波浪理论及其计算原理.doc

第七章 波浪理论及其计算原理在自然界中，常可以观察到水面上各式各样的波动，这就是常讲的波浪运动。波浪是海洋中最常见的现象之一，是岸滩演变、海港和海岸工程最重要的动力因素和作用力。引起海洋波动的原因很多，诸如风、大气压力变化、天体的引力、海洋中不同水层的密度差和海底的地震等。大多数波浪是海面受风吹动引起的，习惯上把这种波浪称为“风浪”或“海浪”。风浪的大小取决于风速、风时和风区的太小。迄今海面上观测到的最大风浪高达34m。海浪造成海洋结构的疲劳破坏，也影响船舶的航行和停泊的安全。波浪的动力作用也常引起近岸浅水地带的水底泥沙运动，致使岸滩崩塌，建筑物前水底发生淘刷，港口和航道发生淤积，水深减小，影响船舶的通航和停泊。为了海洋结构物、驾驶船舶和船舶停靠码头的安全，必须对波浪理论有所了解。当风平息后或风浪移动到风区以外时，受惯性力和重力的作用，水面继续保持波动，这时的波动属于自由波，这种波浪称为“涌浪”或“余波”。涌浪在深水传播过程中，由于水体内部的摩擦作用和波面与空气的摩擦等会损失掉一部分能量，主要能量则是在进人浅水区后受底部摩阻作用以及破碎时紊动作用所消耗掉。为了研究波浪的特性，对所生成的波浪或传播中的波浪加以分类是十分必要的。 一般讲，平衡水面因受外力干扰而变成不平衡状态，但表面张力、重力等作用力则使不平衡状态又趋于平衡，但由于惯性的作用，这种平衡始终难以达到，于是，水体的自由表面出现周期性的有规律的起伏波动，而波动部位的水质点则作周期性的往复振荡运动，这就是波浪的特性。 波浪可按所受外界的干扰不同进行分类。 由风力引起的波浪叫风成波。 由太阳、月亮以及其它天体引力引起的波浪叫潮汐波。 由水底地震引起的波浪叫地震水波 由船舶航行引起的波浪叫船行波。 其中对海洋结构安全影响最大的是风成波。 风成波是在水表面上的波动，也称表面波。风是产生波动的外界因素，而波动的内在因素是重力。因此，从受力来看，风成波称为重力波。视波浪的形式及运动的情况，波浪有各种类型。它们可高可低，可长可短。波可以是静止的一一驻波（即两个同样波的相向运动所产生的波），也可以是移动的推进波（以一定的速度将波形不变地向一个方向传播的波），可以是单独的波，也可以是一个接一个的一系列波所组成的波群。7-1 流体运动的基本方程流体运动时，必须遵循一定的法则，这些法则就是流体运动的基本方程。为了便于研究海水的波动现象，假设海水是理想流体。所谓理想流体就是把流体看成为绝对不可压缩、不能膨胀、没有粘滞性、没有表面张力和汽化压力（后两者对液体而言）的连续介质。一、运动方程对于理想流体，其运动方程可表示为： （7-1）式中：、为水质点速度在、三个坐标轴方向上的分量；为海水的密度；为流体所受的表面力；为重力加速度。用欧拉法描述流场时，可得到运动方程为： （7-2）二、连续方程流体在运动时，必须遵循质量守恒定律，也就是必须满足连续方程。今在流体内取一由闭曲面所围成的固定几何空间，其体积为。则在单位时间内所取空间内流体质量的增加量为：而同一时间内通过边界净流入到此空间内的流体质量为：式是：表示沿边界外法线方向上的流体质点的速度分量。根据质量守恒定律，得： + = 0 （7-3）对于理想流体，有：由于体积的任意性，得到普遍形式的理想流体的连续方程： （7-4）三、边界条件1、海底的运动学边界条件在海底上的流体质点不能穿过海底边界，只能沿着边界的切线方向运动，即： （7-5）式中：为沿法线方向的水质点速度；海水运动的速度势；为水面离海底的距离。流体作无旋运动时，其速度势与速度的关系为：2、自由表面（海面）的运动学边界条件 （7-6）式中：为自由表面的波面函数。