三角函数全公式.doc

基本公式特殊角的三角函数 角度弧度制sincostancot00010无意义30 61/23/23/3345 42/22/2116033/21/233/390210无意义0180 0-10无意义27032-10无意义03602010无意义同角三角函数关系式 平方关系sin2()+cos2()=1 cos(2a)=cos2(a)-sin2(a)=1- 2sin2(a)=2cos2(a)-1 sin(2a)=2sin(a)cos(a) tan2()+1=1/cos2() 2sin2(a)=1-cos(2a) cot2()+1=1/sin2(a) 积的关系sin=tancos cos=cotsin tan=sinsec cot=coscsc sec=tancsc csc=seccot倒数关系tan cot1 sin csc1 cos sec1商的关系sin/costansec/csc cos/sincotcsc/sec 三角函数直角三角 三角函数形ABC中, 角A的正弦值就等于角A的对边比斜边, 余弦等于角A的邻边比斜边 正切等于对边比邻边, 对称性 180度-的终边和的终边关于y轴对称。 -的终边和的终边关于x轴对称。 180度+的终边和的终边关于原点对称。 90度-的终边和的终边关于y=x对称。 诱导公式 公式一： 设为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等 k是整数sin（2k）sin cos（2k）cos tan（2k）tan cot（2k）cot 公式二： 设为任意角，+的三角函数值与的三角函数值之间的关系sin（）sin cos（）cos tan（）tan cot（）cot 公式三： 任意角与 -的三角函数值之间的关系sin（）sin cos（）cos tan（）tan cot（）cot 公式四： 利用公式二和公式三可以得到-与的三角函数值之间的关系sin（）sin cos（）cos tan（）tan cot（）cot 公式五： 利用公式一和公式三可以得到2-与的三角函数值之间的关系sin（2）sin cos（2）cos tan（2）tan cot（2）cot公式六： /2及3/2与的三角函数值之间的关系sin（/2）cos cos（/2）sin tan（/2）cot cot（/2）tan sin（/2）cos cos（/2）sin tan（/2）cot cot（/2）tan sin（3/2）cos cos（3/2）sin tan（3/2）cot cot（3/2）tan sin（3/2）cos cos（3/2）sin tan（3/2）cot cot（3/2）tan诱导公式的表格以及推导方法（定名法则和定号法则） sincostancotseccsc2k+sincostancotseccsc(1/2)k-cossincottancscsec(1/2)k+cos-sin-cot-tan-cscseck-sin-cos-tan-cot-seccsck+-sin-costancot-sec-csc(3/2)k-cos-sincottan-csc-sec(3/2)k+-cossin-cot-tancsc-sec2k-sincos-tan-cotsec-csc-sincos-tan-cotsec-csc定名法则 90的奇数倍+的三角函数，其绝对值与三角函数的绝对值互为余函数。90的偶数倍+的三角函数与的三角函数绝对值相同。也就是“奇余偶同，奇变偶不变” 定号法则 将看做锐角（注意是“看做”），按所得的角的象限，取三角函数的符号。也就是“象限定号，符号看象限”.（或为“奇变偶不变，符号看象限” 2在K/中如果K为奇数时函数名不变，若为偶数时函数名变为相反的函数名。正负号看原函数中所在象限的正负号。关于正负号有可口诀；一全二正弦，三切四余弦，即第一象限全部为正，第二象限角正弦为正，第三为正切、余切为正，第四象限余弦为正。） 比如:90+。定名：90是90的奇数倍，所以应取余函数；定号：将看做锐角，那么90+是第二象限角，第二象限角的正弦为正，余弦为负。所以sin(90+)=cos , cos(90+)-sin 这个非常神奇，屡试不爽 还有一个口诀“纵变横不变，符号看象限”，例如：sin(90+)，90的终边在纵轴上，所以函数名变为相反的函数名，即cos，将看做锐角，那么90+是第二象限角，第二象限角的正弦为正，所以sin(90+)=cos 两角和与差的三角函数cos(+)=coscos-sinsin cos(-)=coscos+sinsin sin()=sincoscossin tan(+)=(tan+tan)/(1-tantan) tan(-)=(tan-tan)/(1+tantan) 和差化积公式sin+sin=2sin(+)/2cos(-)/2 sin-sin=2cos(+)/2sin(-)/2 cos+cos=2cos(+)/2cos(-)/2 cos-cos=-2sin(+)/2sin(-)/2 积化和差公式sincos=(1/2)sin(+)+sin(-) cossin=(1/2)sin(+)-sin(-) coscos=(1/2)cos(+)+cos(-) sinsin=-(1/2)cos(+)-cos(-) 