完全四点形的调和性质在初等几何的应用.doc

完全四点形调和性质在初等几何的应用浙江师范大学本科毕业设计(论文)正文目 录摘要:2关键词2Abstract：3Key words：31 引言32 基本概念42.1完全四点形（线）的定义42.2 交比的定义52.3完全四点(线)形的调和性质52.4第四调和点的作法62.5 初等几何作图73应用完全四点 ( 线 ) 形的调和性解初等几何问题83.1 证明平分线段问题93.2 证明线线平行问题103.3 证明线共点、点共线问题103.3.1 证明线共点问题113.3.2 证明点共线问题123.3 证明平分角度问题133.4 判断两直线垂直143.5线段相等问题153.6 证明比例线段问题153.7中学竞赛问题163.8应用于自极三点形的建立，二次曲线方程的简化174 结束语185 主要参考文献19完全四点形的调和性质在初等几何的应用摘要: 高等几何是初等几何的延伸，能够为初等几何提供了理论依据，拓展解题途径，开阔初等几何的视野。本文对高等几何中的完全四点(线)形的调和性质进行了归纳整理,从初等几何与高等几何之间联系出发，探究初等几何中平分角、平分线、共点、共线、平行、作图、线段成比例等几何问题的证明，使中学竞赛中的一些几何问题能够化难为易，从而提高学生解题能力，拓展初等几何的内容。关键词：完全四点形；完全四线形；调和性质；高等几何；初等几何The Application of Complete Quadrilateral Harmoinicity in Elementary GeometryMathematics and Applied Mathematics Zhejiang Normal UniversityZhang Zhang(09190144) Director：Jin LiangbingAbstract：This paper gives a simple summary to harmoinicity of complete quadrangle (complete quadrilateral) in Higher Geometry according to the connection between Elementary Geometry and Higher Geometry. Higher Geometry is the extension of Elementary Geometry which provides theoretical basis for Elementary Geometry. It expands the approaches of solving problems and the Elementary Geometrys horizons. The paper probes into elementary geometric proof with respect to angle bisection, bisector, concurrent, collinear, parallel, construction, and proportional segments. This discovery makes the geometric problem easier, thus it improves students ability to solve geometric problems and expand the content of Elementary Geometry.Key words：complete quadrangle; complete quadrilateral; harmonicity; Higher Geometry; Elementary Geometry1 引言初等几何研究的是几何图形的形状和大小，如线段的长度、角度、面积和体积等等，这些东西与几何图形的位置无关，即把几何图形从一个位置搬到另一个位置时，图形的形状和大小是不改变的。这种不变性以及图形相关的不变量叫做移动变换下的不变性和不变量。因此，初等几何是研究移动变换下图形的不变性和不变量的学科，而高等几何中的部分内容则是研究射影变换下图形的不变性和不变量。