高三数学一轮复习 7.4直线、平面平行的判定及其性质课件 .ppt

第四节直线 平面平行的判定及其性质 知识梳理 1 直线与平面平行 1 判定定理 此平 面内 2 性质定理 交线 2 平面与平面平行 1 判定定理 相交 直线 2 性质定理 相交 交线 考点自测 1 思考 给出下列命题 如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面 那么这两个平面平行 如果两个平面平行 那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面 若直线a与平面 内无数条直线平行 则a 若直线a 平面 p 则过点p且平行于直线a的直线有无数条 若平面 平面 直线a 平面 则直线a 平面 其中正确的是 a b c d 解析 选d 错误 当这两条直线为相交直线时 才能保证这两个平面平行 正确 如果两个平面平行 则在这两个平面内的直线没有公共点 则它们平行或异面 错误 若直线a与平面 内无数条直线平行 则a 或a 错误 有且只有一条直线 且该直线为过直线a和点p的平面与平面 的交线 错误 若平面 平面 直线a 平面 则a 或a 2 若两条直线都与一个平面平行 则这两条直线的位置关系是 a 平行b 相交c 异面d 以上均有可能 解析 选d 借助长方体模型可知 两条直线的位置关系可以为平行 相交 异面 3 2014 长沙模拟 若直线a b 且直线a 平面 则直线b与平面 的位置关系是 a b b b c b 或b d b与 相交或b 或b 解析 选d 当b与 相交或b 或b 时 均满足直线a b 且直线a 平面 的情况 故选d 4 2014 温州模拟 下列命题中正确的个数是 若直线a不在 内 则a 若直线l上有无数个点不在平面 内 则l 若l与平面 平行 则l与 内任何一条直线都没有公共点 平行于同一直线的两个平面平行 a 1b 2c 3d 4 解析 选a a a时 a 所以 错 直线l与 相交时 l上也可以有无数个点不在 内 故 错 l l与 无公共点 所以l与平面 内任一直线都无公共点 正确 长方体abcd a1b1c1d1中平面a1c1与平面d1c都与直线ab平行 但两平面相交 所以 错误 5 在正方体abcd a1b1c1d1中 e是dd1的中点 则bd1与平面ace的位置关系为 解析 如图 连接bd与ac交于o点 连接oe 所以oe bd1 而oe 平面ace bd1 平面ace 所以bd1 平面ace 答案 平行 考点1有关平行关系的判断 典例1 1 下列命题正确的是 a 若两条直线和同一个平面所成的角相等 则这两条直线平行b 若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等 则这两个平面平行c 若一条直线平行于两个相交平面 则这条直线与这两个平面的交线平行d 若两个平面都垂直于第三个平面 则这两个平面平行 2 2013 广东高考 设l为直线 是两个不同的平面 下列命题中正确的是 a 若l l 则 b 若l l 则 c 若l l 则 d 若 l 则l 解题视点 1 本题旨在考查立体几何的线 面位置关系及线面平行的判定和性质 需要熟练掌握定义 定理 2 本题考查空间推理论证能力 应熟练运用平行与垂直的判定与性质 还要能举出反例 规范解答 1 选c 若两条直线和同一平面所成角相等 这两条直线可能平行 也可能为异面直线 也可能相交 所以a错 一个平面上的三点到另一个平面的距离相等 则这两个平面平行或相交 故b错 若两个平面垂直同一个平面 则这两个平面可以平行 也可以相交 故d错 只有选项c正确 2 选b 对于选项a 若l l 则平面 可能相交 此时交线与l平行 故a错误 对于选项b 垂直于同一条直线的两个平面平行 对于选项c 能推出两个平面相交且两个平面垂直 对于选项d l l l 都有可能 规律方法 有关平行关系判断的技巧 1 熟悉线面关系的各个定理 