3、自由表面（海面）的动力学边界条件 （7-7） （7-8）式中：为海面的压力。7-2 微幅波理论一、速度势和波面方程为便于分析，只考虑二维的波动，则连续方程式变为： （7-9）由于在式（7-2）中含有一般非线性项等，令小量=振幅/波长，用摄动法进行求解。设可以作如下的展开： （7-10） （7-11）则： （7-12）在上式中就出现了项。在开始时是可以考虑省略的。对于二维波动，式（7-1）为： （7-13） （7-14）不过，运动是无旋还是有旋的还不清楚，一般当作是有旋的，并引进流函数，则，将这些代入式（7-13）和（7-14），消去后，得： （7-15）令： （7-16）将式（7-16）代入式（7-15），得： （7-17）因为，所以。相反，如把代入这个关系式，得： （7-18）上式所表示的运动是无旋的。因此，开始时可以将速度势引入，即，得： （7-19）如将上式作为依据是合适的话，那么可设上式的解与时同样形式的，可写为： （7-20）设：因为在海底处，。因此：或者是设：得：因而可推导得：取上式的实部，则： （7-21）由自由表面动力学边界条件，可得： （7-22）对于微幅波动，可设： （7-23）对比式（7-22）和（7-23），可得： （7-24）将式（7-24）代入式（7-21），得： （7-25）二、波浪特性参数下面求一个重要的波浪参数公式。在自由表面，令： （7-25）由上式得： （7-26）或： （7-27）还是用摄动法求解，令：上式只确定了的阶次，代入式（7-27），去掉含有二阶及以上小量的项，可得： ， （7-28）不失一般性，省略下标1，可得： ， （7-29）由式（7-25）和式（7-29），可得： （7-30）上式称为分散方程式，因为位相速度（或称波速）=，所以可得： （7-31）上式中：假如，为波长，而=0.314，两者的误差在3%左右以下时，可以设：从而象上式那样的波浪称为浅水波，与无关，不会引起分散现象。其次，时， ，因而可得：上式表明：如果水深为表面波波长的一半以上时，波浪以与波长平方根成正比的速度向前传播，故在风吹海面产生各种波长的波浪时，长波先传播，短波迟到达。在此引入波陡的概念，波陡等于波高和波长之比，即：，方向水质点速度分量、为： （7-32） （7-33）流场内的压力分布为： （7-34）7-3 司托克斯波浪（Stokes）理论上一节给出的微幅波理论是在假设波幅很小的情况下得出的，即：1，所以其高阶小量可以忽略不计。如果研究的波浪波幅较大，即上面的条件不能满足时，理论波形和实际波形相差很大，它无法解释实际波动中的某些现象。为此，需要一种取消前述假定的波浪理论。这样的波浪理论一般有下面几种：1、斯托克斯（Stokes）一阶、三阶、五阶波浪理论。这些理论适合于深水。2、孤立波理论：液体波动只有一个波峰或波谷，波长无限长。适合于水深极浅的海域3、椭圆余弦波理论：兼顾深水和浅水。司托克斯于1847年提出了斯托克斯（Stokes）波浪理论。后来瑞利等人对其进行了深入研究，使其在海洋工程中得到了广泛应用。下面看司托克斯波浪理论的推导过程。流场的速度势和流函数可分别表示为： （7-35） （7-36）式中：为波高H的特定常数。由此看出，因为考虑有限的振幅，即使是有势，表面波动也不是简谐波了。为了便于说明，还是考虑二维波的情形。显然，流体运动满足连续方程式：及底部边界条件：当时，。无旋条件为：也同样得到满足。所需要检查的是自由表面的两个边界条件。第一个条件就是式（7-36）所表示的，自由表面的质点不离开表面。