高等几何作为一门几何课程, 有着自身特殊的作用, 它为我们提供解决初等几何问题的思想方法, 对于我们思考和解决问题有重要的指导作用。本文仅利用完全四点形的调和性质对几个初等几何命题进行证明, 来说明高等几何在初等几何中的应用。完全四点形调和性质在初等数学中有着广泛的应用背景。利用完全四点形的调和性质对一些初等几何问题进行证明，可以体现高等几何在初等几何中的应用。著名初等数学问题笛沙格对合定理(Desargues Involution Theorem)是完全四点形调和性质是研究透射时的透射比问题的基础。它在两空间笛沙格构图成透射的条件及透射定位参数的确定问题之中，起着十分重要的作用。针对透射参数的研究，在过去研究工作基础上，运用几何分析方法，结合完全四点形调和性质计算公式，给出精确的计算结果。与此同时，高等几何是高等师范院校数学与应用数学专业的一门重要基础课。实际上，要成为合格的中学数学教师，就应该有全面的数学素质。比如，在普通高中课程标准实验教科书数学必修四中初等几何中的点共线与线共点问题，是教学中的一个重点，也是一个难点。在竞赛教学中，如果单纯用初等几何的向量方法去解决，有时会觉得非常复杂，若采用高等几何的方法去思考问题，不仅可为解题带来了极大的方便，也可在方法上为解决初等几何的问题开辟新的思路。同理“交比和调和共轭”与射影几何的各部分内容密切相关，运用其概念和有关性质，可以比较简单地解决初等几何问题，比如著名的“蝴蝶定理”用交比来证明比较简便，基于这些原因，本文将针对利用完全四点（线）形的调和性质在初等几何证题中的应用举出大量实例，对“高等几何”在“初等几何”中的应用进行探讨，从而丰富从事高中竞赛教学的基层数学教师的几何素养。 2 基本概念2.1 完全四点形（线）的定义 定义11:平面内无三点共线的四点及其两两联线所构成的图形称为完全四点形(完全四角形),记作完全四点形ABCD。 定义11:完全四点形含四点六线,每一点称为顶点,每一直线称为边,不过同一顶点的两边称为对边,六边分为三对,每一对对边的交点称为对边点(对角点),三个对边点构成的三角形称为对角三角形,如图2-1。 定义21:平面内无三线共点的四直线及其两两交点所构成的图形。称为完全四线形(完全四边形),记作完全四线形abcd。定义21:完全四线形abcd含四线六点，每一直线称为边,每一点称为顶点,不在同一边上的两个顶点称为对顶,六个顶点分为三对,每一对对顶的联线称为对顶线(对角线),三条对顶线构成的三角形称为对角三角形,如图2-2。adcbtsyxOAXYTBDSCZ 图2-1 完全四点形 图2-2 完全四线形2.2 交比的定义定义31：设，是在射影平面上一点列的四个不同点，则有，我们定义此共线的四点，的交比为：其中，称为基础点，称为分点。定义41：在仿射平面上，共点四直线的方向数为，则，.定义51：我们规定，当时，四点，构成调和比，并称点对，与点对，成调和共轭，-1称为调和比。2.3完全四点(线)形的调和性质 定理11:设s、s是完全四点形ABCD的一对对边,它们的交点是对边点X,若X与其它二对边点的连线是t、t，则有(ss, tt) =-1。 推论11:在完全四点形的对边三点形的每条边上有一组调和共轭点，其中两个点是对边点，另两个点是这条边与通过第三个对边点的一对对边的交点。如图2-1中, (QR, YZ) =-1, (PQ, XE) =-1等。 推论21:在完全四点形的每条边上有一组调和共轭点，其中两个点是顶点,另一对点偶里，一个点是对边点,另一个点是这个边与对边三点形的边的交点。 如图2-1中, (AB, YP) =-1, (AD, ER) =-1等。 对偶地,可以得出完全四线形的调和性质。 定理21:设C、D是完全四线形abcd的一对对顶点,它们的连线是对顶线x,若x与其它二对顶点的交点是A、B,则有(AB, CD) =-1。 推论11:达完全四线形的对顶三线形的每个顶点有一组调和共轭线束，其中两直线是对顶线，另两条直线是此顶点与第三条对顶线上两对顶点的连线。如图2-2中, E (BA, CD) =-1等。 推论21:在完全四线形的每个顶点上，有一组调和线束,其中两条边是过此点的两边，在另一对线偶里，一条是对顶边,另一条是这个顶点与对顶三线形的顶点的连线。