传染病与微分方程稳定性课件

传染病与微分方程稳定性 1 一 传染病模型 建立传染病要考虑的因素非常多 如传染速度 医疗能力 死亡 新生人口数量 人口年龄性别结构等 具体到不同的疾病 还有传播途径 发作速度等问题 此外 传染病模型可以参照用于讨论计算机病毒的传播特征等方面 传染病爆发期间 感染人数会怎样变化 哪些因素对其传染效率的影响最大 传染病与微分方程稳定性 2 模型目标 问题 描述传染病的传播过程 分析受感染人数的变化规律 预报传染病高潮到来的时刻 预防传染病蔓延的手段 按照传播过程的一般规律 用机理分析方法建立模型 传染病与微分方程稳定性 3 模型假设 基本假设 传染病是由病人通过 接触 健康人进行传播的 疾病流行区域内的人分为三类 S类 易感人群 I类 病人 R类 移出者 为简单起见 假设本地区总人口不变 为N SIR 传染病与微分方程稳定性 4 1 SI模型 只考虑S和I两类人 1 人群个体之间没有差异 病人与易感者在人群中混合均匀 记s t 为t时刻健康人占总人口的比例 i t 为t时刻病人的比例 则s t i t 1 2 人群数量足够大 s t 和i t 可以视为连续且可微的 3 每个I类人每天 有效接触 的人数为常数 4 不考虑出生与死亡 以及人群的迁入迁出因素 传染病与微分方程稳定性 5 构造模型 令 t 0 得到微分方程 这个模型可以用于预报传染病爆发早期 患病人数的发展规律 并预测传染高峰的时间 传染病与微分方程稳定性 6 SI模型图形分析 病人比例随时间的变化规律病人数增长速率与病人数的关系 传染病与微分方程稳定性 7 增派防疫 医疗人员 采取放假 隔离等措施 普及防疫措施 知识 调整临床医疗策略 传染病与微分方程稳定性 8 SI模型结果分析 这个模型的缺陷是显而易见的 比如t 时 i t 1 这表明本地区最后所有人都会被感染 出现这种结果的原因是假设系统中只有两种人 即病人和易感人群 而且没有考虑病人会被治愈的因素 传染病与微分方程稳定性 9 1 假设 前面四条都和模型A一样 再添加一条 5 病人以固定的比率痊愈 再次成为易感人群 每天被治愈的病人数占病人总数的比例为 2 SIS模型 可治愈但不免疫模型 表示日治愈率 表现的是本地区的医疗水平 所以1 就可以表示传染病的平均感染期 也是一个病人从发病到被治愈经历的时间 根据假设5 Logistic模型被修改为 传染病与微分方程稳定性 10 构造模型 定义一个常数 根据 和1 的定义 就是一个病人在整个患病期间有效接触的平均人数 这在模型里被称为接触数 将 代入方程中 得到 求解这个方程 得到解为 传染病与微分方程稳定性 11 模型求解 1时 t 则i t 1 1 画出解的图象为 1 t 时i t 0 传染病与微分方程稳定性 12 模型结果分析 1 t 时i t 0 传染病与微分方程稳定性 13 1 假设 这里的假设类似于模型B 只是引入R类人群 分别记s t i t r t 为病人 易感人群 移出者在总人口中所占的比例 s t i t r t 1 另外 日接触率 日治愈率 3 SIR模型 免疫模型 根据假设 模型被修正为 初值条件为i 0 i0 r 0 r0 s 0 s0 注意 此方程组无法求解析解 可以求数值解 传染病与微分方程稳定性 14 模型求解 采用常微分方程定性理论的分析办法 将方程组转化成下面的形式 其中s 0 i 0且s i 1 这个方程是可以求解析解的 传染病与微分方程稳定性 15 下面我们来看随着时间的推移 s t I t r t 的变化规律 首先 t 时 分别以s i r 记各自的极限 