二次函数知识点总结及练习题

二次函数二次函数 考点考点 1 1 二次函数的概念概念 定义 一般地 如果是常数 那么叫做的二次函数 cbacbxaxy 2 0 ay x 注意 注意 1 二次函数是关于自变量 x 的二次式 二次项系数 a 必须为非零实数 即 a 0 而 b c 为任意实数 2 当 b c 0 时 二次函数是最简单的二次函数 2 axy 3 二次函数是常数 自变量的取值为全体实数 cbacbxaxy 2 0 a 为整式 cbxax 2 例 1 函数 y m 2 x 2 2 m 2x 1 是二次函数 则 m 例 2 已知函数 y ax2 bx c 其中 a b c 是常数 当 a 时 是二次函数 当 a b 时 是一次函数 当 a b c 时 是正比例函 数 例 3 函数 y m n x2 mx n 是二次函数的条件是 A m n 为常数 且 m 0B m n 为常数 且 m n C m n 为常数 且 n 0D m n 可以为任何常数 例 4 下列函数中是二次函数的有 y x y 3 x 1 2 2 y x 3 2 2x2 y x x 1 2 x 1 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 考点考点 2 2 三种函数解析式解析式 1 一般式 y ax2 bx c a 0 对称轴 直线 x 顶点坐标 a b 2 a bac a b 4 4 2 2 2 顶点式 a 0 khxay 2 对称轴 直线 x 顶点坐标为 hh k 3 交点式 y a x x1 x x2 a 0 对称轴 直线 x 2 2x1x 其中 x1 x2 是二次函数与 x 轴的两个交点的横坐标 例 1 抛物线的顶点坐标为 对称轴是 82 2 xxy 例 2 二次函数 y 4 1 2x x 3 的一般形式是 例 3 已知函数的图象关于 y 轴对称 则 m 2 22 xmmmxy 例 4 抛物线 y x2 4x 3 与 x 轴的交点坐标是 例 5 把方程 x x 2 5 x 2 化为一元二次方程的一般形式后 a b c 考点考点 3 3 用待定系数法求二次函数的解析式用待定系数法求二次函数的解析式 1 一般式 已知图像上三点或三对 的值 通常选择一般式 cbxaxy 2 xy 2 顶点式 已知图像的顶点或对称轴或最值 通常选择顶点式 khxay 2 3 交点式 已知图像与轴的交点坐标 通常选用交点式 x 1 x 2 x 21 xxxxay 例 1 一个二次函数的图象顶点坐标为 5 1 形状与抛物线 y 2x2相同 这个函数 解析式为 例 2 已知抛物线的顶点坐标是 2 1 且过点 1 2 求抛物线的解析式 例 3 已知二次函数的图像经过 0 1 2 1 和 3 4 求该二次函数的解析式 例 4 已知二次函数的图像与 x 轴的 2 个交点为 1 0 2 0 并且过 3 4 求该二次函数的解析式 考点考点 4 4 二次函数的图象二次函数的图象 1 二次函数 的图像是对称轴平行于 包括重合 轴的抛物线 cbxaxy 2 y 2 二次函数由特殊到一般 可分为以下几种形式 2 axy kaxy 2 2 hxay khxay 2 cbxaxy 2 注 二次函数的图象可以通过抛物线的平移得到 3 二次函数的图像的画法 cbxaxy 2 因为二次函数的图像是抛物线 是轴对称图形 所以作图时步骤是 1 先找出顶点坐标 画出对称轴 2 找出抛物线上关于对称轴的四个点 如与坐标轴的交点等 3 把上述五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连结起来 典型例题 例 1 函数 y x2的顶点坐标为 若点 a 4 在其图象上 则 a 的值是 例 2 若点 A 3 m 是抛物线 y x2上一点 则 m 例 3 函数 y x2与 y x2的图象关于 对称 也可以认为 y x2 是函数 y x2的图象绕 旋转得到 例 4 若二次函数 y ax2 a 0 图象过点 P 2 8 则函数表达式为 例 5 函数 y x2的图象的对称轴为 与对称轴的交点为 是函数的顶 点 例 7 若 a 1 点 a 1 y1 a y2 a 1 y3 