初中数学中考压轴题专题复习——综合知识的理解与应用.doc

初中数学中考压轴题专题复习综合知识的理解与应用一解答题（共11小题，满分110分，每小题10分）1（10分）已知：如图，抛物线与x、y轴分别相交于A、B两点，将AOB绕着点O逆时针旋90到AOB，且抛物线y=ax2+2ax+c（a0）过点A、B（1）求A、B两点的坐标；（2）求抛物线y=ax2+2ax+c的解析式；（3）点D在x轴上，若以B、B、D为顶点的三角形与ABB相似，求点D的坐标2（10分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A（3，0），C（0，1）将矩形OABC绕原点逆时针旋转90，得到矩形OABC设直线BB与x轴交于点M、与y轴交于点N，抛物线y=ax2+bx+c的图象经过点C、M、N解答下列问题：（1）求出该抛物线所表示的函数解析式；（2）将MON沿直线BB翻折，点O落在点P处，请你判断点P是否在该抛物线上，并请说明理由；（3）将该抛物线进行一次平移（沿上下或左右方向），使它恰好经过原点O，求出所有符合要求的新抛物线的解析式3（10分）在平面直角坐标系中，点A坐标为（1，1），过点A作ABx轴，垂足为点B，AOB绕点O逆时针方向旋转90，得到MON（如图所示），若二次函数的图象经过点A、M、O三点（1）求这个二次函数的解析式；（2）如果把这个二次函数图象向右平移2个单位，得到新的二次函数图象与y轴的交点为C，求tanACO的值；（3）在（2）的条件下，设新的二次函数图象的对称轴与x轴的交点为D，点E在这条对称轴上，如果BCO与以点B、D、E所组成的三角形相似（相似比不为1），求点E的坐标4（10分）如图，已知二次函数的图象经过点A（4，0）和点B（3，2），点C是函数图象与y轴的公共点、过点C作直线CEAB（1）求这个二次函数的解析式；（2）求直线CE的表达式；（3）如果点D在直线CE上，且四边形ABCD是等腰梯形，求点D的坐标5（10分）已知在ABC中，A=45，AB=7，动点P、D分别在射线AB、AC上，且DPA=ACB，设AP=x，PCD的面积为y（1）求ABC的面积；（2）如图，当动点P、D分别在边AB、AC上时，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；（3）如果PCD是以PD为腰的等腰三角形，求线段AP的长6（10分）如图，已知抛物线的顶点坐标为M（1，4），且经过点N（2，3），与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C（1）求抛物线的解析式及点A、B、C的坐标；（2）若直线y=kx+t经过C、M两点，且与x轴交于点D，试证明四边形CDAN是平行四边形；（3）点P在抛物线的对称轴x=1上运动，请探索：在x轴上方是否存在这样的P点，使以P为圆心的圆经过A、B两点，并且与直线CD相切？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由7（10分）如图，在菱形ABCD中，AB=2cm，BAD=60，E为CD边中点，点P从点A开始沿AC方向以每秒cm的速度运动，同时，点Q从点D出发沿DB方向以每秒1cm的速度运动，当点P到达点C时，P，Q同时停止运动，设运动的时间为x秒（1）当点P在线段AO上运动时请用含x的代数式表示OP的长度；若记四边形PBEQ的面积为y，求y关于x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；（2）显然，当x=0时，四边形PBEQ即梯形ABED，请问，当P在线段AC的其他位置时，以P，B，E，Q为顶点的四边形能否成为梯形？若能，求出所有满足条件的x的值；若不能，请说明理由8（10分）如图，在平面直角坐标系中，以点C（1，1）为圆心，2为半径作圆，交x轴于A，B两点，开口向下的抛物线经过点A，B，且其顶点P在C上（1）求ACB的大小；（2）写出A，B两点的坐标；（3）试确定此抛物线的解析式；（4）在该抛物线上是否存在一点D，使线段OP与CD互相平分？