备战2017高考技巧大全之高中数学黄金解题模板专题40 空间中线线角、线面角的求法.doc

【高考地位】立体几何是高考数学命题的一个重点，空间中线线角、线面角的考查更是重中之重. 其求解的策略主要有两种方法：其一是一般方法，即按照“作证解”的顺序进行；其一是空间向量法，即建立直角坐标系进行求解. 在高考中常常以解答题出现，其试题难度属中高档题.【方法点评】类型一 空间中线线角的求法方法一 平移法使用情景：空间中线线角的求法解题模板：第一步 首先将两异面直线平移到同一平面中；第二步 然后运用余弦定理等知识进行求解；第三步 得出结论.例1 在右图的正方体中，M、N分别为棱BC和棱CC1的中点，则异面直线AC和MN所成的角为（ ）A30 B60 C90 D45【答案】B.考点：异面直线所成角.点评：异面直线所成角的【变式演练1】如图，四边形是矩形， 沿直线将翻折成，异面直线与所成的角为, 则（ ）A BC. D【答案】B【解析】试题分析：将平移到,则由异面直线所成角的定义可知就是异面直线所成角,则,即,故应选B.考点：异面直线所成角的定义及运用.【变式演练2】在正方体中，异面直线与所成角的余弦值为A B C D【答案】D考点：异面直线所成角【变式演练3】设三棱柱的侧棱与底面垂直，若该棱柱的所有顶点都在体积为的球面上，则直线与直线所成角的余弦值为（ ）A B C D【答案】B【解析】考点：三棱柱外接球、异面直线所成角【方法点睛】构造长方体或正方体确定球心：正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是直角三角形的三棱锥. 同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥. 若已知棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补成长方体或正方体. 若三棱锥的三个侧面两两垂直，则可将三棱锥补成长方体或正方体.方法二 空间向量法使用情景：空间中线线角的求法解题模板：第一步 首先建立适当的直角坐标系并写出相应点的空间直角坐标；第二步 然后求出所求异面直线的空间直角坐标；第三步 再利用即可得出结论.例2、如图，直三棱柱中，点在线段上.（1）若是中点，证明：平面；（2）当时，求直线与平面所成角的正弦值【答案】（1）详见解析（2）【解析】试题分析：（1）证明线面平行，一般利用线面平行判定定理，即从线线平行出发给予证明，而线线平行的寻找与论证，往往需要结合平几知识，如本题利用三角形中位线性质得线线平行（2）求线面角，一般利用空间向量进行计算，先根据题意建立恰当的空间直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组求出面的法向量，再根据向量数量积求出向量夹角，最后根据线面角与向量夹角互余的关系求解.（II）,故如图建立空间直角坐标系, ， 令平面的法向量为，由，得 设所以, ，设直线与平面所成角为故当时，直线与平面所成角的正弦值为.考点：线面平行判定定理，利用空间向量求线面角【思路点睛】利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.例3、如图，正方形的边长为2，分别为线段的中点，在五棱锥中，为棱的中点，平面与棱分别交于点（1）求证：；（2）若底面，且，求直线与平面所成角的大小【答案】（1）详见解析（2）【解析】试题分析：（1）证明线面平行，一般利用线面平行判定定理，即从线线平行出发给予证明，而线线平行的寻找与论证，往往需要结合平几条件，如本题利用正方形性质得，从而有平面而线线平行的证明，一般利用线面平行性质定理，即从两平面交线出发给予证明（2）利用空间向量解决线面角，一般先建立恰当的空间直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组解出平面法向量，再根据向量数量积求夹角，最后根据线面角与向量夹角之间互余关系求大小. 则，即，令，则，所以设直线与平面所成角为，则，因此直线与平面所成角的大小为 考点：线面平行判定定理，利用空间向量求线面角【思路点睛】利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.【变式演练4】已知正四面体中，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为_【答案】考点：异面直线及其所成的角【变式演练5】如图，在三棱柱中，底面为正三角形，侧棱垂直底面，,.若，分别是棱，上的点，且，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）A B C D【答案】D【解析】考点： 线面角. 类型二 空间中线面角的求法方法一 垂线法使用情景：空间中线面角的求法解题模板：第一步 首先根据题意找出直线上的点到平面的射影点；第二步 然后连接其射影点与直线和平面的交点即可得出线面角；第三步 得出结论.例3如图，四边形是矩形，是的中点，与交于点，平面.