倍角公式sin(2)=2sincos=2/(tan+cot) cos(2)=(cos)2-(sin)2=2(cos)2-1=1-2(sin)2 tan(2)=2tan/(1-tan2) cot(2)=(cot2-1)/(2cot) sec(2)=sec2/(1-tan2) csc(2)=1/2*seccsc 三倍角公式sin(3) = 3sin-4sin3 = 4sinsin(60+)sin(60-) cos(3) = 4cos3-3cos = 4coscos(60+)cos(60-) tan(3) = (3tan-tan3)/(1-3tan2) = tantan(/3+)tan(/3-) cot(3)=(cot3-3cot)/(3cot2-1) n倍角公式sin(n)=ncos(n-1)sin-C(n,3)cos(n-3)sin3+C(n,5)cos(n-5)sin5- cos(n)=cosn-C(n,2)cos(n-2)sin2+C(n,4)cos(n-4)sin4- 半角公式sin(/2)=(1-cos)/2) cos(/2)=(1+cos)/2) tan(/2)=(1-cos)/(1+cos)=sin/(1+cos)=(1-cos)/sin cot(/2)=(1+cos)/(1-cos)=(1+cos)/sin=sin/(1-cos) sec(/2)=(2sec/(sec+1) csc(/2)=(2sec/(sec-1) 辅助角公式Asin+Bcos=(A2+B2)sin(+arctan(B/A) Asin+Bcos=(A2+B2)cos(-arctan(A/B) 万能公式sin(a)= (2tan(a/2)/(1+tan2(a/2) cos(a)= (1-tan2(a/2)/(1+tan2(a/2) tan(a)= (2tan(a/2)/(1-tan2(a/2) 降幂公式sin2=(1-cos(2)/2=versin(2)/2 cos2=(1+cos(2)/2=covers(2)/2 tan2=(1-cos(2)/(1+cos(2) 三角和的三角函数sin(+)=sincoscos+cossincos+coscossin-sinsinsin cos(+)=coscoscos-cossinsin-sincossin-sinsincos tan(+)=(tan+tan+tan-tantantan)/(1-tantan-tantan-tantan) 其它公式1+sin(a)=(sin(a/2)+cos(a/2)2 1-sin(a)=(sin(a/2)-cos(a/2)2 csc(a)=1/sin(a) sec(a)=1/cos(a) cos30=sin60 sin30=cos60 推导公式tan+cot=2/sin2 tan-cot=-2cot2 1+cos2=2cos2 1-cos2=2sin2 1+sin=sin(/2)+cos(/2)2 其他及证明sin+sin(+2/n)+sin(+2*2/n)+sin(+2*3/n)+sin+2*(n-1)/n=0 cos+cos(+2/n)+cos(+2*2/n)+cos(+2*3/n)+cos+2*(n-1)/n=0 以及 sin2()+sin2(-2/3)+sin2(+2/3)=3/2 tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0 cosx+cos2x+.+cosnx= sin(n+1)x+sinnx-sinx/2sinx 证明： 左边=2sinx(cosx+cos2x+.+cosnx)/2sinx =sin2x-0+sin3x-sinx+sin4x-sin2x+.+ sinnx-sin(n-2)x+sin(n+1)x-sin(n-1)x/2sinx （积化和差） =sin(n+1)x+sinnx-sinx/2sinx=右边 等式得证 sinx+sin2x+.+sinnx= - cos(n+1)x+cosnx-cosx-1/2sinx 证明: 左边=-2sinxsinx+sin2x+.+sinnx/(-2sinx) =cos2x-cos0+cos3x-cosx+.+cosnx-cos(n-2)x+cos(n+1)x-cos(n-1)x/(-2sinx) =- cos(n+1)x+cosnx-cosx-1/2sinx=右边 等式得证 三倍角公式推导 sin3a =sin(2a+a) =sin2acosa+cos2asina =2sina(1-sin2a)+(1-2sin2a)sina =3sina-4sin3a cos3a =cos(2a+a) =cos2acosa-sin2asina =(2cos2a-1)cosa-2(1-cos2a)cosa =4cos3a-3cosa sin3a=3sina-4sin3a =4sina(3/4-sin2a) =4sina(3/2)2-sin2a =4sina(sin260-sin2a) =4sina(sin60+sina)(sin60-sina) =4sina*2sin(60+a)/2cos(60-a)/2*2sin(60-a)/2cos(60+a)/2 =4sinasin(60+a)sin(60-a) cos3a=4cos3a-3cosa =4cosa(cos2a-3/4) =4cosacos2a-(3/2)2 =4cosa(cos2a-cos230)