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由9（10分）如图，抛物线交x轴于点A、B，交y轴于点C，连接AC，BC，D是线段OB上一动点，以CD为一边向右侧作正方形CDEF，连接BF，交DE于点P（1）试判断ABC的形状，并说明理由；（2）求证：BFAB；（3）连接CP，记CPF的面积为S1，CPB的面积为S2，若S=S1S2，试探究S的最小值10（10分）已知二次函数y=x2+（k+1）xk的图象经过一次函数y=x+4的图象与x轴的交点A（如图）（1）求二次函数的解析式；（2）求一次函数与二次函数图象的另一个交点B的坐标；（3）若二次函数图象与y轴交于点D，平行于y轴的直线l将四边形ABCD的面积分成1：2的两部分，则直线l截四边形ABCD所得的线段的长是多少？（直接写出结果）答案与评分标准一解答题（共10小题，满分100分，每小题10分）1（10分）已知：如图，抛物线与x、y轴分别相交于A、B两点，将AOB绕着点O逆时针旋90到AOB，且抛物线y=ax2+2ax+c（a0）过点A、B（1）求A、B两点的坐标；（2）求抛物线y=ax2+2ax+c的解析式；（3）点D在x轴上，若以B、B、D为顶点的三角形与ABB相似，求点D的坐标考点：二次函数综合题。分析：（1）令=0，解一元二次方程即可求出A点的坐标，B点是（0，c）（2）把点A、B的坐标代入y=ax2+2ax+c，求出a，c问题得解（3）因为相似对应的不唯一性，需要讨论，分别求出满足题意的D的坐标解答：解：（1）令=0，解得：x1=4，x2=2A点在x轴的负半轴，x2=2（舍去）A（4，0），点B是抛物线与y轴的交点，B（0，2）；（2）由题意得A（0，4），B（2，0），代入y=ax2+2ax+c得；（3）由题意有OBB=45，BBA=135，且，如果BDB=135，由于OBB=45，所以不可能；如果DBB=135，由于OBB=45，所以也不可能；若DBB=135，则点D在B的右侧当或时，BBD与ABB相似，得DB=2或DB=4，D（4，0）或D（6，0）点评：本题考查的是二次函数与相似的综合应用，这类试题一般难度较大解这类问题关键是善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件2（10分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A（3，0），C（0，1）将矩形OABC绕原点逆时针旋转90，得到矩形OABC设直线BB与x轴交于点M、与y轴交于点N，抛物线y=ax2+bx+c的图象经过点C、M、N解答下列问题：（1）求出该抛物线所表示的函数解析式；（2）将MON沿直线BB翻折，点O落在点P处，请你判断点P是否在该抛物线上，并请说明理由；（3）将该抛物线进行一次平移（沿上下或左右方向），使它恰好经过原点O，求出所有符合要求的新抛物线的解析式考点：二次函数综合题。专题：分类讨论。分析：（1）根据四边形OABC是矩形，A（3，0），C（0，1）求出B的坐标，设直线BB的解析式为y=mx+n，利用待定系数法即可求出此直线的解析式，进而可得出M、N两点的坐标，设二次函数解析式为y=ax2+bx+c，把CMN三点的坐标代入此解析式即可求出二次函数的解析式；（2）设P点坐标为（x，y），连接OP，PM，由对称的性质可得出OPMN，OE=PE，PM=OM=5，再由勾股定理求出MN的长，由三角形的面积公式得出OE的长，利用两点间的距离公式求出x、y的值，把x的值代入二次函数关系式看是否适合即可；（3）由于抛物线移动的方向不能确定，故应分三种情况进行讨论解答：解：（1）四边形OABC是矩形，B（3，1），根据题意，得B（1，3）把B（3，1），B（1，3）代入y=mx+n中，解得 