三角形的五心-B（欧拉线心）(陶平生).doc

【几何十讲】三角形的五心-B（欧拉线心）（外心、重心与垂心） 陶平生三角形的五心是指内心、外心、重心、垂心与旁心；在数学竞赛中占有十分重要的位置从赛题统计方面来看，其中又以内心问题最为突出，必须熟悉五心的基本性质，基本构形，常用辅助线以及基本定理的应用外心、重心与垂心的外心为，重心为，垂心为，则有、三点共线（欧拉线）且；、；、；、与具有相等的外接圆半径；、的垂心是其垂足三角形的内心例、中，为外心，三条高交于点，直线和交于点，和交于点；求证：、；、 （全国联赛）证一、（纯几何方法）设于，则，又由共圆，则，所以共圆，所以，因此，同理有为证，由分别共圆，设，在直角三角形中，由于，则，因此，且其对应边互相垂直作，于是只要证，即要证，由，只要证 因 据，只要证 注意，则，相乘得 由，只要证 由于，且平分，则，所以，因此，即有证二、（利用根轴性质）为证，只要证，据斯特瓦特定理，同样有，据共圆，又有，所以，因此，同理有再证，据，得 ；由得 ；由得 ；由得 由得 + -得，所以证三、（面积与三角方法）（仅证）如图，作，点在上，在与中，因为，即，于是；为证，只要证，即要证 因， ，而，故由，因此成立，故结论得证证四、（解析法）、取为原点，为轴，建立直角坐标系，设三顶点坐标为，则重心为，于是的方程为：，的方程为：；再设垂心为，则的方程为：；由于，则，因此，于是的方程为：，且垂心坐标为同理得，的方程为：；因共线（欧拉线），且点外分线段为定比：；记，则，即，故，因过与的交点，故的方程可表为：，注意过原点，得，所以的方程为：，同理知，的方程为：；所以，；由于，所以；、先求的方程：一方面，由于过与的交点，故的方程可表为：，即：，也即 另一方面，由于过与的交点，故的方程可表为：，即：，也即 由于方程和表示同一条直线，所以 ， 由得，显然有，所以 由得，（因，有意义，则）所以 ，由得，于是的方程为：，即，因此，前已得到，所以，从而例、如图，以的一边为直径作圆，分别交所在直线于，过分别作圆的切线交于一点，直线与交于一点；证明：三点共线证：连，则弦切角，由，得，以为圆心，为半径作，交直线于，则，故共点；所以，得，因此是的垂心所以，又因，则三点共线例、如图，分别是的边上的点，且；求证：线段过的重心证：取的中点，截于，则，因为在中线上，所以是重心以上用到，例、是的旁切圆，已知 分别切三边于；分别切三边于；.证明：共线，共线，共线；.证： 作于，设，的半径分别记为，则同理， ，因为，则，故.又设，则 ，为证，只要证，即，连，因，故，同理，于是共圆，得，所以 .即三线共点. 因，所以 ，因，而， 所以，因此，而 ，所以，且共线.即所共直线为的一条高线；同理可得，共线，且其所共直线也构成的一条高线，因此与的交点为的垂心，故在另一条高线上，因此结论得证.例、如图， 中，是上的点，且；的外接圆分别交于求证：证：如右图，设，则，将绕反时针旋转至，则，所以为直角三角形；又显然，所以，故由，得记圆的半径为，则直径，由圆幂定理，即，；所以，即例、过的外心任作一直线，分别交边于，分别是的中点.证明：. 证：我们证明以上结论对任何三角形都成立分三种情况考虑，对于直角三角形，结论是显然的，事实上，如图一中左图，若为直角，则外心是斜边的中点，过的直线交于，则共点，由于是的中点，故中位线，所以；以下考虑为锐角三角形或钝角三角形的情况，（如图一中右边两图所示）（图一）先证引理：如右图，过的直径上的两点分别作弦，连，分别交于，若，则. 引理证明：设，直线分别截，据梅涅劳斯定理，；则 而由相交弦，得 若的半径为，则 ，据得，即.因此.引理得证. 回到本题，如下图（两图都适用），延长得直径，在直径上取点，使，设，连交于，由引理，（右图中则是）因此，是的中点，故分别是及的中位线，于是得. 例、锐角三角形的三边互不相等，其垂心为，是的中点，直线，交于，直线与分别交于证明：、平分；、三线共点证：如图，连，因共圆，为圆心，则， 连，由共圆，得；又由共圆，得，相加得，故共圆，又因共圆，即有五点共圆，所以，即共线；五点圆的直径为，设圆心为（为的中点），由，即，故为的直径，从而，进而由，知为的直径，所以，因直径过的中点，故垂直且平分弦；同理，的直径，又由，所以 ，则 ，则 ；由，得 ， 、相乘，并注意 ，有 ，所以 ，由此，故平分.为证 三线共点，只要证 皆过点，据五点圆的圆心角，所以，因此共线；同理可得，共线，因此三线共点例、锐角三角形中，在边上分别有动点，试确定，当取得最小值时的面积解：对于任一个内接，暂将固定，而让在上移动，设的中点为，则由中线长公式，因此在固定后，欲使取得最小值，当使达最小，但是为上的定点，则当时，达最小，再对作同样的讨论，可知，当取得最小值时，的三条中线必定垂直于三角形的相应边；今设重心为，面积为，的面积为，则 由于分别共圆，则，故由，同除以，得，所以， ，又由，即，所以，因而（其中）例、如图，中，分别是边 上的点，在的延长线上分别取点，使 ；点分别是，的垂心.证明：.