无论是单项选择还是含选择项的填空题 都可以从中先选出最熟悉最容易判断的选项先确定或排除 再逐步判断其余选项 2 特别注意定理所要求的条件是否完备 图形是否有特殊情形 变式训练 已知两条直线a b 两个平面 则下列结论中正确的是 a 若a 且 则a b 若b a b 则a c 若a 则a d 若b a b 则a 解析 选a a 因为 又a 所以a 故a正确 b 因为b a b 若a 则a不可能与 平行 故b错误 c 因为a 若a 则结论不成立 故c错误 d 因为b a b 若a 则结论不成立 故d错误 加固训练 1 2014 大同模拟 若两条不同的直线与同一平面所成的角相等 则这两条直线 a 平行b 相交c 异面d 以上皆有可能 解析 选d 如图 正方体abcd a1b1c1d1中 bc1 ad1 两直线与平面abcd所成角相等 bc1与b1c相交 两直线与平面abcd所成角相等 bc1与a1d异面 两直线与平面abcd所成角也相等 2 设a b为不重合的两条直线 为不重合的两个平面 给出下列命题 若a b a b是异面直线 那么b 若a 且b 则a b 若a b a b共面 那么a b 若 a 则a 上面命题中 所有真命题的序号是 解析 中的直线b与平面 也可能相交 故不正确 中的直线a b可能平行 相交或异面 故不正确 由线面平行的性质得 正确 由面面平行的性质可得 正确 答案 考点2直线与平面平行的判定和性质 考情 平行关系是空间几何中的一种重要关系 包括线线平行 线面平行 面面平行 其中线面平行在高考试题中出现频率很高 一般出现在解答题中 考查线面平行的判定定理与性质定理在证明或判断中的应用 高频考点通关 典例2 1 2014 丽水模拟 正方体abcd a1b1c1d1中 e f g分别是a1b1 cd b1c1的中点 则正确命题是 a ae cgb ae与cg是异面直线c 四边形aec1f是正方形d ae 平面bc1f 2 2013 新课标全国卷 如图 直三棱柱abc a1b1c1中 d e分别是ab bb1的中点 证明 bc1 平面a1cd 设aa1 ac cb 2 ab 2 求三棱锥c a1de的体积 解题视点 1 根据正方体的几何特征 可以判断出ae与cg相交 但不垂直 由此可以判断出a b的真假 分析四边形aec1f 即可判断c的真假 由线面平行的判定定理 可以判断出d的真假 进而得到答案 2 连接ac1 构造中位线 利用线线平行证线面平行 利用条件中的垂直关系求出a1d de a1e的长 确定de a1d 再利用 cd求体积 规范解答 1 选d 由正方体的几何特征 可得ae c1g 但ae与平面bcc1b1不垂直 故ae cg不成立 由于eg ac 故a e g c四点共面 所以ae与cg是异面直线错误 在四边形aec1f中 ae ec1 c1f af 但af与ae不垂直 故四边形aec1f是正方形错误 而ae c1f 由线面平行的判定定理 可得ae 平面bc1f 2 连接ac1 交a1c于点f 则f为ac1中点 又d是ab的中点 连接df 则bc1 df 因为df 平面a1cd bc1 平面a1cd 所以bc1 平面a1cd 因为abc a1b1c1是直三棱柱 所以aa1 cd 由已知ac cb d为ab的中点 所以cd ab 又aa1 ab a 于是cd 平面abb1a1 由aa1 ac cb 2 ab 得 acb 90 cd a1d de a1e 3 故a1d2 de2 a1e2 即de a1d 所以 通关锦囊 特别提醒 证明线面平行时 要注意说明已知直线不在平面内 关注题型 通关题组 1 2014 宁波模拟 已知直线m n和平面 则m n的一个必要不充分条件是 a m n b m n c m n d m n与 成等角 解析 选d 对于a m n 为m n的既不充分也不必要条件 对于b m n 为m n的充分不必要条件 对于c m n 为m n的既不充分也不必要条件 对于d m n与 成等角为m