数学教学中的形象刺激与抽象思维.doc

数学教学中的形象刺激与抽象思维深圳市梅林中学 徐明凯数学是以现实世界的数量关系、空间形式作为研究对象的。数学研究的对象本来是十分具体的。为了比较纯粹状态下的数量关系、空间形式，才把客观对象的具体形式抛开，抽象概括出“结论条文或符号表达式”。数学概念或结论具有高度的抽象性，这种抽象性往往掩盖着它与具体事物的联系。教师的“示范”作用会潜移默化地影响着学生的数学思维方法的形成和发展。教师如果把数学教学理解为数学理论的教学，照本宣科，注重概念和结论的结果，轻视概念和结论的发生过程，淡化或抛开概念或结论与具体事物的联系。为了运用，在概念或结论的外部特征上做繁琐的描述，导致学生对有关的定义、定理和法则的来龙去脉不清楚，没有形成正确的概念，没有领会结论。表现为死记硬背、生搬硬套。不能从本质上认识各种各样的数学现象，对数学知识的理解水平得不到提高。学生学习数学知识的过程，是一个认识的过程。唯物主义认为：“认识来源于实践”，“认识是物到感觉和思想”，人类的认识规律是：“从个别到一般，从具体到抽象，从感性到理性，从低级到高级。”这个规律也支配着学生的认识活动。因此，教学活动必须遵循认识规律。一、从形象刺激到抽象思维，是适合学生的认识规律的需要考察数学发展史可以知道，人类认识一个新概念或新结论，总是在实践中感到原有的概念或结论的不足，在具体个别的实践中，对某种数量关系、空间形式产生了本质的、一般性的认识。并能用来解决新问题，便提出新概念或新结论。课堂教学活动，显然不能一成不变地重复那漫长而又波折的历史过程。受人类获取知识的基本规律的启发，在数学课堂教学活动中，把人类发现这个概念和结论的生动过程，浓缩加工后“再现”出来。或者把现实生活中的一些数量关系和空间形式，以具体事物、实物、教具或几何图形等形式，设计成一定程序，给学生创设出鲜明生动的探索情境，让学生通过实验、观察，获得形象刺激，使学生在眼、口、手和脑各种器官并用中，体验到数学概念或结论的客观存在性。面对新奇生动的情境，具有时代特色的青年学生，决不会无动于衷的。教师要把握时机，因势利导，帮助学生合理地抽象出数学概念或发现数学结论。例如：在三垂线定理一课的教学时，要求学生拿出一 块三角板和一支笔。按要求实验： 将三角板的一直角边（AB）垂直放在桌平面上，斜边 （AC）在 桌平面内的射影是直角边（BC），把笔L放在桌平面上（如图1），引导学生观察： 1、当L 射影（BC）时，那么L与斜线（AC）的位置关系如何？2、当L斜线（AC）时，那么L与射影（BC）的位置关系如何？通过形象刺激，激发了学生的积极性，学生实验、观察、议论和磋商，一些学生很快地提出了猜想：（1）L斜线（AC）；（2） L射影（BC）。一场议论结束了，但学生的余兴未消，开始对猜想进行证明 实践证明，用形象事物刺激学生，可以激发学生的求知欲望，使学生主动地探求知识，是可以促进他们的抽象思维的。这样的课堂教学活动能够充分保证学生的主体地位，恰当地体现了教师的主导作用。二、形象刺激不是终点，通过抽象思维揭示数学概念或结论的本质从一些十分具体的素材中抽象概括出的数学概念或结论，有时只看到概念或结论的一些方面，不易一次性就抽象揭示到本质。这种毛病也不易暴露出来，给运用造成很大障碍。例如：在等比数列教学中，学生容易从教师设计的数列例子中，概括出等比数列的定义。学生觉得等比数列概念好理解。但在巩固练习中，有三分之一的学生把数列a，aq， aq2，aq3判断为等比数列。学生通过争论才知道，若a或q为零时，这个数列不能用从第二项起，每一项与它前一项的比来描述。这个事例说明了这些学生对等比数列的概念并不是一次就彻底认识了，而是在运用过程中通过碰钉子和拔钉子才提高了对等比数列的理解层次。 马克思指出：“如果事物的表现形式和事物的本质会直接合而为一，一切科学都成为多余的了。”数学科学是通过数学现象揭示数学规律的。它的本质规律，不是我们凭感官所能直接把握的。如果认为数学本质和数学现象一样赤裸裸地暴露在人们面前，那么学习数学也就没有必要进行了。我们可以用三角板、笔和桌面所构成的直观形象去发现三垂线定理及其逆定理，也可以用(图2)所示的教具去发现三垂线定理及其逆定理。但是，我们必须从有限的个别的现象中抽象揭示出它的本质规律，即平面内的一条直线与这个平面的斜线及斜线在这个平面内的射影同时垂直的关系。 