节函数模型及其应用

导航考点目标 整合主干知识 1 几类函数模型及其增长差异 1 几类函数模型 2 三种增长型函数之间增长速度的比较 指数函数y ax a 1 与幂函数y xn n 0 在区间 0 上 无论n比a大多少 尽管在x的一定范围内ax会小于xn 但由于ax的增长xn的增长 因而总存在一个x0 当x x0时有 快于 ax xn 对数函数y logax a 1 与幂函数y xn n 0 对数函数y logax a 1 的增长速度 不论a与n值的大小如何总会慢于y xn的增长速度 因而在定义域内总存在一个实数x0 使x x0时有 由 可以看出三种增长型的函数尽管均为增函数 但它们的增长速度不同 且不在同一个档次上 因此在 0 上 总会存在一个x0 使x x0时有 logax xn ax xn logax 2 解函数应用问题的步骤 四步八字 1 审题 弄清题意 分清条件和结论 理顺数量关系 初步选择数学模型 2 建模 将自然语言转化为数学语言 将文字语言转化为符号语言 利用数学知识 建立相应的数学模型 3 求模 求解数学模型 得出数学结论 4 还原 将数学问题还原为实际问题的意义 以上过程用框图表示如下 1 教材习题改编 f x x2 g x 2x h x log2x 当x 4 时 对三个函数的增长速度进行比较 下列选项中正确的是 A f x g x h x B g x f x h x C g x h x f x D f x h x g x 解析 在同一直角坐标系中 画出三个函数的图像易知B正确 答案 B 解析 设甲 乙速度相同时时间为t0 在 0 t0 上 甲图像下的面积大于乙图像下的面积 故甲在乙的前方 答案 D 3 今有一组实验数据如下 现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律 其中最接近的一个是 解析 根据表格以t为横坐标 v为纵坐标在直角坐标系tOv中描出 1 99 1 5 3 0 4 04 4 0 7 5 5 1 12 6 12 18 01 五个点 并将其用平滑线连接易知 C最接近 答案 C 4 某航空公司规定 乘机所携带行李的质量 kg 与其运费 元 由如图的一次函数图像确定 那么乘客可免费携带行李的质量最大为 答案 19kg 5 2011 湖北高考 里氏震级M的计算公式为 M lgA lgA0 其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅 A0是相应的标准地震的振幅 假设在一次地震中 测震仪记录的最大振幅是1000 此时标准地震的振幅为0 001 则此次地震的震级为 级 9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的 倍 答案 610000 探究考向典例 规律方法 1 在实际问题中 有很多问题的两变量之间的关系是一次函数模型 其增长特点是直线上升 自变量的系数大于0 或直线下降 自变量的系数小于0 构建一次函数模型 利用一次函数的图像与单调性求解 2 有些问题的两变量之间是二次函数关系 如面积问题 利润问题 产量问题等 构建二次函数模型 利用二次函数图像与单调性解决 提醒 在解决二次函数的应用问题时 一定要注意定义域 1 某企业生产A B两种产品 根据市场调查与预测 A产品的利润与投资成正比 其关系如图1 B产品的利润与投资的算术平方根成正比 其关系如图2 注 利润和投资单位 万元 1 分别将A B两种产品的利润表示为投资的函数关系式 2 已知该企业已筹集到18万元资金 并将全部投入A B两种产品的生产 若平均投入生产两种产品 可获得多少利润 如果你是厂长 怎样分配这18万元投资 才能使该企业获得最大利润 其最大利润约为多少万元 2 当0 t 10时 y的取值范围是 1200 1225 在t 5时 y取得最大值为1225 在10 t 20时 y的取值范围是 600 1200 在t 20时 y取得最小值为600 即第5天 日销售额y取得最大值为1225元 第20天 日销售额y取得最小值为600元 规律方法 分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同 可以先将其当作几个问题 将各段的变化规律分别找出来 再将其合到一起 要注意各段自变量的范围 特别是端点值 2 2013 丽水模拟 某市居民自来水收费标准如下 每户每月用水不超过4吨时 每吨为1 80元 当用水超过4吨时 超过部分每吨3 00元 某月甲 乙两户共交水费y元 已知甲 乙两户该月用水量分别为5x 3x 吨 1 求y关于x的函数 2 若甲 乙两户该月共交水费26 4元 分别求出甲 乙两户该月的用水量和水费 解析 1 当甲的用水量不超过4吨时 即5x 4 乙的用水量也不超过4吨 y 1 8 5x 3x 14 4x 当甲的用水量超过4吨 乙的用水量不超过4吨 即3x 4 且5x 4时 y 4 1 8 3x 1 8 3 5x 4 20 4x 4 8 当乙的用水量超过4吨 即3x 4时 y 2 4 1 8 3 3x 4 5x 4 24x 9 6 所以甲户用水量为5x 7 5吨 付费S1 4 1 8 3 5 3 17 70 元 乙户用水量为3x 4 5吨 付费S2 4 1 8 0 5 3 8 70 元 2010年10月1日起 我国开始第6次人口普查 假如某城市现有人口总数为100万人 如果年自然增长率为1 2 试解答下面的问题 1 写出该城市人口总数y 万人 与年数x 年 的函数关系式 2 计算10年以后该城市人口总数 精确到0 1万人 3 计算大约多少年以后该城市人口将达到120万人 精确到1年 1 01210 1 127 1 01215 1 196 1 01216 1 210 解析 1 1年后该城市人口总数为y 100 100 1 2 100 1 1 2 2年后该城市人口总数为y 100 1 1 2 100 1 1 2 1 2 100 1 1 2 2 3年后该城市人口总数为y 100 1 1 2 2 100 1 1 2 2 1 2 100 1 1 2 2 1 1 2 100 1 1 2 3 x年后该城市人口总数为y 100 1 1 2 x x N 2 10年后人口总数为100 1 1 2 10 112 7 万 3 设x年后该城市人口将达到120万人 即100 1 1 2 x 120 x log1 0121 20 16 年 因此 大约16年以后该城市人口将达到120万人 规律方法 在实际问题中的人口增长 银行利率 细胞分裂等增长问题一般用指数函数模型来表示 通常可表示为y a 1 p x 其中a为原来的基础数 p为增长率 x为时间 的形式 利用指数运算与对数函数图像性质求解 1 从药物释放开放 每立方米空气中的含药量y 毫克 与时间 t小时 之间的函数关系式为 2 据测定 当空气中每立方米的含药量降低到0 25毫克以下时 学生方可进教室 那么从药物释放开始 至少需要经过 小时后 学生才能回到教室 关注思想方法 导数方法在几何问题中的应用从近两年的高考试题来看 建立函数模型解决实际问题是高考的热点 对导数方法在几何问题中的应用有考查 题型主要以解答题为主 难度中等偏高 常与导数 最值交汇 主要考查建模能力 同时考查分析问题 解决问题的能力 1 写出y关于r的函数表达式 并求该函数的定义域 2 求该容器的建造费用最小时的r 1 2011 江苏高考 17 请你设计一个包装盒 如图所示 ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片 切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形 再沿虚线折起