（）求证：面；（）若，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（）证明见解析；（）【解析】试题分析：（）要证AF与平面BEG垂直，只要证AF与平面内两条相交直线垂直，由已知GF垂直于底面ABCD，有GF垂直AF，另外可以在矩形BACD中证明BE垂直于AC（可用相似三角形证明角相等）；（）求直线EG与平面所成角的正弦，可用体积法求出E到平面ABG的距离d，则就是所求正弦值，而求棱锥的体积可通过来求得证法2：（坐标法）证明，得，往下同证法1证法3：（向量法）以为基底， ， ，往下同证法1考点：线面垂直的判定，直线与平面所成的角【点评】解决直线与平面所成的角的关键是找到直线上的点到平面的射影点，构造出线面角.【变式演练6】已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等,在底面内的射影为的中心,则与底面所成角的正弦值为（ ）A B C D【答案】B考点:直线与平面所成的角【变式演练7】在四面体中，且，为中点，则与平面所成角的正弦值为（ ）A B C D【答案】D考点：1平面与平面垂直；2直线与平面所成的角方法二 空间向量法使用情景：空间中线面角的求法解题模板：第一步 首先建立适当的直角坐标系并写出相应点的空间直角坐标；第二步 然后求出所求异面直线的空间直角坐标以及平面的法向量坐标；第三步 再利用即可得出结论.例4 正四棱柱中，则与平面所成角的正弦值等于（ ）A B C D【答案】A考点：直线与平面所成的角.点评：空间向量法解直线与平面所成的角的关键是正确的写出各点的空间直角坐标和平面的法向量的坐标形式.【变式演练8】已知四棱锥中，底面为矩形，底面，为上一点，且平面.（1）求的长度；（2）求与平面所成角的余弦值.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）利用空间向量求线段长度，首先根据题意建立恰当的空间直角坐标系，设立各点坐标，利用向量的模求线段长度（2）求线面角，也可利用空间向量，即首先根据题意建立恰当的空间直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组求出面的法向量，根据向量数量积求直线与法向量夹角，最后根据线面角与向量夹角之间互余关系求线面角的正弦值，再根据诱导公式求余弦值。试题解析：解：（1）如图所示建立空间直角坐标系， (2)因为，则， 因为面的一个法向量，令与面成角为，则，故.考点：利用空间向量求线段长度及线面角【思路点睛】利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.【高考再现】1. 【2016高考新课标1卷】平面过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A,/平面CB1D1,平面ABCD=m,平面AB B1A1=n,则m、n所成角的正弦值为(A) (B) (C) (D)【答案】A考点：平面的截面问题,面面平行的性质定理,异面直线所成的角.【名师点睛】求解本题的关键是作出异面直线所成角,求异面直线所成角的步骤是：平移定角、连线成形,解形求角、得钝求补.2. 【2016高考天津理数】（本小题满分13分）如图，正方形ABCD的中心为O，四边形OBEF为矩形，平面OBEF平面ABCD，点G为AB的中点，AB=BE=2.（I）求证：EG平面ADF；（II）求二面角O-EF-C的正弦值；（III）设H为线段AF上的点，且AH=HF，求直线BH和平面CEF所成角的正弦值.【答案】（）详见解析（）（）【解析】试题解析：依题意，如图，以为点，分别以的方向为轴，轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，依题意可得，.（I）证明：依题意，.设为平面的法向量，则，即 .不妨设，可得，又，可得，又因为直线，所以.（III）解：由，得.因为，所以，进而有，从而，因此.所以，直线和平面所成角的正弦值为.考点：利用空间向量解决立体几何问题3. 【2016年高考北京理数】（本小题14分）如图，在四棱锥中，平面平面，.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）见解析；（2）；（3）存在，试题解析：（1）因为平面平面，所以平面，所以，又因为，所以平面；（2）取的中点，连结，因为，所以.又因为平面，平面平面，所以平面.因为平面，所以.因为，所以.如图建立空间直角坐标系，由题意得，. （3）设是棱上一点，则存在使得.因此点.因为平面，所以平面当且仅当，即，解得.所以在棱上存在点使得平面，此时.考点：1.空间垂直判定与性质；2.异面直线所成角的计算；3.空间向量的运用.【名师点睛】平面与平面垂直的性质的应用：当两个平面垂直时，常作的辅助线是在其中一个面内作交线的垂线，把面面垂直转化为线面垂直，进而可以证明线线垂直(必要时可以通过平面几何的知识证明垂直关系)，构造(寻找)二面角的平面角或得到点到面的距离等.4. 