m=，n=此一次函数的解析式为：y=x+，N（0，），M（5，0）设二次函数解析式为y=ax2+bx+c，把C（1，0），N（0，），M（5，0）代入得：，解得 ，二次函数的解析式为y=x2+2x+；（2）设P点坐标为（x，y），连接OP，PM，O、P关于直线MN对称，OPMN，OE=PE，PM=OM=5，N（0，），M（5，0），MN=，OE=，OP=2OE=2，OP=2，PM=5，联立，解得，把x=2代入二次函数的解析式y=x2+2x+得，y=，点P不在此二次函数的图象上；（3）在上下方向上平移时，根据开口大小不变，对称轴不变，所以，二次项系数和一次项系数不变，根据它过原点，把（0，0）这个点代入得常数项为0，新解析式就为：y=x2+2x；在左右方向平移时，开口大小不变，二次项系数不变，为，这时根据已经求出的C（1，0），M（5，0），可知它与X轴的两个交点的距离还是为6，所以有两种情况，向左移5个单位，此时M与原点重合，另一点经过（6，0），代入解出解析式为y=x23x；当它向右移时要移一个单位C与原点重合，此时另一点过（6，0），所以解出解析式为y=x2+3x点评：本题考查的是二次函数综合题，涉及到用待定系数法求二次函数及一次函数的解析式，二次函数图象的几何变换等相关知识，在解时要应用分类讨论的思想进行解答3（10分）在平面直角坐标系中，点A坐标为（1，1），过点A作ABx轴，垂足为点B，AOB绕点O逆时针方向旋转90，得到MON（如图所示），若二次函数的图象经过点A、M、O三点（1）求这个二次函数的解析式；（2）如果把这个二次函数图象向右平移2个单位，得到新的二次函数图象与y轴的交点为C，求tanACO的值；（3）在（2）的条件下，设新的二次函数图象的对称轴与x轴的交点为D，点E在这条对称轴上，如果BCO与以点B、D、E所组成的三角形相似（相似比不为1），求点E的坐标考点：二次函数综合题。分析：（1）本题需先得出M点的坐标，再设出二次函数的解析式为y=ax2+bx+c，把A、M、O三点代入即可求出解析式（2）本题先得出图象向右平移2个单位的解析式，从而得出与y轴的交点坐标，再连接AN，即可求出tanACO的值（3）本题需先分根据（2）的解析式得出对称轴为直线x=2，得出D点的坐标，再设出点E的坐标，这时再分两种情况进行讨论，当点E在x轴的上方时，得出，即可求出点E的坐标，当点E在x轴的下方时，同理可得出点E的坐标解答：解：（1）由旋转可知：点M的坐标为（1，1），设所求二次函数的解析式为y=ax2+bx+c二次函数的图象经过点A、M、O三点，点A坐标为（1，1），这个二次函数的解析式为y=x2（2）将这个二次函数图象向右平移2个单位，得到新的二次函数的解析式为y=（x2）2二次函数y=（x2）2的图象与y轴的交点为C为（0，4），由旋转可知：点N的坐标为（0，1），连接AN在RtANC中，AN=1，CN=3，（3）由（2）得：新的二次函数y=（x2）2图象的对称轴为直线x=2根据题意：得点D的坐标为（2，0），可设点E坐标为（2，x），BOC=BDE=90如果BCO与以点B、D、E所组成的三角形相似：当点E在x轴的上方时，如果，又BD=BO=1，容易知道BCO与BDE全等（舍去），如果，又BD=1，BO=1，OC=4，DE=x，所以点E的坐标为（2，）当点E在x轴的下方时，同理：可得到E的坐标为（2，）所以：当BCO与以点B、D、E所组成的三角形相似（相似比不为1）时，点E的坐标为（2，）或（2，）点评：本题主要考查了二次函数综合题，其中涉及到的知识点有抛物线的顶点公式和解析式的求法在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果4（10分）如图，已知二次函数的图象经过点A（4，0）和点B（3，2），点C是函数图象与y轴的公共点、过点C作直线CEAB（1）求这个二次函数的解析式；（2）求直线CE的表达式；（3）如果点D在直线CE上，且四边形ABCD是等腰梯形，求点D的坐标考点：二次函数综合题；等腰梯形的性质。