梯形常用辅助线例析

梯形常用辅助线例析河南 李丰先 由于梯形两腰具有不平行性的特殊性，所以在解决梯形有关问题时，常常通过作辅助线的方法将其分割为三角形、平行四边形、矩形等，从而把梯形问题转化为较为简单的问题。梯形常用的辅助线做法有平移一腰、平移一条对角线、作高、延长两腰等。如图例1 如图所示，等腰梯形ABCD中，ADBC，BD平分ABC试说明AB=AD若AD=2，C=600求梯形ABCD的周长解：BD平分ABCABD=DBCADBCDBC=ADBABD=ADBAB=AD 过D作DEAB交BC于EADBC,AB=CD, ABC=C=600DEAB, DEC=ABC=600DEC=C=600 DEC是等边三角形，故EC=CD= DEADBC，DEAB四边形ABED是平行四边形，由知AB=AD四边形ABED是菱形，AB= BE = DE = AD =2EC=CD= DE =2梯形ABCD的周长= AD+DC+BC+AB=AD+DC+CE+EB+AB=10点拨：本题通过平移一腰，将梯形切割为一个平行四边形（菱形）和一个等边三角形，这是一种常用的方法，是梯形、平行四边形、三角形的综合。例2如图铁路基横断面为等腰梯形ABCD，已知路基底宽AB=6m，斜坡BC与下底CD的夹角为450，路基高2m，求下底CD的宽解：作AECD于E，BFCD于F，BFAE又ABCD四边形ABFE为矩形，且AB=EF四边形ABCD是等腰梯形 BC=ADBCF与ADE重合故CF=DE又C=450故BF=CF=DE CD=CF+EF+DE=2+6+2+10（m）点拨：梯形的铁塔、梯形的路基、梯形的横断面都是现实生活中常见的形状，常常从同一底的两个顶点向另一底作垂线，这样可以把梯形转化为两个直角三角形和一个矩形，使问题得以解决。例3如图等腰梯形ABCD中，ADBC，AB=CD对角线ACBD，AD=4，BC=10求梯形ABCD的面积解：过点D作DFAC交BC的延长线于F，作DEBC交BC于E四边形ACFD是平行四边形 DF=AC,CF=AD=4ACBD,ACDFBDF=BOC=900AC=BD BD=DF BF=BC+CF=14DE=BF=7S梯形ABCD=（4+10）7=49（2）点拨：过梯形的一个顶点平移一条对角线，可以把梯形转化成平行四边形，从而使问题得到解决例4 如图，已知等腰梯形ABCD的中位线EF的长为6，腰AD的长为5，求该等腰梯形的周长解：过点F作MNAD交AB于M，交DC的延长线于NMNAD，DNAM四边形AMND为平行四边形，AD=MN，DN=AM又CF=FB，N=FMB，B=FCNFMB与FNC关于点F成中心对称BM=CN,FM=FN又ED=EA,且AD=MNDE平行且等于FN同理可得EF=AM=ABMB2EF=DC+CN+ABMB=DC+AB周长= DC+ AB+AD+BC=2EF+2AD=2（EF+AD）=22点拨：EF是等腰梯形的中位线，即E、F分别是腰AD、BC的中点，作另一腰的平行线，就可以把梯形转化为平行四边形和三角形