如图2-2中, F (BA, CD) =-1等。 上述定理及推论的证明可详见于高等几何(朱德祥编)。利用上述性质我们可以较为简单明了地解决许多初等几何的问题，以使得初几与高几的学习能够融会贯通，并从中体现高几对初几的指导作用。2.4第四调和点的作法我们知道，一条直线上的点偶与成为调和共轭的充要条件是：“和是一个完全四点形的对边点，和是通过第三个对边点的一对对边与的交点”（参见文1）。为此，可通过完全四点形的作图方法来作第四调和点。完全四点形和完全四线形的调和性质在初等几何作图中的一些具体应用如下：例12 已知、三点共线于，在直线上求作点关于、的调和共轭，有以下几种方法。限于篇幅，只给出作法，具体作图过程及证明从略。利用完全四点形和完全四线形的调和性质过点任作一直线，在其上任取异于的两点、，分别连接、；Q、交于点，连接、；、交于点，再连接、；、交于点，则点即为所求。利用“线段的中点与其所在直线上的无穷远点成调和共轭”过点任作一直线，在其上取两点、分别位于点的两侧，并且、到的距离相等。连与、与相交于点，过点作直线的平行线交、所在直线于点，则点即为所求（参见文2）。利用“角的内、外角平分线关于角的两边成调和共轭”过点任作一条不与垂直的直线，作线段的垂直平分线与直线相交于点，过不共线三点、作一圆，交直线于另一点，再作的外角平分线与、所在直线相交于，则点即为所求。利用二次曲线极点、极线的作图法过、两点任作一圆，作出点关于此圆的极线，与、所在直线相交于，则点即为所求。利用调和共轭的初等几何作图（ ）。以为直径作圆，过作的垂线交圆于，过作圆切线交于，则点为所求。 图2-3 第四调和点的作图2.5 初等几何作图利用完全四点(线)形的调和性质可以使我们由纯粹几何方法得到调和共轭点列或调和共轭线束，即仅用直尺可作出已知点列上的三点的第四调和点或已知线束中三直线的第四调和直线的方法，从而实现用高等几何方法方便简洁地解决欧氏平面作图问题，对初等几何作图有重要的指导意义。具体应用如下：例23、(1)已知线段及其中点，是直线外一点，求作：过点且平行于的直线。作法：如图2连结并延长，在其上取一点； 连结交于；连结交于；连结，则直线为所求作直线。(2)已知线段，且平行，求作AB的中点。 作法：如图2在上任取两点；连结交于；连结交于；连结交于，则为所求作的点。(3)已知是的内角平分线，求作其外角平分线。 作法：如图3 用不过的任一直线截分别于； 在上任取一点； 连结交于； 连结交于； 连结交于；连结，它即为所求作的直线。(4)已知是的外角平分线，求作其内角平分线。 作法：如图3 用不过的任一直线截分别于过任作一直线交分别于，；连结交于；连结，它即为所求作的直线。图2-4 图2-53应用完全四点 ( 线 ) 形的调和性解初等几何问题利用上述性质我们可以较为简单明了地解决许多初等几何的问题，以使得初等几何与高等几何的学习能够融会贯通，并从中体现高等几何对初等几何的指导作用。完全四点（线）形是初等几何中四边形的推广，这里图形只考虑点线结合关系，为我们简化计算提供了可能。完全四点(线)形的调和性在初等几何中有着广泛的应用，是应用高等几何知识解决初等几何问题的一条重要通道。在初等几何中有大量的问题涉及到平分线段、平分角度、点线结合关系（线共点、点共线）、直线的平行性、比例线段等概念。对于这类问题，可以运用完全四点(线)形的调和性，由特殊到一般，化繁为简地加以解决，从而达到事半功倍的效果。3.1 证明平分线段问题在初等几何中，证明两条线段相等是一种最常见的题型，证明的方法也有很多：1.利用等腰三角形的判定和三线合一性质；2.利用全等三角形的性质；3.利用线段垂直平分线，角平分线的性质；4.利用平行线等分线段定理；5.利用特殊四边形的性质；6.利用面积；7.利用成比例线段；8.利用圆中关于等线段的定理(垂径定理；切线长定理；在同圆或等圆中，等弧对等弦、弦心距等弦等、弦等弦心距等)；9.利用中间量；10.利用相等线段的和差；11.利用三角函数。以上是在初等几何中解平分线段题常用的方法。有的题简单，方法单一，但有的难题往往要综合利用证明线段相等的多种方法逐步解决，因此采用初等几何方法证明思路较难，而完全四点(线)形的调和性却可以比较简捷地解决这些平分线段问题。