矩阵的初等变换与初等矩阵-共52页.ppt

第五节矩阵的初等变换和初等矩阵 一 矩阵的初等变换 1 第二章矩阵及其运算 线性代数 二 初等矩阵 四 小结思考题 三 初等变换法求逆矩阵 2 第二章矩阵的运算 线性代数 一 矩阵的初等变换 1 引例 求解线性方程组 分析 用加 减消元法解下列方程组 观察其过程 3 第二章矩阵的运算 线性代数 解 4 第二章矩阵的运算 线性代数 代入 得 于是得方程组的解 5 第二章矩阵的运算 线性代数 小结 1 上述解方程组的方法称为消元法 2 始终把方程组看作一个整体变形 用到如下三种变换 1 交换方程次序 2 以不等于 的数乘某个方程 3 一个方程加上另一个方程的k倍 6 第二章矩阵的运算 线性代数 3 上述三种变换都是可逆的 由于三种变换都是可逆的 所以变换前的方程组与变换后的方程组是同解的 故这三种变换是同解变换 7 第二章矩阵的运算 线性代数 因为在上述变换过程中 仅仅只对方程组的系数和常数进行运算 未知量并未参与运算 若记 则对方程组的变换完全可以转换为对矩阵B 方程组 1 的增广矩阵 的变换 即 1 交换两行 2 某一行乘以常数k 3 某一行乘以常数k加到另一行 8 第二章矩阵的运算 线性代数 定义9 下面三种变换称为矩阵的初等行变换 2 矩阵的初等变换 9 第二章矩阵的运算 线性代数 定义矩阵的初等列变换与初等行变换统称为初等变换 初等变换的逆变换仍为初等变换 且变换类型相同 同理可定义矩阵的初等列变换 所用记号是把 r 换成 c 逆变换 逆变换 逆变换 10 第二章矩阵的运算 线性代数 等价关系的性质 具有上述三条性质的关系称为等价 例如 两个线性方程组同解 就称这两个线性方程组等价 11 第二章矩阵的运算 线性代数 用矩阵的初等行变换解方程组 1 12 第二章矩阵的运算 线性代数 13 第二章矩阵的运算 线性代数 由方程组 得到解的回代过程 也可用矩阵 的初等变换来完成 即 对应方程组为 14 第二章矩阵的运算 线性代数 特点 1 可划出一条阶梯线 线的下方全为零 2 每个台阶只有一行 台阶数即是非零行的行数 阶梯线的竖线后面的第一个元素为非零元 即非零行的第一个非零元 15 第二章矩阵的运算 线性代数 注意 行最简形矩阵是由方程组唯一确定的 行阶梯形矩阵的行数也是由方程组唯一确定的 行最简形矩阵再经过初等列变换 可化成标准形 行阶梯形矩阵还称为行最简形矩阵 即非零行的第一个非零元为1 且这些非零元所在的列的其他元素都是零 16 第二章矩阵的运算 线性代数 例如 17 第二章矩阵的运算 线性代数 特点 所有与矩阵等价的矩阵组成的一个集合 称为一个等价类 标准形是这个等价类中最简单的矩阵 18 第二章矩阵的运算 线性代数 例2 16利用矩阵的初等行变换 将 化成行阶梯形矩阵和行最简形矩阵 解 19 第二章矩阵的运算 线性代数 20 第二章矩阵的运算 线性代数 在行最简形矩阵基础上继续实施初等列变换可 将其化成标准形 标准形 21 第二章矩阵的运算 线性代数 定义由单位矩阵经过一次初等变换得到的方阵称为初等矩阵 三种初等变换对应着三种初等方阵 矩阵的初等变换是矩阵的一种基本运算 应用广泛 二 初等矩阵的概念 22 第二章矩阵的运算 线性代数 23 第二章矩阵的运算 线性代数 24 第二章矩阵的运算 线性代数 25 第二章矩阵的运算 线性代数 初等矩阵与初等变换之间的关系 设 第行 第行 26 第二章矩阵的运算 线性代数 27 第二章矩阵的运算 线性代数 28 第二章矩阵的运算 线性代数 29 第二章矩阵的运算 线性代数 30 第二章矩阵的运算 线性代数 注意 以右乘矩阵 其结果相当与把 的第列 不是列 乘加到第列 不是列 上 31 第二章矩阵的运算 线性代数 定理2设是一个矩阵 对施行一次初等行变换 相当于在的左边乘以相应的阶初等矩阵 对施行一次初等列变换 相当于在的右边乘以相应的阶初等矩阵 初等变换 初等矩阵 初等逆变换 初等逆矩阵 32 第二章矩阵的运算 线性代数 33 第二章矩阵的运算 线性代数 定理2 3矩阵A可逆的充分必要条件是存在有限个初等方阵 证充分性 设有初等矩阵使 因初等矩阵是可逆矩阵 且可逆矩阵之积还是可逆 矩阵 所以A可逆 必要性 设n阶方阵A可逆 且A的标准形矩阵 初等矩阵使 34 第二章矩阵的运算 线性代数 因为A可逆 也都可逆 故标准形矩阵F 可逆 假设 中的r n 则 与F可逆矛盾 因此必r n 即F E 从而 证毕 35 第二章矩阵的运算 线性代数 证因A可逆A为有限个初等矩阵的乘 积 即 亦即 上式表示E经有限次初等行变换可变为A 即 36 第二章矩阵的运算 线性代数 推论2两个矩阵A B等价的充分必要 矩阵Q 使PAQ B 是存在阶可逆矩阵P及阶可逆 证必要性 A与B等价存在有限个阶初等矩阵 及有限个阶 初等矩阵使 令 由定理2 3知P是阶可逆矩阵 Q为阶可逆矩阵 且PAQ B 37 第二章矩阵的运算 线性代数 充分性 由PAQ B知 个初等矩阵 说明 A可经初等变换化成B证毕 使 因P Q可逆 由定理2 3知 存在有限 由证明可见 矩阵A经初等行变换化成B的充分必要 条件是存在可逆矩阵P使PA B 矩阵A经初等列变换 化成B的充分必要条件是存在可逆矩阵Q使AQ B 38 第二章矩阵的运算 线性代数 三 初等变换法求逆矩阵 方法是 39 第二章矩阵的运算 线性代数 解 例2 17 40 第二章矩阵的运算 线性代数 41 第二章矩阵的运算 线性代数 即 初等行变换 42 第二章矩阵的运算 线性代数 例 18 解 43 第二章矩阵的运算 线性代数 44 第二章矩阵的运算 线性代数 45 第二章矩阵的运算 线性代数 46 第二章矩阵的运算 线性代数 例2 19求解矩阵方程AX A X 其中 解把所给方程变形为 A E X A 47 第二章矩阵的运算 线性代数 A E E A E可逆 且 48 第二章矩阵的运算 线性代数 四 小结 1 初等行 列 变换 初等变换的逆变换仍为初等变换 且变换类型相同 3 矩阵等价具有的性质 49 第二章矩阵的运算 线性代数 5 利用初等变换求逆阵的步骤是 50 第二章矩阵