都在函数 y x2的图象上 判断 y1 y2 y3 的大小关系 考点考点 5 5 二次函数的性质二次函数的性质 函数解析式开口方向对称轴顶点坐标 2 axy 轴 0 x y 0 0 kaxy 2 轴 0 x y 0 k 2 hxay hx 0 h khxay 2 当时 0 a 开口向上 当时 0 a 开口向下 hx h k cbxaxy 2 a b x 2 a bac a b 4 4 2 2 注 常用性质 1 开口方向 当 a 0 时 函数开口方向向上 当 a0 时 在对称轴左侧 y 随着 x 的增大而减少 在对称轴右侧 y 随着 x 的增大而增大 当 a0 时 函数有最小值 并且当 x y 最小 a b 2 a bac 4 4 2 当 a0 时 当 x 为何值时 y 0 当 x 为何值时 y0 时 函数开口方向向上 a 当 a0 b 0 c 0 B a 0 b 0 c 0 C a 0 b 0 c0 b 0 c 0 例 2 在同一直角坐标系中 直线 y ax b 和抛物线的图象只 0 2 ccbxaxy 可能是图中的 例 3 在同一直角坐标系中 函数的图象只可能是图中的 axxybaxy 22 b和 例 4 抛物线的图象如图所示 根据图象可知 抛物线的解析式可能是 A y x2 x 2 B y 1 2 1 2 1 2 x C y D y 1 2 1 2 1 2 xx2 2 xx 例 6 已知二次函数 y ax2 bx c a 0 的图象如图所示 给出以下结论 a 0 该函数的图象关于直线对称 1x 当时 函数 y 的值都等于 0 13xx 或 其中正确结论的个数是 A 3 B 2 C 1 D 0 考点考点 9 9 抛物线的平移 抛物线的平移 方法 左加右减 上加下减 抛物线的平移实质是顶点的平移 因为顶点决定抛物线的位置 所以 抛物线平移时 首先化为顶点式 h 0 h0 k0 h0 h0 k0 k0 时 抛物线有最低点 函数有最小值 当 x y最小 a b 2 a bac 4 4 2 当 a 时 抛物线有最高点 函数有最大值 当 x y最大 a b 2 a bac 4 4 2 注 如果自变量 x 有取值范围 则另当别论 典型例题 例 1 抛物线的图象开口 对称轴是 顶点坐 标为 当 x 时 y 有最 值为 例 2 当 m 时 抛物线开口向下 对称轴是 在对称轴左侧 y 随 x 的增大而 在对称轴右侧 y 随 x 的增大而 例 4 二次函数的最小值是 2 1 2 xy A 2 B 1 C 1 D 2 例 2 抛物线 y x2 x 7 与 x 轴的交点个数是 例 3 抛物线 y 3x2 2x 1 的图象与 x 轴交点的个数是 A 没有交点 B 只有一个交点 C 有且只有两个交点 D 有且只有三个交点 考点考点 1212 直线与抛物线的交点问题 直线与抛物线的交点问题 1 轴与抛物线得交点为 0 ycbxaxy 2 c 2 与轴平行的直线与抛物线有且只有一个交点 yhx cbxaxy 2 h cbhah 2 3 抛物线与轴的交点x 二次函数的图像与轴的两个交点的横坐标 是对应一元二次方cbxaxy 2 x 1 x 2 x 程的两个实数根 抛物线与轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的0 2 cbxaxx 根的判别式判定 有两个交点抛物线与轴相交 0 x 有一个交点 顶点在轴上 抛物线与轴相切 x 0 x 没有交点抛物线与轴相离 0 x 4 平行于轴的直线与抛物线的交点x 同 3 一样可能有 0 个交点 1 个交点 2 个交点 当有 2 个交点时 两交点的纵坐标相等 设纵坐标为 则横坐标是的两个实数根 kkcbxax 2 5 一次函数的图像 与二次函数的图像的交 0 knkxyl 0 2 acbxaxyG 点 由方程组 的解的数目来确定 方程组有两组不同的解时与 cbxaxy nkxy 2 l 有两个交点 方程组只有一组解时与只有一个交点 方程组无解时与G lG l 没有交点 G 例 1 已知0 a 在同一直角坐标系中 函数axy 与 2 axy 的图象有可能是 例 3 在同一直角坐标系中 函数和函数 是常数 ymxm 2 22y