专题：综合题。分析：（1）由二次函数的图象经过点A（4，0）和点B（3，2），两点代入关系式解得b、c（2）直线CEAB，故设直线CE的表达式为y=2x+m，又经过C点，求出m（3）设点D的坐标为（x，2x2），四边形ABCD是等腰梯形，可知AD=BC，故能解出x解答：解：（1）二次函数的图象经过点A（4，0）和点B（3，2），解得，所求二次函数的解析式为（2）直线AB的表达式为y=2x8，CEAB，设直线CE的表达式为y=2x+m又直线CE经过点C（0，2），直线CE的表达式为y=2x2（3）设点D的坐标为（x，2x2）四边形ABCD是等腰梯形，AD=BC，即解得，x2=1（不符合题意，舍去）点D的坐标为（，）点评：本题是二次函数的综合题，要求二次函数的解析式，求直线方程等此题比较简单5（10分）已知在ABC中，A=45，AB=7，动点P、D分别在射线AB、AC上，且DPA=ACB，设AP=x，PCD的面积为y（1）求ABC的面积；（2）如图，当动点P、D分别在边AB、AC上时，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；（3）如果PCD是以PD为腰的等腰三角形，求线段AP的长考点：解直角三角形；勾股定理；相似三角形的判定与性质。专题：动点型。分析：（1）过C作CHAB于H，在RtACH、RtCHB中，分别用CH表示出AH、BH的长，进而由AB=AH+BH=7求出CH的长，即可得到AH、BH的长，由三角形的面积公式可求得ABC的面积；（2）由DPA=ACB，可证得DPABCA，根据相似三角形得出的成比例线段可求得AD的表达式，进而可得到CD的长；过P作PEAC于E，根据AP的长及A的度数即可求得PE的长；以CD为底、PE为高即可求得PCD的面积，由此可得出y、x的函数关系；求自变量取值的时，关键是确定AP的最大值，由于P、D分别在线段AB、AC上，AP最大时D、C重合，可根据相似三角形得到的比例线段求出此时AP的长，由此可得到x的取值范围；（3）在（2）题中，已证得ADPABC，根据相似三角形得到的比例线段，可得到PD的表达式；若PDC是以PD为腰的等腰三角形，则可分两种情况：PD=DC或PD=PC；如果D在线段AC上，此时PDC是钝角，只有PD=DC这一种情况，联立两条线段的表达式，即可求得此时x的值；如果D在线段AC的延长线上，可根据上面提到的两种情况，分别列出关于x的等量关系式，即可求得x的值解答：解：（1）作CHAB，垂足为点H，设CH=m；，（1分）A=45，AH=CH=m；（1分）m=4；（1分）ABC的面积等于（1分）（2）AH=CH=4，DPA=ACB，A=A，ADPABC；（1分），即；（1分）作PEAC，垂足为点E；A=45，AP=x，；（1分）所求的函数解析式为，即；（1分）当D到C时，AP最大CPABCA=AP=定义域为0x；（1分）（3）由ADPABC，得，即；（1分）PCD是以PD为腰的等腰三角形，有PD=CD或PD=PC；（i）当点D在边AC上时，PDC是钝角，只有PD=CD；解得；（1分）（ii）当点D在边AC的延长线上时，（1分）如果PD=CD，那么解得x=16（1分）如果PD=PC，那么解得x1=32，（不符合题意，舍去）（1分）综上所述，AP的长为，或16，或32点评：此题考查了解直角三角形、相似三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、二次函数的应用等知识，同时还考查了分类讨论的数学思想方法，难度较大6（10分）（2005漳州）如图，已知抛物线的顶点坐标为M（1，4），且经过点N（2，3），与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C（1）求抛物线的解析式及点A、B、C的坐标；（2）若直线y=kx+t经过C、M两点，且与x轴交于点D，试证明四边形CDAN是平行四边形；（3）点P在抛物线的对称轴x=1上运动，请探索：在x轴上方是否存在这样的P点，使以P为圆心的圆经过A、B两点，并且与直线CD相切？