取自由表面的值为零，则得流动必须满足的一个条件为： （7-37）第二个条件为自由表面上的压强等于大气压强（为某一常数）。通过坐标变换，得到： （7-38）这就是必须满足的第二个条件。式（7-37）两边都有，为了消去右边的，考虑到的条件，则的级数展开式就单调收敛，可表示为：= （7-39）式（7-36）两边分别对和求导，得出：代入式（7-38），得：式中：，同时把常数合在等式右边的常数项内，上式变为：将上式中的按级数展开，得： （7-40）接着可以在式（7-39）和（7-40）中，根据不同量阶的项，得出不同量阶的近似结果。一阶近似。取展开式中的第一项即为一阶近似。式（7-39）的一阶近似为：若令，则成为微幅波。如对式（7-40）也取一项，便得：上式右边第二式为常数，因此可得：或上式与微幅波情形的波速方程是一样的，由此可知，一阶近似与微幅波的情形完全一致。二阶近似。式（7-39）中取至展开式的第二项，即：该式两边都有，用摄动法法求解。设：代入上式，全式除以后得：因上式左边只有的一次方项，右边毋需保留的一次方以上的各项，即：两个多项式相等，除非同方次项的系数相等。于是有：应用的三角关系，得：代入，得：上式右边第一项是常数项，对波形不起作用，可以忽略掉。若令，则二阶近似的波形为：同样，对式（7-40）也取展开式的前二项，有：由上式，经整理后得：求解上式，再令，有：由于，代入上式，可得：此二阶近似的Stokes波，与微振幅波相比较，其波峰略尖，随着波谷变平，波的位相速度也略有增快。三阶近似。取式（7-39）的前三项，得：设：代入上式，并除以之后，得：忽略方次在以上的各项，并按的方次排列，有：由此可得：代入，得到的波形表达式：为了简化上式，设：用摄动法求解，令：代入前式，得：将上式展开，保留的三次方以下各项，有：于是得：，代回到的表达式，得（到三次方）再代回到上面的表达式，有忽略常数项后，得三次近似的波面表达式为： （7-41）若取式（7-40）的前三项时，得：上式要成立的条件是和的系数都等于零。然而的系数是，不能等于零。这表明原来的方程式（7-36）已不行，不能使自由表面的动力学条件得到满足。为了解决这个问题，就得考虑补充一Fourier级数项，即用下式代替式（7-36）： （7-42）所补充的项在无旋条件及底部条件：当时，都是可以满足的。对式（7-42）微商，带入式（7-38），整理后得： （7-43）根据式（7-42），当时，有：将其代入上式（7-43）左边第五和第六两项，得： （7-44）由式（7-42），得：而：所以：代入式（7-44），得出：只取到，按计，因而有：把按指数展开：，取三项，可得：为使上式成立，必有： （7-45）及： （7-46）由式（7-46）得：这与前面假定为的四次方是一致的。因为值为的四次方，所以可以认为，在计算到二次方的波面公式时，即使加入补充项，波型不会改变，因而波形仍可用式（7-41）表述。由式（7-45）可得出波速公式：四阶近似。当近似进一步取到展开式（7-39）的第四项时，流函数表示式（7-42）需再增加一项，应改为：推导步骤和以前一样，可得波形方程为：设：忽略常数项，得四阶近似的波面方程为：五阶近似。Skjelbreia和Hendrickson（1960）提出了Stokes波的五阶近似。为了便于工程上的计算应用，采用列表方式给出各系数。计算时只要查表，把系数代入简单的代数式即可获得波浪的各项特性参数。各计算公式如下：速度势：波速：波面方程：水质点的水平速度：水质点垂直速度：水质点的水平加速度：水质点垂直加速度：对时间的导数：压强：以上各式中的系数为：式中：系数A、B、C是的函数，由Skjelbreia和Hendrickson（1960）给出了。计算时，和k需先按下式算出：和k的数值由上两式和根据及值用逐步逼近法算出。比较各级近似的波形后不难看出，每增加一个Fourier级数项，波峰就会变得愈加尖瘦，波谷会变得更加平坦。7-4 椭圆余弦波理论椭圆余弦波最早由Korteweg和De Vries于1895年提出，库莱根和帕特森（1940），莱顿（1960）等曾给出了椭圆余弦波的一阶群，莱顿和查普利尔1962年分别得到了二阶和三阶解，芬顿（Fenton）1979年给出了五阶解。椭圆余弦波的特点之一是它的波剖面是用椭圆余弦函数cn来描述的，其名称也由此而得。它属于浅水波。这里介绍库莱根和帕特森得出的椭圆余弦函数的解。库莱根和帕特森在研究椭圆余弦波时，仍采用斯托克斯波的方程和边界条件。假设速度势函数的解为如下幂级数形式： 式中：为波面的纵坐标。库莱根和帕特森得到的椭圆余弦波一阶近似解的波面方程为： （7-47）式中：为水底至波面的距离。 （7-48）式中：为水底至波谷底的距离。式中：为雅可比椭圆余弦函数，和分别为第1类和第2类完全椭圆积分。式中：为椭圆积分的模，其值为01。根据椭圆余弦函数的性质：是以为周期的，因而式（7-48）描述的也是周期波。从上面的几个表达式可以看出，不同模数决定着不同的波面曲线形状，而与波要素之间有如下关系（即椭圆余弦波的弥散关系）： （7-49）式中：厄塞尔数椭圆余弦波的波速由下式计算 （7-50）由式（7-49）和式（7-50）可以得到波周期的表达式：只要、和或相对波长与相对波高给定以后，由式（7-49）用迭代法可以求得和，椭圆余弦波的波面形状也就完全确定了。当模数时这时，椭圆余弦波的波面方程变为：这和微幅波理论的结果完全相同，所以当时，椭圆余弦波即转化为类似微幅波的浅水余弦波，因此可以认为浅水余弦波是非线性椭圆余弦波的一种极限情况。当模数时，将它们代入式（7-47）和式（7-48）得：此即为孤立波。所以当时，椭圆余弦波即转化为孤立波，因此可以认为孤立波是椭圆余弦波的另一种极限情况，这时波长和波周期都趋近于无穷大。由于椭圆余弦波个运动特性表达式很复杂，应用上很不方便，为简化计算，威格尔（Wiegel）1964年提供了一系列计算曲线和图表，有关该曲线和图表读者可参阅有关手册（如美国海岸防护手册等）。随着计算机应用的发展，不少学者编制了专门的计算程序。7-5 孤立波理论只有一个波峰或波谷的的波浪称为孤立波，它是一种非周期性的波动。用孤立波理论来描述海洋中的周期振荡波似乎没有什么用处，然而当海浪进入浅水区后，波峰变得越来越尖陡，波谷越来越平坦，最后，波长逐渐接近于无穷大，于是可以把这种波浪当作一系列的单个孤立波。实际上，由于孤立波的波形与近岸浅水区的波浪很相似，又由于它比较简单，所以在近岸的研究工作中，特别是在近岸区波浪破碎前后范围内，为研究波浪破碎水深、近岸泥沙运动等，孤立波得到了广泛的应用。拉塞尔（Rusell）1834年首先在试验中观察到孤立波的存在，并进行了研究，其后经布辛涅1872年、瑞利（Rayleigh）1876年及麦克考文（Mo Cowen）1981年等人研究，获得了有关孤立波理论的一些重要成果。蒙克（Munk）1949年对前人的研究成果进行了系统的总结，库菜根和帕特森1940年、凯勒1948年及莱顿1961年等人对孤立波的数学处理作了详细论述并提出了不同阶次的高阶近似解。由前面的分析可知，它是椭圆余弦波的一个特例。因此可根据前面的分析进行推导。当模数时，得：又因时，此时，函数的周期，由此可知孤立波的波长为无限长。孤立波的波速为：波压强为：水质点的速度为：以上是库菜根和帕特森给出的结果。