例25 如图3-1，已知四边形中，与交于，与交于，与交于，BD平行EF，求证。用初等几何知识，我们只知道BD平行EF这一个条件，其他条件看似无用，但依靠这一个已知条件很难证明到结论，下面考虑用完全四点形的调和性来解决。证明：如图所示，在四边形中，BD平行EF，设与交于，视四边形是一个完全四点形，则为完全四点形的对边三点形的一条边，由完全四点形的调和性质知，所以有，从而是的中点。所以为的中点。即。由以上说明，证明线段中点问题，首先通过构造完全四边形，进而把问题转化为完全四点（线）形的问题，运用线段中点与线段所在直线上的无穷远点的调和关系以及完全四点（线）形的调和来处理。图3-1 平分线段3.2 证明线线平行问题初等几何中证明线线平行问题最常用的方法有：1.利用平行线传递；2.利用角平分线传递；3.利用等积关系（或面积比）传递；4.应用相似形传递5.利用向量。那么怎样用完全四点（线）形的调和性来进行证明呢？例36 在三角形的中线上任取一点，延长交于，延长交于求证：EF平行BC。图3-2 线线平行证明：如图4-2，设与交于点，考察完全四点形，由完全四点形的调和性质，有，即，而已知点为线段中点，有，从而得，故点为直线上的无穷远点，即与交于无穷远点，从而得证EF平行BC。因此得到，证明线线平行问题，也是运用线段中点与线段所在直线上的无穷远点以及其完全四点（线）形的调和性处理。由前面的讨论不难看出，线段相等和线线平行之间的联系：对于同一个问题，它们可以通过添加无穷远点和完全四点（线）形的调和性联系起来。3.3 证明线共点、点共线问题完全四点形中有诸多的调和共轭线束和调和共轭点列，图2-1，完全四点形中，三角形为对角三点形。则调和共轭线束是以、为中心的三组线束。调和共轭点列在完全四点形的六条边及对边三点形的三条边上。正因为完全四点形有着诸多的调和共轭关系和点线结合关系，所以它可以帮助我们解决某些初等几何中的点线结合问题。3.3.1 证明线共点问题在初等几何中证明线共点的方法有：1.利用已知线段中点、内定比分点、外定比分点的唯一性；2.利用已知四边形对角线交点的唯一性；3.利用已知点关于定点的对称点的唯一性；4.利用三角形各心的唯一性。用调和性处理起来更为简便。例47 设、是完全四点形的三个对角点，分别交、于、，证明、共点。 （1） （2）图3-3-(1)(2) 线共点证明： 如3-3-1图（1），在完全四点形中，据推论知，边上的四个点、是一组调和共轭点，即。又在完全四点形中，设与交于，交于，据推论知，边上的四点、是一组调和点，即。由于，故，所以、共点于。例5 求证三角形三中线共点。已知：三角形中，分别为三角形的中线，求证，共点。证明：如3-3-1图（2），设交于，交于，由EF平行BC，设交于无穷远点。在完全四点形中（或完全四线形中），根据调和性质，有，故为的中点，因此和重合。即，共点。3.3.2 证明点共线问题在初等几何中证明点共线的方法有：1.利用四点共圆，在圆内主要由角相等或互补得到共线；2.利用面积法；3.利用同一法，尽管同一法是一种间接证法，但它却是一种很有用的证法；4.利用位似形的性质；5.利用反证法，有的几何题利用直接证法很难，而用反证法却能很快达到预期目的。运用完全四点(线)形的调和性来解决点共线问题，就要先选取共线的四点、共点的四条直线或者一个完全四点（线）形，然后再根据调和性质解决问题。 （1） （2）图3-4-(1)(2) 点共线例68 求证三角形三个顶角的外角平分线交其对应边的三点共线。已知：如4-3-2图（1），在三角形中，外角平分线交于，外角平分线交于，外角平分线交于，求证，三点共线。证明：设为内角平分线，的交点，与，与，与分别交于，根据德沙定理，则，三点共线。又外角平分线交于，外角平分线交于，外角平分线交于，因此有，。在完全四点形中（或完全四线形中），根据调和性质有，因此，故和重合。同理和重合，和重合。所以，三点共线。例7 如4-3-2图（2），已知梯形，对角线、交于，、为、的中点，、的延长线交于。求证、四点共线。证明：若、四点共线，则在梯形中，AD平行BC，两腰延长线及对角线分别交于，且交，分别于点，因此要证、四点共线，只需证，为，的中点。