通过形象刺激可以促进抽象思维，但是若干个个别现象代替不了本质规律，形象刺激并不是终点，我们必须引导学生从被抽象的具体的有限的对象的圈子中走出来。把感知深化，把个别拓广到一般，把感性认识上升到理性认识。通过抽象思维来提示数学概念或结论的本质规律。这就要求教师要认真挖掘教材，研究例题、练习题，编好程序，给学生创造出鲜明的情境和各种各样的机会，让学生在克服各种困难中，去反复认识数学概念或结论，从而进一步揭示数学概念或结论的本质规律，提高对数学概念或结论的理解层次，并获得直接解题经验，形成方法和能力。三、抽象的数学概念或结论要结合具体的直观形象来理解数学概念或结论一般具有高度的抽象性。这种抽象性往往掩盖着它与具体事物的联系。一旦沟通了它与具体事物、直观形象或空间形式之间的联系，就会烟消云散，也就找到了理解它的钥匙。例如：两点的球面距离是一个抽象的数学概念，两点的球面距离，就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度，这也是一个抽象的数学结论。这个抽象的概念和抽象的结论，很难用语言表达清楚，教学时，在一个透明的大塑料玩具球上，任意按两枚图钉（不在球的一条直径的端点上），把拉紧一段松紧带的两端分别固定在两枚图钉上。这个途径就体现出最短性，所以它应该是两点的球面距离。接下来，把一根绳的一端系在一枚图钉上，沿着松紧带所指的方向在球面上延长，最后到达另一枚图钉，学生经过观察发现松紧带和绳子组成了一个大圆，这条松紧带就是大圆的一段劣弧。通过演示实验，两点的球面距离这个很抽象的数学概念和结论，被学生轻松地理解和接受了。 实践证明，对于抽象的数学问题，当学生找到了它的背景或一些被抽象的客观对象时，也就找到了理解它的大门。四、抽象的数学概念或结论要形象化记忆记忆原理是：用形象记住事物。学生对于学过的数学概论或结论，会有遗忘的情况，如果是死记硬背的，就很难想起来。如果是在理解的基础上结合形象进行记忆的，通过形象进行联想，知识就容易“再现”出来。死记硬背是靠不住的，为死记硬背而浪费精力是不值得的。 例如：用三角板、笔和桌面去形象描述三垂线定理及其逆定理，并且把平面内的一条直线与射影的垂直关系，形象地比喻为地对地垂直，而把平面内的一条直线与斜线的垂直关系，形象地比喻为地对空垂直。定 理地对地垂直 地对空垂直 逆 定 理象这样形象地描绘三垂线定理及其逆定理，学生就容易分清这个空间形式中各条直线之间的位置关系。也容易区别定理和逆定理。这样可以强化学生的记忆。有一些数学概念或结论不具有直观形象性，教师要善于把它们转化为表格、口诀或比较直观的形式。例如：同角三角函数基本关系式可转化到一个直角三角形中去记忆。（如图3）sincsc = 1 cossec = 1 tgctg = 1 tg = sin/cos ctg = cos/sin sin2 + cos2 = 11 + tg2 = sec2 1 + ctg2 = csc2再例如：半角的正弦、余弦和正切公式的无理式的表达式是：；根据这三个无理表达式的结构和形式特点可以编成口诀，以强化记忆：半角公式不复杂， 都用cos来表达。根式前边正负号， 半角象限确定它。1与cos连接处，正弦减、余弦加、正切上减下加。实践证明：记忆数学知识时，只要结合形象“千尺”，记忆思维可达“万丈”，在遗忘的情况下，通过结合形象进行联想，被遗忘的数学概念或结论就容易“再现”出来。结合形象进行记忆，可以事半功倍。五、在抽象问题具体化中探索思路在学习数学知识或处理数学问题时，往往遇到的一些问题很抽象，一时难以与具体内容相联系，致使思路打不开，一旦沟通了它与具体内容、直观形象或空间形式的联系，就会烟消云散，思路便会势如破竹地深入下去。例如：已知不等式x2axb0的解集是x | 2x3时，求不等式b x2ax10的解集。有些学生遇到这个题目时，开始时没有思路，无处入手。当学生能把不等式x2axb0以及它的解集x | 2x3与二次函数y= x2 ax b的图象联系起来时（如图4）。思路便打开了。解：令f (x)= x2axb 由已知f (2 )=0 a=5f (3 )=0 b=-6把a=5,b=-6,代入不等式bx2ax-10中，得 6 x25x+