实验数据表明，麦克考文提出的孤立波理论所给出的水质点速度表达式比较符合实测值，下面为蒙克根据麦克考文的孤立波理论得到的水质点运动速度表达式：其中：系数、可根据已知的值由下式联立求解得到：孤立波是一种推移波，水质点只朝波浪传播方向运动而不向后运动。在波峰到来之前，离波峰处的水质点实际上尚未开始运动，几乎处于静止状态（例如：当，时，）。随着波峰的到来，水质点作向上和向前运动（，均为正值），在波峰通过时刻（），水平质点速度达到最大值，垂直速度为0，质点向上位移达到最大。在波峰通过以后，水质点开始下降，水平质点速度逐渐缓慢下来，最后回复到原水质点深度位置上，但在水平方向水质点却有一个净向前位移。7-6 各种波浪理论的适用范围前面讨论了各种波浪理论，由于所作的假设和简化不同，它们得到的结果也有差异，因而它们都有各自的适用范围。到目前为止，还没有一种通用的波浪理论。国内外许多学者对不同波浪理论的限制条件和它们的适用范围进行过大量研究，Dean R.G. 于1970年给出了其研究结果，如图7-1所示。图7-1 Dean给出的各种波的适用范围勒梅沃特也于1976年提出其研究结果，如图7-2所示。虽然该图并不是按严格的定量研究成果绘制，但有一定的工程实用意义。图7-2 勒梅沃特给出的各种波的适用范围7-7 破碎波浪理论由于破碎波浪的复杂性，到目前为此，还没有完善的破碎波浪理论。波浪自深海向近海和浅海传播时，由于水深不断减小、波能不断集中，加上与海底的摩擦，波形不断发生变化，最后达到一定条件后在极浅海发生破碎，有时甚至在深海也发生破碎。极浅海波浪破碎是一种很普遍的现象。波浪破碎导致了波浪性能的一系列变化，如海水质点速度、加速度的变化、波面高度的变化等等。要了解这些变化，必须首先知道波浪是否破碎及何时破碎的问题。为此，必须解决波浪破碎的判据问题，即如何判断波浪是否破碎了。从理论上来说，波浪破碎的判据有三类：运动学判据、动力学判据和几何学判据。但在判据的运用方面又有不同。一、 运动学判据当水体运动的水平速度等于或大于波的相速度时，波浪就发生破碎。设波浪水质点的水平速度为，由速度势理论可知： 设波峰的传播速度（相速度）为，且设波峰于时间出现于水平坐标的位置，在内移到位置处，于是波峰的传播速度为： ，（， ） 因此，波浪破碎的运动学判据为： 二、 动力学判据当水体运动的加速度等于或大于一定比例的重力加速度时，波浪就发生破碎。在这个问题上，不同的学者研究得出了不同的波浪破碎指标。按照Stokes波浪理论，此比例系数为0.5；而longuet-Higgins等人经过数值计算，认为波峰附近的水体，此比例系数为0.388；李玉成等人认为动力学判据可能与其它判据不一致，故不能应用。总之，不同的学者得出了差别较大的比例系数和结论。本文的观点是此比例系数是0.5，即：当波浪水质点的垂直方向的加速度大于或等于1/2重力加速度时，波浪就发生破碎。这与理论是相符的。按指数规律变化的话，波峰处的加速度只有达到重力加速度时，它才能自由下落，因而波浪才发生破碎。根据前述的速度势理论，水质点垂直方向的速度表达式为： 因而，水质点垂直方向加速度的表达式为： 由此可得波浪破碎的动力学判据为： 三、 几何学判据几何学判据的依据是：波浪自由表面的斜率等于或大于一定的值时，波浪就发生破碎。根据不同的几何参数可以得出不同的波浪破碎指标，因而几何学判据也有各种表达方式。1、极限波顶角McCowan分析了以垂直轴对称的极限波形，提出了波顶角极限值得出了波顶角为120时，波浪发生破碎的结论。2、极限波陡值Michell提出了极限波陡值即波高与波长之比有一极限值，超过该值波浪就破碎。