在完全四点形中，设与交与无穷远点，根据调和性质，则有，故，即为中点。同理可证为的中点。初等几何中的许多难于解决的共点线与共线点问题，利用调和性来证明，方法较初等几何方法更简便解决起来要方便得多。由以上例题，说明处理共点、共线的问题，最常用的方法：1.把四边形视为四点形或四线形；2.用重合法进行证明。3.3 证明平分角度问题初等几何中证明角相等的方法有：1.利用全等三角形（或相似三角形）对应角相等；2.在同圆或等圆中，等弧（或等弦）所对的圆心角和圆周角都相等；圆内接四边形的外角与它的内对角相等；弦切角与它所夹弧对的圆周角相等。那么，用完全四点形的调和性是否也能简便地解决此类问题呢？例89 在四边形中，对角线平分，在上取一点，与相交于，延长交于，求证。证明：如4-4图（1），过作的垂线与交于，交于，所以与分别是的内、外角平分线，因此有。连交于，交于。在完全四点形中（或完全四线形中），根据调和性质有，因此，所以和重合。又，且，因此与是的内、外角平分线，所以。（1） （2）图3-5-(1)(2) 平分角度例99 是三角形的高上任意一点，分别交，于，则是的内角平分线。证：如3-3（2），设交于，在完全四点形中（或完全四线形中），有，故，又因为，所以与分别是的内、外角平分线，所以是的内角平分线。由以上两例不难看出，利用完全四点(线)形的调和性解决某些初等几何平分角问题时，主要在于完成两个步骤：一是构造四边形，得到四条直线调和分割；二是设法建立交错二直线相互垂直关系，再用调和性证明，由此即可证明平分角结论。3.4 判断两直线垂直 在初等几何中，判断两直线垂直的方法有：1、等腰三角形的三线合一；2、邻补角的平分线互相垂直；3、一条直线垂直于两平行线中的一条，则它于另外一条也垂直；4、利用勾股定理的逆定理；5、圆中平分弦的直径垂直于弦。其实，我们在一些稍微复杂的初等几何问题中，要证明两直线的垂直关系，也可以运用到完全四点形的调和性质。 例109 任何两直线垂直的充要条件是这两直线与无穷远直线的交点、调和分割虚圆点（1、i、0）、（1、-i、0）。证明：充分性： 设 、是平面内任意两条直线, 它们分别交无穷远直线于、两点, 则有：；设为的夹角，则由拉盖尔2定理得：即与垂直。 必要性：假设这两条直线，交于，则以为圆心的任意圆必通过两虚圆点、, 且， 为此圆的渐近线； 由知是圆的共扼直线。由于二次曲线的两条渐近线调和分割任意一对共轭直线是真, 所以这两直线和无穷远直线的交点调和分割、两点。3.5线段相等问题 在初等几何中，我们常用下列方法来证明两线段相等：1、利用全等三角形法；2、利用等腰三角形；3、利用平行四边形的性质；4、利用中位线的性质；5、利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等等。另外，我们也可以利用完全四点形的调和性质，来证明初等几何中的线段相等问题。例1110 三角形中一个角的平分线过对边的中点，那么这个三角形是等腰三角形。中，平分，且点为线段的中点，求证：为等腰三角形。证明：有一角的两边与这个角的内外角平分线调和共轭，可作出的外角平分线，可知。在完全四点形中有，因为点为线段的中点，可知单比，所以单比，故点为无穷远点，即直线与交于无穷远点，从而，所以，而点为线段的中点，所以为等腰三角形。3.6 证明比例线段问题初等几何中证明线段成比例的方法有：1.三点定形法：利用分析的方法，由欲证的比例式或等积式转化为比例式，寻找相似三角形，这是证明线段成比例问题最基本的方法之一，一般是找到以四条成比例线段为边的两个三角形，再证明这两个三角形相似；2.等量代换法：当需要证明的成比例的四条线段不能构成相似三角形时，往往需要进行等量代换，包括“线段的代换”或利用“中间比”进行代换；3.辅助线法：利用辅助线来转移比例是证明线段成比例的有效方法；4.以上方法都难以解决时，把等比化成等积，更易于求解。用调和性也能证明此类题型。例1210 已知在中，点是的中点， 交于，求证： 图3-6 比例线段证明：如图 3-6连交于，过作交于，连交于，连交于，视为完全四点形。因为中点，且，所以为三角形的中位线，为中点，由初等几何知识易证，所以，在完全四点形中（或完全四线形中），由定理，得。