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11.5 函数展开成幂级数一、泰勒级数如果在处具有任意阶的导数，我们把级数 (1)称之为函数在处的泰勒级数。它的前项部分和用记之，且这里：由上册中介绍的泰勒中值定理，有当然，这里是拉格朗日余项，且。由有。因此，当时，函数的泰勒级数就是它的另一种精确的表达式。即这时，我们称函数在处可展开成泰勒级数。特别地，当时，这时，我们称函数可展开成麦克劳林级数。将函数在处展开成泰勒级数，可通过变量替换，化归为函数 在 处的麦克劳林展开。因此，我们着重讨论函数的麦克劳林展开。【命题】函数的麦克劳林展开式是唯一的。证明：设在的某邻域内可展开成的幂级数据幂级数在收敛区间内可逐项求导，有把代入上式，有从而 于是，函数在处的幂级数展开式其形式为这就是函数的麦克劳林展开式。这表明，函数在处的幂级数展开形式只有麦克劳林展开式这一种形式。二、函数展开成幂级数1、直接展开法将函数展开成麦克劳林级数可按如下几步进行求出函数的各阶导数及函数值若函数的某阶导数不存在，则函数不能展开；写出麦克劳林级数并求其收敛半径。考察当时，拉格朗日余项当时，是否趋向于零。若，则第二步写出的级数就是函数的麦克劳林展开式；若，则函数无法展开成麦克劳林级数。【例1】将函数展开成麦克劳林级数。解：于是得麦克劳林级数 而 故 对于任意 ，有这里是与无关的有限数， 考虑辅助幂级数的敛散性。 由比值法有故辅助级数收敛，从而一般项趋向于零，即 因此 ，故【例2】将函数在处展开成幂级数。解：于是得幂级数 容易求出，它的收敛半径为 对任意的，有由例一可知，故 因此，我们得到展开式2、间接展开法利用一些已知的函数展开式以及幂级数的运算性质( 如：加减，逐项求导，逐项求积)将所给函数展开。【例3】将函数展开成的幂级数。解：对展开式两边关于逐项求导， 得【例4】将函数展开成的幂级数。解：而 将上式从到逐项积分得当时，交错级数收敛。故 下面，我们介绍十分重要牛顿二项展开式【例5】将函数展开成的幂级数，其中为任意实数。解：于是得到幂级数因此，对任意实数，幂级数在内收敛。下面，我们证明，该幂级数收敛的和函数就是函数。设上述幂级数在内的和函数为，即 两边同乘以因子，有即 引入辅助函数 因此，在内，我们有展开式注记在区间端点处的敛散性，要看实数的取值而定，这里，我们不作进一步地介绍。若引入广义组合记号 ，牛顿二项展开式可简记成最后，我们举一个将函数展开成的幂级数形式的例子。【例6】将函数展开成的
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