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文档简介

构造全等三角形全等三角形是初中平几的重要内容之一，在几何证题中有着极其广泛的应用。然而在许多情况下，给定的题设条件及图形并不具有明显的全等条件，这就需要我们认真分析，仔细观察，根据图形的结构特征，挖掘潜在因素，通过添加适当的辅助线，巧构全等三角形。借助全等三角形的有关性质，就会迅速找到证题途径，直观易懂，简捷明快。现略举几例加以说明。例1、如图，ABC是一个纲架，AD是连接点A与BC中点D的支架，且AD平分BAC，求证：ADBC. 分析： 此题直接看条件有BD=CD，AD=AD，1=2，这是SSA，不能证明三角形全等，但此题结论是成立的，可构造中心对称的全等三角形，再利用三角形全等来证明.证明：延长AD到E使AD=DE，连结CE.在ABD和EDC中， AD=DE，3=6，BD=DC，ABDECD， 5=1.AD平分BAC, 1=2.2=5. AC=CE.在ACD和CDE中， AC=CE， CD=CD， AD=DE，ACDECD， 4=6.4+6=180, 4=90, ADBC. 点拨:此题证明过程中的第二组三角形全等也可用证等腰三角形三线合一来实现,当两个三角形相邻时可证全等来达到证垂直的目的.所以同学们在平时的学习中一定要学会总结构造全等的思路. 例2、如图,在ABC中,AD平分 BAC,AB+BD=AC,求BC的值.解:在AC边上截取AE=AB,则CE=BD,AD是角平分线, 1=2. 在ABD中与AED中, AB=AE, 1=2, AD=AD, ABDAED, DE=DB, 3=B.EC=BD, BD=DE.DE=EC, 4=C.又B=3=4+C, B=2C. 即BC =2. 点拨:遇到角平分线,则在较长的边上截取一段等于较短边,从而构造出全等三角形,然后将边角关系转移,体现出了辅助线的“桥梁”作用,这种辅助线要记住. 辅助线有两个作用,一是把分散的条件集中起来,即“桥梁”作用,如本题；二是把隐含的条件“显露”出来,如以后讲到的中垂线,如下图(1),AD是BC的中垂线,则可推出AB=AC,而有些题目中这个图不完善,如下图(2),已知ABC中,AB的垂直平分线交BC于点D,只要把AD连结,让中垂线显露,也就解决了大部分问题.（1） （2）练习:如图,在ABC中,B=2C, BAC的平分线交BC于D，求证：AB+BD=AC.提示:(1)如下图(1),因为ABAC,若延长AB到E,使AE=AC,连结DE,则ACDAED,然后证BED为等腰三角形即可. (2)如下图(2),因为B=2CC,所以ACAB.在AC上截取AE=AB,则ABDAED,这样所要证明的结论就转化为BD=AC-AB=AC-AE=CE.（1） （2）点拨:在证明a+b=c的式子时,可在短线段a上接上线段e(即将a延长e的长度)使e=b，设a+e=f，从而证明f=c。这种转化的方法称为接
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