【2016高考新课标3理数】如图，四棱锥中，地面，为线段上一点，为的中点（I）证明平面；（II）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（）见解析；（）【解析】又，故，四边形为平行四边形，于是.因为平面，平面，所以平面. 考点：1、空间直线与平面间的平行与垂直关系；2、棱锥的体积【技巧点拨】（1）证明立体几何中的平行关系，常常是通过线线平行来实现，而线线平行常常利用三角形的中位线、平行四边形与梯形的平行关系来推证；（2）求解空间中的角和距离常常可通过建立空间直角坐标系，利用空间向量中的夹角与距离来处理5. 【2016高考上海理数】将边长为1的正方形（及其内部）绕的旋转一周形成圆柱，如图，长为，长为，其中与在平面的同侧。（1）求三棱锥的体积；（2）求异面直线与所成的角的大小。【答案】（1）（2） 从而为等边三角形，得因为平面，所以在中，因为，所以，从而直线与所成的角的大小为考点：1.几何体的体积；2.空间的角.【名师点睛】此类题目是立体几何中的常见问题.解答本题，关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，将空间问题转化成平面问题.立体几何中的角与距离的计算问题，往往可以利用几何法、空间向量方法求解，应根据题目条件，灵活选择方法.本题能较好的考查考生的空间想象能力、逻辑推理能力转化与化归思想及基本运算能力等.6. 【2016高考上海理数】如图，在正四棱柱中，底面的边长为3，与底面所成角的大小为，则该正四棱柱的高等于_.【答案】【解析】 考点：1.正四棱柱的几何特征；2.直线与平面所成的角.【名师点睛】涉及立体几何中的角的问题，往往要将空间问题转化成平面问题，做出角，构建三角形，在三角形中解决问题；也可以通过建立空间直角坐标系，利用空间向量方法求解，应根据具体情况选择不同方法，本题难度不大，能较好地考查考生的空间想象能力、基本计算能力等. 7. 【2016高考天津文数】(本小题满分13分)如图，四边形ABCD是平行四边形，平面AED平面ABCD，EF|AB，AB=2，BC=EF=1，AE=，DE=3，BAD=60，G为BC的中点.()求证：平面BED；()求证：平面BED平面AED；()求直线EF与平面BED所成角的正弦值.【答案】（）详见解析（）详见解析（）【解析】试题解析：（）证明：取的中点为，连接，在中，因为是的中点，所以且，又因为，所以且，即四边形是平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面.考点：直线与平面平行和垂直、平面与平面垂直、直线与平面所成角【名师点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.(4)证明面面垂直，需转化为证明线面垂直，进而转化为证明线线垂直. 8.【2016高考浙江文数】（本题满分15分）如图，在三棱台ABC-DEF中，平面BCFE平面ABC，ACB=90，BE=EF=FC=1，BC=2，AC=3.（I）求证：BF平面ACFD；（II）求直线BD与平面ACFD所成角的余弦值.【答案】（I）证明见解析；（II）.【解析】考点：空间点、线、面位置关系、线面角.【方法点睛】解题时一定要注意直线与平面所成的角的范围，否则很容易出现错误证明线面垂直的关键是证明线线垂直，证明线线垂直常用的方法是直角三角形、等腰三角形的“三线合一”和菱形、正方形的对角线9. 【2016高考上海文科】（本题满分12分）将边长为1的正方形AA1O1O（及其内部）绕OO1旋转一周形成圆柱，如图， 长为 ，长为，其中B1与C在平面AA1O1O的同侧.（1）求圆柱的体积与侧面积；（2）求异面直线O1B1与OC所成的角的大小. 【答案】（1）；（2）【解析】考点：1.几何体的体积；2.空间的角.【名师点睛】此类题目是立体几何中的常见问题.解答本题，关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，将空间问题转化成平面问题.立体几何中的角与距离的计算问题，往往可以利用几何法、空间向量方法求解，应根据题目条件，灵活选择方法.本题能较好的考查考生的空间想象能力、逻辑推理能力转化与化归思想及基本运算能力等. 【反馈练习】1.【河南省新乡市2017届高三上学期第一次调研测试数学（理）试题】在正方体底面，任一点，则直线所成角为（ ）A B C D不能确定【答案】C考点：异面直线垂直的判定2【山西大学附中2017届高三第二次模拟测试数学（理）试题】已知在正方体中，点是棱的中点，则直线与平面所成角的正弦值是 【答案】【解析】考点：直线与平面所成角3【吉林省长春市普通高中2017届高三质量监测（一）数学（理）试题】如图，直三棱柱中，则与平面所成的角为（ ）A B C D【答案】A【解析】试题分析：取的中点,连接,那么为所求线面角，,所以,那么考点：线面角4. 【广东省惠州市2017届第二次调研考试数学（理）试题】空间四边形ABCD中，ABCD且AB与CD所成的角为60，E、F分别是BC、AD的中点，求EF与AB所成角的大小【答案】60或30考点：异面直线所成的角5【广西梧州市2017届高三上学期摸底联考数学（理）试题】（本小题满分12分）如图，已知四棱锥中，底面为菱形