n的必要不充分条件 故选d 2 2014 湖州模拟 如图 在四棱锥p abcd中 底面是平行四边形 pa 平面abcd 点m n分别为bc pa的中点 在线段pd上是否存在一点e 使nm 平面ace 若存在 请确定点e的位置 若不存在 请说明理由 解析 在pd上存在一点e 使得nm 平面ace 且e为线段pd的中点 证明如下 如图 取pd的中点e 连接ne ec ae 因为n e分别为pa pd的中点 所以nead 又在平行四边形abcd中 cmad 所以nemc 即四边形mcen是平行四边形 所以nmec 又ec 平面ace nm 平面ace 所以mn 平面ace 即在pd上存在一点e 且e为线段pd的中点 使得nm 平面ace 3 2014 石家庄模拟 如图 在直角梯形abcd中 b 90 dc ab bc cd ab 2 g为线段ab的中点 将 adg沿gd折起 使平面adg 平面bcdg 得到几何体a bcdg 1 若e f分别为线段ac ad的中点 求证 ef 平面abg 2 求三棱锥c abd的体积 解析 1 因为折叠前后cd bg的位置关系不变 所以cd bg 因为在 acd中 e f分别为ac ad的中点 所以ef cd 所以ef bg 又因为ef 平面abg bg 平面abg 所以ef 平面abg 2 因为bc cd ab 2 g为线段ab的中点 所以cd bg 又因为 b 90 cd bg bc cd 所以四边形bcdg是一个正方形 所以bg dg ag dg 折叠后仍然成立 因为平面adg 平面bcdg 所以ag 平面bcdg 所以v三棱锥c abd v三棱锥a bcd ag s bcd 2 2 2 加固训练 1 2013 菏泽模拟 如图所示 abcd a1b1c1d1是棱长为a的正方体 m n分别是下底面的棱a1b1 b1c1的中点 p是上底面的棱ad上的一点 ap 过p m n的平面交上底面于pq q在cd上 则pq 解析 如图 连接ac 易知mn 平面abcd 所以mn pq 因为mn ac 所以pq ac 又因为ap 所以所以答案 2 2013 洛阳模拟 如图所示 在三棱柱abc a1b1c1中 a1a 平面abc 若d是棱cc1的中点 在棱ab上是否存在一点e 使de 平面ab1c1 若存在 请确定点e的位置 若不存在 请说明理由 解析 存在点e 且e为ab的中点 证明如下 取ab的中点e bb1中点f 连接de df ef 则b1f c1d b1f c1d 所以四边形b1fdc1为平行四边形 所以df b1c1 又df 平面ab1c1 b1c1 平面ab1c1 所以df 平面ab1c1 同理ef 平面ab1c1 因为df ef f df 平面def ef 平面def 所以平面def 平面ab1c1 因为de 平面def 所以de 平面ab1c1 考点3面面平行的判定和性质 典例3 如图 在三棱柱abc a1b1c1中 e f g h分别是ab ac a1b1 a1c1的中点 求证 1 b c h g四点共面 2 平面efa1 平面bchg 解题视点 1 要证明b c h g四点共面 只需要证明直线gh与直线bc共面 即证明gh bc即可 2 要证明平面efa1与平面bchg平行 可利用面面平行的判定定理证明 规范解答 1 因为g h分别是a1b1 a1c1的中点 所以gh是 a1b1c1的中位线 所以gh b1c1 又因为b1c1 bc 所以gh bc 所以b c h g四点共面 2 因为e f分别是ab ac的中点 所以ef bc 因为ef 平面bchg bc 平面bchg 所以ef 平面bchg 因为a1geb 所以四边形a1ebg是平行四边形 所以a1e gb 因为a1e 平面bchg gb 平面bchg 所以a1e 平面bchg 因为a1e ef e 所以平面efa1 平面bchg 互动探究 在本例条件下 若d1 d分别为b1c1 bc的中点 求证 平面a1bd1 平面ac1d 