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由考点：二次函数综合题。专题：压轴题。分析：（1）根据题意中，抛物线的顶点坐标与N的坐标，可得抛物线的解析式，进而可得点A、B、C的坐标；（2）分别求出过DM的直线，与过点AN的直线方程，可得DM与AN平行，且易得DM与AN相等；故四边形CDAN是平行四边形；（3）首先假设存在，根据题意，题易得：MDE为等腰直角三角形，进而可求得P的坐标，故存在P解答：（1）解：由抛物线的顶点是M（1，4），设解析式为y=a（x1）2+4（a0）又抛物线经过点N（2，3），所以3=a（21）2+4，解得a=1所以所求抛物线的解析式为y=（x1）2+4=x2+2x+3令y=0，得x2+2x+3=0，解得：x1=1，x2=3，得A（1，0）B（3，0）；令x=0，得y=3，所以C（0，3）（2）证明：直线y=kx+t经过C、M两点，所以即k=1，t=3，直线解析式为y=x+3令y=0，得x=3，故D（3，0），即OD=3，又OC=3，在直角三角形COD中，根据勾股定理得：CD=连接AN，过N做x轴的垂线，垂足为F设过A、N两点的直线的解析式为y=mx+n，则，解得m=1，n=1所以过A、N两点的直线的解析式为y=x+1所以DCAN在RtANF中，AF=3，NF=3，所以AN=，所以DC=AN因此四边形CDAN是平行四边形（3）解：假设在x轴上方存在这样的P点，使以P为圆心的圆经过A、B两点，并且与直线CD相切，设P（1，u）其中u0，则PA是圆的半径且PA2=u2+22过P做直线CD的垂线，垂足为Q，则PQ=PA时以P为圆心的圆与直线CD相切由第（2）小题易得：MDE为等腰直角三角形，故PQM也是等腰直角三角形，由P（1，u）得PE=u，PM=|4u|，PQ=由PQ2=PA2得方程：=u2+22，解得，舍去负值u=，符合题意的u=，所以，满足题意的点P存在，其坐标为（1，）点评：本题考查学生将二次函数的图象与解析式相结合处理问题、解决问题的能力7（10分）如图，在菱形ABCD中，AB=2cm，BAD=60，E为CD边中点，点P从点A开始沿AC方向以每秒cm的速度运动，同时，点Q从点D出发沿DB方向以每秒1cm的速度运动，当点P到达点C时，P，Q同时停止运动，设运动的时间为x秒（1）当点P在线段AO上运动时请用含x的代数式表示OP的长度；若记四边形PBEQ的面积为y，求y关于x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；（2）显然，当x=0时，四边形PBEQ即梯形ABED，请问，当P在线段AC的其他位置时，以P，B，E，Q为顶点的四边形能否成为梯形？若能，求出所有满足条件的x的值；若不能，请说明理由考点：三角形中位线定理；二次函数综合题；三角形的面积；菱形的性质；梯形；相似三角形的判定与性质。专题：动点型；分类讨论。分析：（1）根据菱形的性质求出OA的长度，再求出AP的长等于2x，OP的长即可求出；过E作EHBD于H，表示出BQ的长等于2x，分别求出BPQ和BEQ的面积，两个三角形的面积之和就是四边形PBEQ的面积为y（2）根据梯形的定义，可以分三种情况讨论：PQBE时，因为EBQ=30，所以PQO=30，再利用PQO的正切值列出算式即可求解，PEBQ时，因为点E是CD的中点，所以点P是CO的中点，根据AP的长度等于速度乘以时间列出算式即可求出；EQBP时，过E作EHDO，垂足为H，得到QEH与BPO相似，再根据相似三角形对应边成比例列出等式即可求出x的值解答：解：（1）由题意得BAO=30，ACBD，AB=2，OB=OD=1，OA=OC=，OP=，（2分）过点E作EHBD，则EH为COD的中位线，DQ=x，BQ=2x，y=SBPQ+SBEQ=（2x）（2x）+（2x），=；（3分）（2）能成为梯形，分三种情况：当PQBE时，PQO=DBE=30，即，x=，此时PB不平行QE，x=时，四边形PBEQ为梯形（2分）当PEBQ时，P为OC中点，AP=，即，此时，BQ=2x=PE，x=时，四边形PEQB为梯形（2分）当EQBP时，过E作EHDO，垂足为H，QEHBPO，x=1（x=0舍去），此时，BQ不平行于PE，x=1时，四边形PEQB为梯形（2分）综上所述，当x=、或1时，以P，B，E，Q为顶点的四边形是梯形点评：本题考查菱形的性质及梯形的判定方法，熟练掌握性质和定义是解本题的关键本题还要注意说明以P，B，E，Q为顶点的四边形是梯形时，因为底边不确定，所以一定要分情况讨论8（10分）（2008乌鲁木齐）如图，在平面直角坐标系中，以点C（1，1）为圆心，2为半径作圆，交x轴于A，B两点，开口向下的抛物线经过点A，B，且其顶点P在C上（1）求ACB的大小；（2）写出A，B两点的坐标；（3）试确定此抛物线的解析式；（4）在该抛物线上是否存在一点D，使线段OP与CD互相平分？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由考点：二次函数综合题。专题：压轴题；开放型。分析：（1）可通过构建直角三角形来求解过C作CHAB于H，在直角三角形ACH中，根据半径及C点的坐标即可用三角形函数求出ACB的值（2）根据垂径定理可得出AH=BH，然后在直角三角形ACH中可求出AH的长，再根据C点的坐标即可得出A、B两点的坐标（3）根据抛物线和圆的对称性，即可得出圆心C和P点必在抛物线的对称轴上，因此可得出P点的坐标为（1，3）然后可用顶点式二次函数通式来设抛物线的解析式根据A或B的坐标即可确定抛物线的解析式（4）如果OP、CD互相平分，那么四边形OCPD是平行四边形因此PC平行且相等于OD，那么D点在y轴上，且坐标为（0，2）然后将D点坐标代入抛物线的解析式中即可判定出是否存在这样的点解答：解：（1）作CHx轴，H为垂足，CH=1，半径CB=2，BCH=60，ACB=120（2）CH=1，半径CB=2HB=，故A（1，0），B（1+，0）（3）由圆与抛物线的对称性可知抛物线的顶点P的坐标为（1，3）设抛物线解析式y=a（x1）2+3，把点B（1+，0）代入上式，解得a=1；y=x2+2x+2（4）假设存在点D使线段OP与CD互相平分，则四边形OCPD是平行四边形PCOD且PC=ODPCy轴，点D在y轴上又PC=2，OD=2，即D（0，2）又D（0，2）满足y=x2+2x+2，点D在抛物线上所以存在D（0，2）使线段OP与CD互相平分点评：本题是综合性较强的题型，所给的信息比较多，解决问题所需的知识点也较多，解题时必须抓住问题的关键点二次函数和圆的综合，要求对圆和二次函数的性质在掌握的基础上灵活讨论运动变化，对解题技巧和解题能力的要求上升到一个更高的台阶要求学生解题具有条理，挖出题中所隐含的条件，会分析问题，找出解决问题的突破口9（10分）如图，抛物线交x轴于点A、B，交y轴于点C，连接AC，BC，D是线段OB上一动点，以CD为一边向右侧作正方形CDEF，连接BF，交DE于点P（1）试判断ABC的形状，并说明理由；（2）求证：BFAB；（3）连接CP，记CPF的面积为S1，CPB的面积为S2，若S=S1S2，试探究S的最小值考点：二次函数综合题。分析：（1）由抛物线交x轴于点A、B，当x=0，求出图象与y轴的交点坐标，以及y=0，求出图象与x轴的交点坐标，即可得出三角形的形状；（2）首先证明ACDBCF，利用三角形的全等，得出ABF=ABC+CBF=90，即可得出答案；（3）首先根据DCO=PDB，证明DCOPDB，再利用相似三角形的性质得出二次函数，再求出最值解答：（1）解：令x=0，得y=4，C（0，4），令y=0，得x1=4，x2=4，A（4，0），B（4，0），OA=OB=OC，ABC是等腰直角三角形；（2）证明：如图，ABC是等腰直