推广：在中，在上，在上，交于，则3.7中学竞赛问题 基于上述平分线、线线平行、线共点、点共线、评分角度、两直线垂直、两线段相等以及比例线段问题的讨论，我们可以在中学竞赛问题中，充分利用完全四点形的调和性质，综合运用，能够给我们工作在普通中学教学一线的教师，提供新的思路与方法，也能够给学生拓展数学学习的视野，培养学生的洞察力，以及提高学生学习数学的兴趣。下面，我们就从几道中学数学竞赛的问题出发，看看完全四点形的调和性质的利用。 例13 （全国高中数学联赛，1999）如图，在四边形ABCD中，对角线AC平分BAD。在CD上取一点E，BE与AC相交于F，延长DF交BC于G。求证：GAC=EAC。 证明 如图3-7， 过A作AC的垂线AH，连BD分别交AC、AH于I、H。 根据角平分线的性质知（BD，IH）=1。 连GE交AH于H，交AC于J。根据完全四点形CEFG的调和性知（BD，IH）= 1，由 （BD，IH）=（BD，IH）知H与H重合。由AC与AH垂直，且（GE，JH）=（BD，IH）= 1 知AC与AH是GAE的内外平分线。所以 GAC=EAC 图3-7 图3-8例14（加拿大奥林匹克数学试题5，1994）ABC为锐角三角形，AD为BC边上的高，H为D内一点。直线BH、CH分别交AC、AB于E、F，证明EDH=FDH。 证明：如图3-8，连EF交BC的延长线于G，由完全四点形AEHF的调性知（BC，DG）= 1，因为 ADBC，所以AD是EDF的平分线，所以EDH=FDH。例15（第36届IMO预选题）EDH=FDH。ABC的内切圆分别切三边BC、 CA、AB于点D、E、F，点X是ABC的一个内点，XBC的内切圆也在D点与BC相切，并与CX、XB分别相切于点Y、Z。证明：EFZY是圆内接四边形。证明: 因为D、Y、Z是切点，所以XD、BY、CZ共点（XBC的葛尔刚点）。设YZ交BC于，则由完全四点形XYJZ的调和性得 。同理由AD、BE、CF共点（ABC的葛尔刚点）和完全四点形的调和性得所以P与重合，即YZ、EF、BC共点。于是由切割线定理知 ，所以E、F、Y、Z共圆。 图3-93.8应用于自极三点形的建立，二次曲线方程的简化 可以由完全四点形推导出自极三点形，而自极三点形在初等几何中的应用比较广泛，利用自极三点形的基本性质去处理初几中圆锥曲线外一点引圆锥曲线切线的作图、圆锥曲线的证明和运算等问题，更为方便和直观。先给出有关定义和定理：定义11： 如果两点、的联线被它和的交点，所调和分割, 则称两点和关于二次曲线成共轭点。如图3-10：若，则称与关于成共轭点。定理11：不在上的两点、关于：成共轭点的充要条件是：。（参见文7）调和分割应用于二次曲线方程的化简, 主要在于建立坐标三点形时, 适当取三点形的三顶点,使它们两两联线交的两交点被它们自已调和分割, 坐标三点形是自极三点形, 然后利用共扼条件, 即可简化方程。 例16：设二阶曲线的方程为：，试化简之。 解：如图3-11，在平面上任取一点 （但不在上），以表示关于的极线，在上但不在上任取一点，以表示关于的极线，则通过，设是、的交点，由于的一个共轭点是，一个共轭点是，所以的极线，是的一个自极三点形。 由和关于成共轭，代入共轭条件定理得：；同理和共轭得，和共轭得。所以这时的方程变化为： 图3-10 图3-11可见：取自极三点形作为坐标三点形, 利用其每两个顶点之间的调和共扼关系, 曲线方程的交差乘积项便可消去, 从而达到简化目的。4 结束语高等几何的主要内容包括仿射几何、射影几何和几何基础,近几年来，关于高等几何对初等几何的指导作用的研究一直是几何学教学研究方面的一个热点，并且已经取得了不少成果。本文从完全四点形的调和性质的一些理论与方法出发，探讨它们在初等几何中的应用。 在解决初等几何的计算、证明和作图方面，完全四点形的调和性质也有着十分重要的作用。它在解决三角形、四边形以及与之相结合的中学阶段的圆锥曲线中有着独到的优点，它也可以为线段、角度、平行、垂直等基础作图提供一些新的思路。我国教育一线工作者也撰写了不少完全四点形调和性质方面的文章。在射影几何中将两条直线平行的情况看作相交于无穷远点，这样的定义赋予了点和线新的关系，关于平面上的元素（点与线）的每个射影命题，都对应着另一个对偶命题，第二个命