梯形中添加辅助线的六种常用技巧

梯形中添加辅助线的六种常用技巧浙江 唐伟锋梯形是不同于平行四边形的一类特殊四边形，解决梯形问题的基本思路是通过添加辅助线，将梯形进行割补、拼接转化为三角形、平行四边形问题进行解决。一般而言，梯形中添加辅助线的常用技巧主要有以下几种一、平移一腰从梯形的一个顶点作一腰的平行线，将梯形转化为平行四边形和三角形，从而利用平行四边形的性质，将分散的条件集中到三角形中去，使问题顺利得解。例1、如图，梯形ABCD中ADBC，AD=2cm，BC=7cm，AB=4cm，求CD的取值范围。解：过点D作DEAB交BC于E，ADBC，DEAB四边形ABED是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）DE=AB=4cm，BE=AD=2cmEC=BCBE=72=5cm在DEC中，ECDECDECDE（三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边） 1cmCD9cm。二、延长两腰将梯形的两腰延长，使之交于一点，把梯形转化为大、小两个三角形，从而利用特殊三角形的有关性质解决梯形问题。例2、如图，已知梯形ABCD中，ADBC，B=C，求证：梯形ABCD是等腰梯形。证明：延长BA、CD，使它们交于E点，ADBCEAD=B，EDA=C（两直线平行，同位角相等）又B=CEAD=EDAEA=ED，EB=EC（等角对等边）AB=DC梯形ABCD是等腰梯形（两腰相等的梯形是等腰梯形）。三、平移对角线从梯形上底的一个顶点向梯形外作一对角线的平行线，与下底延长线相交构成平行四边形和一特殊三角形（直角三角形、等腰三角形等）。例3、如图，已知梯形ABCD中，AD=1.5cm，BC=3.5cm，对角线ACBD，且BD=3cm，AC=4cm，求梯形ABCD的面积。解：过点D作DEAC交BC延长线于EADBC，DEAC四边形ACED是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）CE=AD=1.5cm，DE=AC=4cmACBDDEBDS梯形ABCD=（h为梯形的高） 。四、作高线从梯形上底的一个顶点（或两个顶点）向下底作高线，将特殊梯形（等腰梯形、直角梯形）转化成矩形和直角三角形。例4、如图，已知梯形ABCD中，DCAB，DAAB于A，DC=1，DA=2，AB=3，求B的度数。解：过C点作CEAB，E为垂足，DCAB，DAABDADC又CEAB四边形AECD是矩形（有三个角是直角的四边形是矩形）AE=DC=1，CE=DA=2AB=3EB=ABAE=31=2=CEB=45（等腰直角三角形锐角度数等于45）。五、作对角线在梯形中将没有画出的对角线作出来，利用特殊梯形对角线的性质（如等腰梯形对角线相等）将题目中的条件进行转化，从而解决问题。例5、如图，已知梯形ABCD中，DCAB，AD=BC，延长AB到E，使BE=CD，求证：AC=CE。证明：连结BD，AD与BC是腰且AD=BC梯形ABCD是等腰梯形（两腰相等的梯形是等腰梯形）AC=BD（等腰梯形两条对角线相等）DCAB即DCBE，BE=CD四边形DBEC是平行四边形（一组对边平行并且相等的四边形是平行四边形）BD=CE（平行四边形对边相等）AC=CE。六、过一顶点和一腰中点作直线过梯形的一个顶点及一腰中点作直线（具体可利用旋转得到），与梯形底边的延长线相交，构成三个特殊三角形（其中两个成中心对称），从而将问题转化到三角形中进行解决。例6、如图，已知梯形ABCD中，ADBC，E是AB中点，DECE，求证：CD=ADBC。证明:将AED绕E点旋转180到EBF位置，使AE与BE重合，记D的对应点为F，则BF=AD，ED=EF，A=EBF，ADBCAABC=180（两直线平行，同旁内角互补）EBFABC=180，即FB与BC在同一条直线上CEDE，ED=EFCE是DF的中垂线CD=CF=CBBF=CB+