二次函数存在性问题的分类讨论

二次函数存在性问题的分类讨论一. 如图，抛物线交轴于点C，直线 l为抛物线的对称轴，点P在第三象限且为抛物线的顶点.P到轴的距离为，到轴的距离为1.点C关于直线l的对称点为A，连接AC交直线 l于B. （1）求抛物线的表达式； （2）直线与抛物线在第一象限内交于点D，与轴交于点F,连接BD交轴于点E，且DE:BE=4:1.求直线的表达式； （3）若N为平面直角坐标系内的点，在直线上是否存在点M，使得以点O、F、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】解：（1）抛物线交轴于点C，C（0，-3）则 OC=3。P到轴的距离为，P到轴的距离是1，且在第三象限，P（-1，-）。C关于直线l的对称点为A，A（-2，-3）。将点A（-2，-3），P（-1，-）代入得，解得。 抛物线的表达式为。（2）过点D做DG轴于G，则DGE=BCE=90。DEG=BEC，DEGBEC。DE:BE=4:1，BC=1，, 则DG=4。 将=4代入，得=5。D（4,5）。 过点D（4,5）, ,则=2。所求直线的表达式为 。 （3）存在。 M1，M2，M3， M4。【分析】（1）求出点A、P的坐标，用待定系数法即可求得抛物线的表达式。（2）过点D做DG轴于G，由DEGBEC求出点D的坐标，代入即可求得直线的表达式。（3）存在。分三种情况讨论：当OF和FM都为菱形的边时，点F在上，F（0，2），OF=2。 设M，则FM=，由OF=FM解得。当时，M1。当时，M。当OF为菱形的对角线时，MN垂直平分OF，在中令，即，解得。M3。当FM为菱形的对角线时， 设M，则OM=，由OF=OM得解得（舍去）。，M4。综上所述，M1，M2，M3， M4。二如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点P，交y轴于点A抛物线的图象过点E（1，0），并与直线相交于A、B两点（1）求抛物线的解析式（关系式）；（2）过点A作ACAB交x轴于点C，求点C的坐标；（3）除点C外，在坐标轴上是否存在点M，使得MAB是直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由【答案】解：（1）一次函数交y轴于点A，令=0，得y=2。A（0，2）。 A（0，2）、E（1，0）是抛物线的图象上的点， ，解得 。 抛物线的解析式是：。（2）一次函数交轴于点P，令y=0，得=6。P（6，0）。 ACAB，OAOP，AOCPOA。 AO=2，PO=6，。点C的坐标为。（3）存在。设除点C外，在坐标轴上还存在点M，使得MAB是直角三角形，即AMB=900或ABM=900。点B是直线和抛物线的交点，解得。 若AMB=900，那么点M是以AB为直径的圆与坐标轴的交点，这时点M会在x轴的正半轴上和y轴的正半轴上。 若交点在y轴的正半轴上（如图），则点M的纵坐标与点B的纵坐标相等，即。 若交点在x轴的正半轴上（如图），设，过点B作BDx轴点D，则有AOMMDA。 。 AO=2，MD=，OM=m，DB=， ，解得。或。 若ABM=900，即过B作BMAP，这时M在x轴的正半轴上和y轴的负半轴上。 若交点在x轴的正半轴上（如图），设，过点B作BDx轴于点D，则有BDMPDB。 。BD=，M