这些极限都存在 模型分析 传染病与微分方程稳定性 16 i 0 用反证法 假设i 0 那么必然有i 0 根据极限的定义 对于充分大的t 都应该有i t 2 把这个结论代入方程组 模型分析 dr dt i 2 这会导致r t 这跟上面r t 的极限也存在的结论有矛盾 所以只能有 i 0 也就是说传染病最终将消失 传染病与微分方程稳定性 17 其次 考虑随着t的变化 i s平面上解的轨线变化情况 大概的走势图为 模型分析 传染病与微分方程稳定性 18 传染病与微分方程稳定性 19 1 是一个边界点 为了让传染病不蔓延 需要调整s0和1 具体的方法 一是降低s0 如接种疫苗 使S类人群直接变成R类 二是提高1 使之大于s0 也就是降低 而提高 强化卫生教育和隔离病人 同时提高医疗水平 模型分析 传染病与微分方程稳定性 20 对参数 的估计 令解两端同时取t 因为i 0 得到 参数估计 根据历史数据和此公式就可以得到 的估计值 关于传染病模型 我们还可以进一步考虑更复杂的情形 如考虑出生率 死亡率 防疫措施的作用 潜伏期等 传染病与微分方程稳定性 21 其他类型的传染病模型 SIES模型 健康 染病 潜伏期 健康不免疫SIER模型 健康 染病 潜伏期 移出系统SIRS模型 健康 染病 短时免疫 健康 易感 考虑抵抗能力考虑地域传播考虑传播途径 接触 空气 昆虫 水源等 传染病与微分方程稳定性 22 传染病模型本质上就是状态转移的一个速度方程 如果具有多个状态 则需要多个方程组成的方程组 因此完全可以采用其他形式的状态转移模型加以描述 采用常微分方程的主要优势在于分析方法和计算方法都比较成熟 更容易得到丰富的结论 传染病与微分方程稳定性 23 对象仍是动态过程 建模目的变成了时间充分长以后会如何 即研究事物最终的发展趋势 借助微分方程稳定性理论 不求解微分方程 描述事物某些特征的最终稳定状态 三 稳定性模型 比如 商品的价格与其价值的变化关系 食肉动物与草食性动物数量的变化规律 侵入人体的病菌与白血球的数量变化关系 投入一粒石子的池塘水面振幅变化规律 随着时间的推移 最终的结局是什么 传染病与微分方程稳定性 24 事物发展的稳定与不稳定 时间 这些现象在现实中都有实用背景和研究价值 事物的某些特征 传染病与微分方程稳定性 25 一阶微分方程组 首先求方程组的平衡点 传染病与微分方程稳定性 26 其次将方程组线性化 其系数矩阵为 p 0且q 0时平衡点P0稳定 p 0或q 0时平衡点P0不稳定 传染病与微分方程稳定性 27 传染病与微分方程稳定性 28 设同一环境中有甲 乙两个种群 x1 t x2 t 分别记t时刻甲 乙种群的数量 r1 r2为各自固有的增长率 N1 N2为各自环境最大容量 据此建立下面的模型 其中 1 2是非常关键的指标 反映一个种群对另一种群的竞争能力 案例 生物种群的竞争模型 传染病与微分方程稳定性 29 稳定性分析 竞争的结局 得到四个平衡点 P1 N1 0 P2 0 N2 P3 0 0 f 0 g 0 p 0且q 0时P0稳定 p 0或q 0时P0不稳定 传染病与微分方程稳定性 30 2 1 1 1 1 1 2 1 不稳定 1 1 2 1 p 0而且q 0 P1 N1 0 P2 0 N2 P3 0 0 当稳定性定理无法给出全部稳定性条件时 我们需要结合使用几何方法 传染病与微分方程稳定性 31 1 11 x2 x1 0 0 0 N2 N1 0 S1 S2 S3 几何分析表明 此时P1 N1 0 稳定 传染病与微分方程稳定性 32 2 1 1 2 1 x2 x1 0 0 0 N2