第五章55知能演练轻松闯关.doc

1. (2011高考福建卷)已知等比数列an的公比q3, 前3项和S3.(1)求数列an的通项公式; (2)若函数f(x)Asin(2x)(A0, 0)在x处取得最大值, 且最大值为a3, 求函数f(x)的解析式. 解：(1)由q3, S3得, , 解得a1.所以an3n13n2.(2)由(1)可知an3n2, 所以a33.因为函数f(x)的最大值为3, 所以A3.因为当x时, f(x)取得最大值, 所以sin1.又01; 当n2时, 1; 当n3时, 1, T1T4Tn, 故Tn的最大值是T2T3, m.即实数m的取值范围是.一、选择题1. 等差数列an的前n项和为Sn, S918, S1352, 等比数列bn中, b5a5, b7a7, 则b15的值为()A. 64B. 64C. 128 D. 128解析：选B.因为S9(a1a9)9a518, S13(a1a13)13a752, 所以a52, a74, 又b5a5, b7a7, 所以q22, 所以b15b7q841664.2. (2011高考江西卷)已知数列an的前n项和Sn满足：SnSmSnm, 且a11, 那么a10()A. 1 B. 9C. 10 D. 55解析：选A.SnSmSnm, 令n1, m9, 有S1S9S10.a1a1a2a9a1a2a10, a10a11.3. (2011高考天津卷)已知an为等差数列, 其公差为2, 且a7是a3与a9的等比中项, Sn为an的前n项和, nN, 则S10的值为()A. 110 B. 90C. 90 D. 110解析：选D.由题意得aa3a9, 又公差d2, (a38)2a3(a312), a316.S105(a3a35d)5(161610)110, 故选D.4. 在各项均为正数的等比数列an中, a3a54, 则数列log2an的前7项和等于()A. 7 B. 8C. 27 D. 28解析：选A.在各项均为正数的等比数列an中, 由a3a54, 得a4, a42.设bnlog2an, 则数列bn是等差数列, 且b4log2a41.所以bn的前7项和S77b47.5. 某工厂购买一台机器价格为a万元, 实行分期付款, 每期付款b万元, 每期为一个月, 共付12次, 如果月利率为5, 每月复利一次, 则a, b满足()A. b B. bC. b D.b解析：选D.b(11.0051.00521.00511)a(11.005)12, 12ba(10.005)12, ba, 即b0)的图像在点(ak, a)处的切线与x轴交点的横坐标为ak1, 其中kN.若a116, 则a1a3a5的值是_. 解析：y(x2)2x, 则过点(ak, a)的切线斜率为2ak, 则切线方程为ya2ak(xak), 令y0得, a2ak(xak), xak, 即ak1ak.故an是a116, q的等比数列, 即an16n1, a1a3a5164121.答案：21三、解答题9. 假设某市2011年新建住房400万m2, 其中有250万m2是中、低价房. 预计在今后的若干年后, 该市每年新建住房面积平均比上年增长8%.另外, 每年新建住房中, 中、低价房的面积均比上一年增加50万m2.那么, 到哪一年底, (1)该市历年所建中、低价房的累计面积(以2011年为累计的第一年)将首次不少于4750万m2?(2)当年建造的中、低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%?解：(1)设中、低价房面积形成数列an, 由题意可知an是等差数列, 其中a1250, d50, 则Sn250n5025n2225n, 令25n2225n4750, 即n29n1900, 而n是正整数, n10.到2020年底, 该市历年所建中、低价房的累计面积将首次不少于4750万m2.(2)设新建住房面积形成数列bn, 由题意可知bn是等比数列, 其中b1400, q1.08, 则bn400(1.08)n1, 由题意可知an0.85bn, 有250(n1)50400(1.08)n10.85.由计算器解得满足上述不等式的最小正整数n6, 到2016年底, 当年建造的中、低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%.10. 已知函数f(x)x2x, 数列an的前n项和为Sn, 点(n, Sn)(nN)均在函数yf(x)的图像上. (1)求数列an的通项公式an; (2)令bn, 求数列bn的前n项和Tn.解：(1)点(n, Sn)在f(x)的图像上, Snn2n.当n2时, anSnSn1n1; 当n1时, a1S12, 适合ann1, ann1(nN). (2)bn, Tnb1b2bn2, Tn, 由得, Tn2121, Tn6.11. (2011高考北京卷)若数列An：a1, a2, , an(n2)满足|ak1ak|1(k1, 2, , n1), 则称An为E数列. 记S(An)a1a2an.(1)写出一个E数列A5满足a1a30; (2)若a112, n2000, 证明：E数列An是递增数列的充要条件是an2011; (3)在a14的E数列An中, 求使得S(An)0成立的n的最小值. 解：(1)0, 1, 0, 1, 0是一个满足条件的E数列A5.(答案不唯一, 0, 1, 0, 1, 0; 0, 1, 0, 1, 2; 0, 1, 0, 1, 2; 0, 1, 0, 1, 0都是满足条件的E数列A5)(2)证明：必要性：因为E数列An是递增数列, 所以ak1ak1(k1, 2, , 1999), 所以An是首项为12, 公差为1的等差数列, 所以a200012(20001)12011.充分性：由于a2000a19991, a1999a19981, , a2a11, 所以a2000a1a1999, 即a2000a11999.又因为a112, a20002011, 所以a2000a11999, 故ak1ak10(k1, 2, , 1999), 即An是递增数列. 综上, 结论得证. (3)对首项为4的E数列An, 由于a2a113,