证明 如图所示 连接a1c交ac1于点h 因为四边形a1acc1是平行四边形 所以h是a1c的中点 连接hd 因为d为bc的中点 所以a1b hd 因为a1b 平面a1bd1 dh 平面a1bd1 所以dh 平面a1bd1 又由三棱柱的性质知 d1c1bd 所以四边形bdc1d1为平行四边形 所以dc1 bd1 又dc1 平面a1bd1 bd1 平面a1bd1 所以dc1 平面a1bd1 又因为dc1 dh d 所以平面a1bd1 平面ac1d 规律方法 1 判定面面平行的方法 2 面面平行的性质 1 两平面平行 则一个平面内的直线平行于另一平面 2 若一平面与两平行平面相交 则交线平行 提醒 利用面面平行的判定定理证明两平面平行时需要说明是一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行 重视三种平行间的转化关系线线平行 线面平行 面面平行的相互转化是解决与平行有关的问题的指导思想 解题中既要注意一般的转化规律 又要看清题目的具体条件 选择正确的转化方向 变式训练 1 2014 温州模拟 平面 平面 的一个充分条件是 a 存在一条直线a a a b 存在一条直线a a a c 存在两条平行直线a b a b a b d 存在两条异面直线a b a b a b 解析 选d 由两异面直线a b a b a 知在 内存在直线a 使得a a 同理在 内有直线b 使得b b 由于a与b异面 平移后必相交 故可得出 2 如图所示 已知abcd a1b1c1d1是棱长为3的正方体 点e在aa1上 点f在cc1上 g在bb1上 且ae fc1 b1g 1 h是b1c1的中点 1 求证 e b f d1四点共面 2 求证 平面a1gh 平面bed1f 证明 1 连接fg 因为ae b1g 1 所以bg a1e 2 又bg a1e 所以四边形bga1e为平行四边形 则a1g be 又c1f b1g c1f b1g 所以四边形c1fgb1为平行四边形 则fg b1c1 fg b1c1 又b1c1 d1a1 b1c1 d1a1 所以fg d1a1 fg d1a1 则四边形a1gfd1为平行四边形 则a1g d1f 所以d1f be 故e b f d1四点共面 2 因为h是b1c1的中点 所以b1h 又b1g 1 又且 fcb gb1h 90 所以 b1hg cbf 则 b1gh cfb fbg 所以hg fb 又由 1 知 a1g be 且hg a1g g fb be b 所以平面a1gh 平面bed1f 加固训练 1 已知平面 平面 p是 外一点 过点p的直线m与 分别交于a c 过点p的直线n与 分别交于b d 且pa 6 ac 9 pd 8 则bd的长为 a 16b 24或c 14d 20 解析 选b 分两种情况考虑 如图 当点p在两平面同侧时 连ab cd 则ab cd 故即解得bd 同理 如图 当点p在两平面之间时 可得bd 24 2 2013 南通模拟 如图所示 斜三棱柱abc a1b1c1中 点d d1分别为ac a1c1上的点 1 当等于何值时 bc1 平面ab1d1 2 若平面bc1d 平面ab1d1 求的值 解析 1 如图所示 取d1为线段a1c1的中点 此时 1 连接a1b 交ab1于点o 连接od1 由棱柱的性质知 四边形a1abb1为平行四边形 所以点o为a1b的中点 在 a1bc1中 点o d1分别为a1b a1c1的中点 所以od1 bc1 又因为od1 平面ab1d1 bc1 平面ab1d1 所以bc1 平面ab1d1 所以当 1时 bc1 平面ab1d1 2 由平面bc1d 平面ab1d1 且平面a1bc1 平面bc1d bc1 平面a1bc1 平面ab1d1 d1o得bc1 d1o 所以又由题可知所以 1 即 1 规范解答8 平行关系证明的规范解答 典例 14分 2014 德州模拟 如图 几何体e abcd是四棱锥 abd为正三角形 cb cd