0 即x 10时取等号 当长为16 2米 宽为10米时总造价最低 最低总造价为38880元 2 由限制条件知 10 x 16 设g x x 10 x 16 由函数性质易知g x 在 10 16 上是增函数 当x 10时 此时 16 g x 有最小值 即f x 有最小值1296 10 12960 38882 元 当长为16米 宽为10米时 总造价最低 为38882元 反思 感悟 1 应用基本不等式解实际应用题时定义域是关键 因而在实际解题时要密切注意定义域的取值范围 它可直接决定最值能否取到 2 本例 2 中由于条件限制应用基本不等式结果不成立 从而转化为应用函数的单调性求解 变式训练 某种汽车 购车费用为10万元 每年的保险费 养路费 汽油费约为0 9万元 年维修费第一年是0 2万元 以后逐年递增0 2万元 这种汽车使用多少年时 它的年平均费用最少 解析 由于 年维修费第一年是0 2万元 以后逐年递增0 2万元 可知汽车每年维修费构成以0 2万元为首项 0 2万元为公差的等差数列 因此 汽车使用x年时总的维修费用为万元 设汽车的年平均费用为y万元 则有 1 2 3 当且仅当 即x 10时 y取得最小值 答 汽车使用10年时 它的年平均费用最少 基本不等式与其他知识的综合应用 方法点睛 1 函数中应用基本不等式求最值的类型 1 以指数 对数函数为载体构建条件 应用基本不等式求最值 2 以二次函数为载体 结合根的分布 定义域 值域构建条件 应用基本不等式求最值 3 以高次函数为载体 结合导数构建条件 应用基本不等式求最值 2 基本不等式在其他数学知识中的应用以函数 方程 立体几何 解析几何 数列等知识为载体考查基本不等式求最值 是本部分中常见题型 其解题的关键是正确利用条件转换成能利用基本不等式求解的形式 同时要注意基本不等式的使用条件 例3 1 设x y r a 1 b 1 若ax by 4且a b 2 则的最大值为 2 已知函数f x log2 k x 4 2 1恒过一定点p 且点p在直线 2 a 0 b 0 上 则3a 2b的最小值为 解题指南 1 用a b表示x y代入后 再利用基本不等式可求 2 求得p点坐标代入直线方程 再用 1 的代换转化为基本不等式求解 规范解答 1 由ax by 4得x loga4 y logb4 故 log4a log4b log4 ab 又 a 1 b 1 a b 2 故log4 ab log4 2 log42 等号当且仅当a b x y 4时取得 2 由函数f x log2 k x 4 2 1可知 当x 4时 f x 2 即p点坐标为 4 2 又p在直线 2 a 0 b 0 上 故 2 即 1 3a 2b 3a 2b 8 8 2 8 4 等号当且仅当3a2 4b2 即a 2 b 1时取得 答案 1 2 8 4 互动探究 若本例 2 中函数改为f x 2k x 1 1 其余条件不变 又将如何求解 解析 由f x 2k x 1 1可知图象恒过定点p 1 2 依题意 p在直线上 故 2 即 1 3a 2b 3a 2b 等号当且仅当a b 1时取得 所以3a 2b的最小值为 2 反思 感悟 与其他章节知识结合的基本不等式题目 其难点在于如何从已知条件中寻找基本关系 本例 1 中其关键是构建x y与a b的关系得到x loga4 y logb4 从而将成功转化为a b的关系 再利用基本不等式求解 而对本例 2 中其关键点是确定图象过的定点 确定了这一定点后问题便会迎刃而解 变式备选 设x y满足约束条件若目标函数z abx y a 0 b 0 的最大值为8 则a b的最小值为 解析 已知x y满足约束条件其可行域是一个四边形 四个顶点是 0 0 0 2 0 1 4 易见目标函数z abx y a 0 b 0 在 1 4 取最大值8 所以8 ab 4 即ab 4 a b 2 4 当且仅当a b 2时 等号成立 所以a b的最小值为4 答案 4 易错误区 忽视题目的基本含义致误 典例 2011 江苏高考 在平面直角坐标系xoy中 过坐标原点的一条直线与函数f x 的图象交于p q两点 则线段pq长的最小值是 解题指南 由题目已知条件可知两交点必关于原点对称 从而设出交点代入两点间距离公式 整理后应用基本不等式可解 规范解答 由题意可知f x 的图象关于原点对称 而与过原点的直线相交 则两交点必关于原点对称 故可设两交点分别为p x 与q x 由两点间距离公式可得等号当且仅当x2 2时取得 答案 4 阅卷人点拨 通过高考中的阅卷数据分析与总结 我们可以得到以下误区警示和备考建议 1 2011 北京高考改编 某车间分批生产某种产品 每批的生产准备费用为800元 若每批生产x件 则平均仓储时间为天 且每件产品每天的仓储费用为1元 为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小 每批应生产产品的件数是 解析 平均每件产品的费用为 当且仅当 即x 80时取等号 所以每批应生产产品80件 才能使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小 答案 80 2 2011 浙江高考 设x y为实数 若4x2 y2 xy 1 则2x y的最大值是 解析 4x2 y2 xy 1 2x y 2 3xy 1 2xy 1 2 1 2x y 2 2x y max 答案 3 2012 扬州模拟 如图 互相垂直的两条公路am an旁有一矩形花园abcd 现欲将其扩建成一个更大的三角形花园apq 要求p在射线am上 q在射线an上 且pq过点c 其中ab 30米 ad 20米 记三角形花园apq的面积为s 1 当dq的长度是多少时 s最小