同方专转本冲刺班数学习题训练五至八.doc

专业精神 诚信教育 同方专转本高等数学内部教材 严禁翻印第五讲：微分中值定理与导数的应用的强化练习题答案一、单项选择题（每小题4分，共24分）1、已知，则有 （B）A一个实根 B两个实根 C 三个实根 D无实根 解：（1）在满足罗尔定理条件故有（）综上所述，少有两个实根，至多有两个根，故选 2下列函数在所给区间满足罗尔定理条件的是 （D）ABCD解：，满足罗尔定理条件故选 D3设曲线，则其拐点坐标为（C）A0 B（0，1）C（0，0）D1解：令得当时，故（0，0）为曲线的拐点 C4若内必有（C）ABCD解：凹弧如示意图，故有5设 在取得极值。则为（）A BC D解： 得得答案选6下列命题中正确的是-（B）A 为极值点，则必有B 若在点 处可导，且 为 的极值点，则必有C 若在（）有极大值也有极小值则极大值必大于极小值。D 若则点必有的极值点。解：可导函数的极值点一定是驻点，故有=0 选B二、填空题（每小题4分，共24分）7设可导，且的极小值。则解：原式=8的单调增加区间为解：（1）定义域（2）当0x0)(2) ;令驻点0,为极大值点.由单峰原理:是最大值点最大值且, 故与轴有且仅有两个交点(如示意图)即在有且只有两个实根.三、 应用题（每小题10分，共50分）14已知曲线.（1）求曲线在横坐标为的点处的切线方程.（2）求曲线的切线被两坐标轴所截线段的最短长度.解：(1)求切线方程:切点切线方程:即(2)令令(3)令(4)最小值15在半径为R的半径内作一个圆柱体,求最大体积时的底半径与高.解：(1)画出示意图 (2)依题意,设所求圆柱体体积为V(3)求驻点,令,驻点（4）求最值点:,为最大值点答:当,时,所得圆柱体体积最大16某客轮每小时消耗燃料的费用速度的立方正比,若该客轮从甲城到已城沿江逆流而上,设水流速度为每小时公里,求客轮最经济的速度?解：(1)列出函数关系式:设从甲城沿江到乙城的路程为.消耗总费用为.依题意:,其中是甲城到乙城所需要的时间(2)求驻点: 令,驻点(3)求最值:由实际问题的意义知道:最小值存在,且驻点唯一,当时,客轮消耗燃料总费用最省.17欲做一个容积是3000的无盖圆柱形的蓄水池,已知池底单位面积造价为池壁单位面积的3倍,问蓄水池的尺寸怎样设计,才能使总造价最低?解：(1)列出函数关系式:设池底半径为,池高为,池壁单位面积造价为元,总造价为,依题意:(2) 求驻点:令,驻点(3) 求最值:,当时,总造价最省.(4) 当时,答:当时,总造价最低.18从一块半径为R的圆铁片上挖去一个扇形,把留下的中心角为取多大时,做成的漏斗的容积最大? 解：(1)列出函数关系式:设漏斗体积为V依题意:, ,(2) 求驻点令=0.,驻点又(3) 求最值由实际问题意义知道:漏斗最大容积存在,且驻点唯一,当时,漏斗的容积最大.第七讲:不定积分的概念与换元积分法的强化练习题答案一、单项选择题(每小题4分,共24分)1设是在上的一个原函数,且为奇函数,则是 ( )A 偶函数 B 奇函数C 非奇非偶函数 D不能确定解:可导奇函数的导函数必为偶函数.必为偶函数.选A2已知的一个原函数为,的一个原函数为,则的一个原函数为 ( )A B C D 解:(1),(2) 选B3设为连续导函数,则下列命题正确的是 ( )A B C D 解:选A 4设且 ,则=( )A B C D 解：(1) (2)且得,选A5设是的一个原函数,则 ( )A BC D 解：(1)原式=(2)(3) 原式= 选D6设,则=( )A B C D 解：(1)(2)(3)原式= 选C二、填空题7若是的一个原函数,则 = 解：(1)(2) 8设的一个原函数为 ,则 解：故 9若,则= 解： 原式=10 解：原式=或11若,则 解：原式=12若,则 解：三、计算题13 解:原式=14 解:原式=15 解:原式= 16 解:原式=17 解:原式=18 解:令原式=19解:令原式=20 解:令原式=四、综合题（每小题10分，共20分）21 解:(倒代换)令原式=(注:(三角代换)令,原式=)22 解:令 原式=五、 证明题（每小题9分，共18分）23设是 的一个原函数,且,证明: 证:,由,得24设是的一个原函数，是的一个原函数且证明:或证:(1)(2)讨论,若,即 由,得故有若,即,由,得故有 证毕选做题1解:原式=选做题2解:原式=选做题3解:原式=第八讲:不定积分的分部积分法等的强化练习题答案一、单项选择题（每小题4分，共24分）1设是的一个原函数,则( )A B C D 解：原式=选A2若的一个原函数为,则( )A BC D 解： 选C3设,则 =( )A BC D解：(1) (2)选B4= ( )A B C D解： 原式= 选C5 ( )A B C D 解： 原式=选B 6 ( )A B C D 解： 原式选C 二、填空题（每小题4分，共24分）7= 解： 原式8 解： 原式9= 解： 原式10 若,则= 解：(1) (2)11 解： 原式=12 解： 原式= 三、计算题（每小题8分，共64分）13.解：原式=14解：原式=15解：原式=16.解：原式=17 解： 原式=18 解： 原式=319 解： 原式20 解：(1)，令,5A=3,令,