证：如图，设线段的中点分别为，则也是的中点，据中位线知，在中，；在中，即，所以:，且，.为证，只要证. 以为圆心，为直径作，其半径记为；以为圆心，为直径作，其半径记为，设直线交于，交于，由于点是的垂心，则，所以共圆，故有 另一方面，由于可知，在上，在上，从而，因此化为，即 又设直线交于，交于，由于点是的垂心，则，所以共圆，故有 再由 可知，在上，在上，从而，因此化为，即 据、得，故 ，而，所以.例、在中，,内心为，内切圆在边上的切点分别为, 设是关于点的对称点，是关于点的对称点.求证：四点共圆.证：设直线交的外接圆于点，易知是的中点，记的中点为，则设点在直线上的射影为，由于则半周长，于是，又所以，且相似比为，熟知；。又，所以，即是的中点进而，所以都在以为圆心的同一个圆周上例、的内切圆分别切于，而分别是边，的中点，过作的垂线，过作的垂线，过作的垂线；证明：、三线共点；、每条线皆平分的周长证：、连，我们来证明，交于的内心，设的平分线为，（）由易知，所以，同理有，而由，得，即平分，同理，分别平分与，因此这三线交于一点（的内心）、延长到，使，则，故，因此是的中点，所以由，得平分的周长例、为正三角形的边上的任意一点，设与的内心分别为，外心分别为；证明：证明：如图，据内心性质，有，所以共圆，即点在上，而，得点也在上，即五点共圆此圆的圆心即为的圆心；注意的平分线也是的中垂线，即共线，因此；同理有五点共圆，圆心为，因此，且由于，则；又在中，；在中，；所以，于是从而，由于在直角三角形中，所以有例、中，是的中点，是的重心，是的外心；证明：证：设交于，交于，则分别是的中点，且，作交于，则是的外心，又作于，则是的中点；于是，所以，由于，则例、内接于，是三角形的内心，直线分别交于，过点作直线，又过点作的切线，若与相交于，证明：三点共线证：设交于，连，据“鸡爪定理”，故与关于直线对称，即直线是线段的中垂线，所以，因此据弦切角性质可知，直线是的切线，从而共点，即三点共线例、设的内心是，外接圆为直线交圆于另一点设是弧上的一点,是边上的一点，使得设是线段的中点证明：直线与的交点在圆上（试题）证明：设直线与交于点，射线与交于点，射线与射线交于点由于，则，所以因为，且，所以，故AB+BHAH=AD+DCAC=AD+IDAC，由于，所以，于是，故因为，且，所以，于是对与截线，由梅内劳斯定理，由于，所以，故，即 ；由于AKAD=AIAE ，所以 ，于是；所以，故四点共圆，在圆上，即与的延长线交于圆上一点例、的外心为，内心为，边上的点与边上的点，使；求证： 证：设交的外接圆于，则是的中点，于是；连，因，则角平分线，（对应边垂直）由，得（外接圆半径），所以；连，故等腰三角形，因此，而是内心，有，所以，得，所以，且因与有两对对应边互垂，则第三对对应边也垂直，即有例、的内心为，外心为，外接圆半径为；，角的外角平分线交于；证明：、；、（全国联赛）证：、如图，延长交于，因是角的内、外角分线，故，所以为的直径；设交于，则，为正三角形，且，即共圆，其圆心为，半径也是；（与为等圆）所以圆心角圆周角，因此、由，则为正三角形，所以；由此，；且，又据条件，中，所以，由于，则，设，其中，；例、是内的一点，分别是上的点，且，；内的另一点满足：证明：当且仅当是的垂心证：必要性，如图，若，设，据共圆，共圆，由条件得，即，由于直角三角形，得，故有，又，所以， ，于是，即，同理得，故是的垂心；充分性，若是的垂心，则易得四边形为平行四边形，且，分别共圆，记，则，注意，中，因，由上式得，即 将关系式改写为，所以有 ，即 利用又可得， 所以 ， （注意，不可能有，否则将导致，矛盾！）由得，所以由此得即例、如果一直线将的周长分成相等的两部分，就称是的一条“周截线”；过三边的中点分别作的周截线；、证明：三线共点；、设三线的交点为，记，对所有三角形，求证：、不妨设，则周截线与的边相交情况便如上图所示；若，；用表示的周长，其余三角形类似表示，由于为平行四边形，；又因为周截线，则有，所以，故，即是的平分线；同理可得，分别是与的平分线；因此三线共点，其交点为的内心、我们利用三角系统求解；记，当为正三角形时，则是其三条中线的交点，即为重心，此时，而；以下证，对所有三角形，注意到与相似，其相似比为，用及分别表示的外接圆及内切圆半径，若的内心为，则有：，在中，由中线公式，同理在和中，有，；因此， 假若结论不成立，即若有，使得，则由， 即，即 ，由于在中，有，式成为 ，令，有，式成为，由于，上式成为 即 ，两边加得到， ，由于当，时，有（见附证）即式不能成立，故所设不真，从而对所有三角形， 【附证】设，则有 证：令，则，即要证 ，两边齐次化，即要证 由于，则，所以；据的对称性，不妨设，则因，于是 由于，即，所以，即成立，故结论得证例、设，试求以下方程的正根：. 解：以为边构作，以为心，为半径分别作圆，设与上述三个圆相外切，其半径为，则此便是所求的正根. 这是由于，.（记号表示三角形面积）.由海伦公式，因此得方程的解.易知，两两的内公切线交于的内心，而为的内切圆半径，其长为 （