深水波陡值的表达式为： Michell得出深水时的极限值为0.142，超过此值波浪就破碎。浅水波陡值的表达式为： Miche得出浅水时的极限值仍为0.142。Michell和Miche认为不管是深水和浅水，当波高和波长之比等于0.142时，波浪就破碎。但许多学者认为他们的结论只是理论值，与实际不相符，认为通过实验得到的的极限值0.12比较符合实际。3、极限相对波高合田等提出了相对波高极值的概念给出了波高与水深比的极限值，达到或超过该极限值，波浪就破碎。合田给出的经验公式为： 式中：为破碎波波高,为深水波波长,为波浪破碎时的水深,为海底坡度角,为系数，A=0.17。从上式可以看出：极限相对波高随坡度角而变。但不同的学者得出了不同的结果，部分经典结果是：0.73、0.78、0.83和1.03，这些结果都是在均匀水深情况下依据运动学判据得出的。4、极限波面斜率值Longuet-Higgins通过分析深水波浪发生破碎时的特征，提出了极限波面斜率值。根据Longuet-Higgins的数值计算结果，波浪发生破碎的斜率为tg30.37，也就是说，波浪破碎的几何学判据为： 由于在实际中使用的都是在固定点测得的波面的时间序列，无法直接使用实测结果。为此，要进行转换。由于： 所以前式可以改写为： 若令：，则，波浪破碎的几何学判据为： 7-8 随机海浪理论将海浪视为随机过程、引入谱的概念并在此基础上研究海浪，已经构成目前海浪研究的中心问题。在随机波浪的作用下，应用谱分析法对平台结构进行动力分析时，需要根据海洋工程的要求和所在海域情况，选用或者制作相应的海浪谱。一、基本概念1、随机海浪由于产生风浪的风的速度和压力相对于位置和时间的变化是随机的，因而海浪也是随机的。海浪是由诸多振幅不同、频率、相位不同，且具有随机性质的波浪叠加而成。尽管海浪是千变万化的，但任何一个海浪都可以用下式表示：123 写成复数形式为： 式中： 将式（3）代入式（2），得： 经变换整理后得： 式中：和互为付氏变换。2、随机海浪的能量谱随机海浪单位水质点的平均总能量为：经推导后得：令： 称为随机海浪的能量谱，由于它在整个频率域上的积分等于海浪的平均总能量，所以又称为谱密度或功率谱密度。 式中：为海浪波面的功率谱密度；为波面的自相关函数。二、海浪谱的制作1、直接法由实测得到波高时间历程，由此求得自相关函数。根据自相关函数的定义：再由，求得。2、间接法根据已有的海浪谱的函数形式，通过实测的数据，求得函数中的系数，得到海浪谱。三、几种公认的海浪谱迄今为止，已经提出许多海浪频谱，其中相当大的一部分具备纽曼最先于1952年得到的形式： 式中，指数p常取5-6，q常取2-4，参数A和B中包含波浪要素（如波高和周期）等参量。这种形式的谱主要优点在于结构简单，使用方便。上式右侧的部分随频率减小，对谱的高频部分影响较大；指数函数部分由0迅速增至1，使得谱值在处为0，这样两部分相乘就得到如图7-3所示的开始急剧增大，然后急剧减小并渐渐趋于零的谱。上式中的谱包括p、q、A、B四个量可供调整，这样就具有了较大空间来反映外部因素对谱的影响。这种谱的主要缺点就是：理论根据不充分，在很大程度上，它是一个经验公式，其次，它的高阶矩不存在，对深入研究构成障碍。图7-3 海浪谱到目前为止，在世界上得到公认的影响较大的波浪谱有：1964年作的Pierson-Moskowitz谱、1967年作的ISSC谱、19681969年作的JONSWAP谱、1970年作的Bretschneider-Mitsuyasu谱、1987年改进的Wallops谱、1990年作的文圣常谱等等，它们都是