1.5 经济学中的几个常用函数

一 问题的提出 在社会经济活动中 存在着许多经济变量 如产量 成本 收益 利润 投资 消费等等 对经济问题的研究的过程中 一个经济变量往往是与多种因素相关的 当我们用数学方法来研究经济变量间的数量关系时 经常是找出其中的主要因素 而将其它的一些次要因素或忽略不计或假定为常量 这样可以使问题化为只含一个自变量的函数关系 下面我们介绍经济活动中的几个常用的经济函数 1 5经济中的几个函数 总成本 固定成本 与产量Q无关 如设备维修费 企业管理费 厂房折旧费等 可变成本 随产量Q的增加而增加 如原材料费 工人工资 电费等 1 总成本函数与平均单位成本 故总成本与产量的函数关系为 C Q C0 C1 Q 其中C0为固定成本 C1 Q 是可变成本 平均单位成本 即总成本与总产量的比值 记为 总成本曲线 成本增长速度变慢 2 收益函数 收入函数 若产品的单位售价为p 销售量为Q 则总收入函数为 R p Q 收益曲线 更合理的定义R R Q 平均单位收益 记为 3 利润函数 利润 盈亏分析 保本点 或 盈亏分界点 3 平均单位利润 价格 最主要的因素 故需求量可看成价格的一元函数 d一定价格条件下 消费者愿意且有支付能力购买的某种商品的数量 4 需求函数 d f P P 价格 需求律和供给律是经济学研究的基本规律 需求量 需求量 销售量 产量 产售平衡 影响需求量的因素很多 市场规律 涨价需求减少 降价需求增加 故需求函数是价格的单调减函数 常见的需求函数与需求曲线 a为价格为0时的最大需求量 线性需求 最常见的 反比需求 缺点 变化太明显 指数需求 最常用 例1 某商店组进一批黑木耳 若以每千克30元的价格向外批发 则最多只能售出40千克 当价格每降低1 2元时 则可多售出10千克 试建立需求量 即销售量 Q与价格P之间的函数关系 解 设价格 则多售出的黑木耳为 千克 故需求量Q与价格P的函数关系为 例2 某MP4每个售价为500元时 每月可销售2000个 每个售价降为450元时 每月可增销400个 试求该MP4的线性需求函数 解 设MP4的需求为 a bP 其中 为需求量 P为售价 由题设知 当P 500时 2000 当P 450时 2000 400 2400 代入 a bP 可得 故该MP4的线性需求函数为 6000 8P 价格 也是最主要的因素 故供给量可看成价格的一元函数 一定价格条件下 生产者愿意且有可供出售的某种商品的数量 5 供给函数 s g P 供给量 P 价格 供给量 供给量 需求量 共需平衡 影响供给量的因素很多 市场规律 涨价供给增加 降价供给减少 故供给量Qs是价格P的单调增函数 三 需求与供给 常见的供给函数与曲线 线性供给函数 最简单的 例3 已知鸡蛋收购价每公斤5元时 每月能收购5000公斤 若收购价每公斤提高0 1元 则收购量可增加500公斤 求鸡蛋的线性供给函数 解 设鸡蛋的供给为 s c dp 其中 s为收购量 p为收购价格 由题设知 当p 5时 d 5000 当p 5 1时 s 5000 500 5500 代入 s c dp 可得 从而所求的供给函数为 s 20000 5000p 6 供需分析 需求曲线与供给曲线 需求函数与供给函数的图像即为相应的曲线 如右图所示 供需均衡点 即需求曲线 d与供给曲线 s的交点 p0 0 其中 0为市场均衡交易额 p0为均衡价格 市场调节 当市场价格p高于均衡价格p0时 供给量增加而需求量减少 供大于求 反之 市场价格低于均衡价格时 供给量减少而需求量增加 供不应求 在市场调节下 商品价格在均衡价格附近上下波动 例4 已知某商品的需求函数和供给函数分别为 d 1