微积分公式.doc

5.3 微积分基本公式一、积分上限的函数及其导数设函数在区间上连续，并设为上的一点，考察在部分区间上的积分这一特殊形式的积分有两点应该注意：其一、 因在连续，该定积分存在。此时，变量“ 身兼两职 ”，既是积分变量，又是积分的上限。为了明确起见，将积分变量改用其它符号如来表示，这是因为定积分与积分变量的选取无关。上面的定积分改写成下述形式其二、 若上限在上任意变动，则对应于每一个取定，该定积分有一个对应值。所以，它在上定义了一个新的函数， 记作称为以积分上限为变量的函数( 简称变上限函数 )。是否确有这类函数?观察一个例子,正态曲线在上的变上限函数为它表示一个曲边梯形的面积。运行程序gs0503.m，可分别作出，在上的图象这表明，确实是一个新的函数。【定理一】如果函数在区间上连续， 则变上限函数在上具有导数，且它的导数是证明：当上限获得增量时， 在处的函数值为由此得函数的增量据积分中值定理： 在与之间即： 定理一表明：是的一个原函数。因此，我们便有下面原函数的存在性定理。【定理二】如果函数在区间上连续， 则函数就是在上的一个原函数。定理二的重要意义在于：其一、 肯定了连续函数的原函数的存在性。其二、 揭示了定积分与原函数之间的联系。 使得定积分的计算有可能通过原函数来实现。二、牛顿-莱布尼兹公式【定理三】设在上连续， 是在上的任一原函数则 证明：与均是在上的原函数则 ( 为常数， )令 ， 而 故 从而 即 若令， 得： 为了方便，今后记 或 。最后，我们提醒一句，微积分基本公式时，一定要注意条件：是在区间上的原函数。【例1】计算 与 解： 注：当初阿基米德用穷竭法计算定积分，可是费了不少功夫，可如今变得简单多了，这得益于微积分基本公式。【例2】设在内连续，且，证明函数在内为单调增加函数。证明： 由假设， 在 上 ， ， 故 ， ，从而， 在 上是单增的。【例3】求极限 解：这是一个型的不定式，可用罗必达法则来计算，分子可写成它是以为上限的函数， 作为的函数， 它可视作以为中间变量的复合函数， 故注明：试图用牛顿 - 莱布尼兹公式计算定积分的思路是不可取的。这是因为不具有有限形式的原函数。公元前的古希腊数学家阿基米德最先具有定积分的初步思想方法，而明确提出定积分概念却是由牛顿(英1642 - 1727)与莱布尼兹(德1646-1716)共同完成的。 而当时的定积分理论基础尚不严谨， 甚至连个严格的定义都没有。直到(1826 - 1866)德国数学家黎曼给出了今天的定积分严格定义。这一事实表明：一个科学概念从萌芽、诞生到成熟需要经历很长时间。 因此，列宁称“ 自然科学的生命是概念 ”再恰当不过了。定积分的符号 是由莱布尼兹首先引用的。其含义是：定积分的实质是求积分和式的极限，英文中求和一词是Sum，将S拉长变成了。显然，符号从外形到含义均表达了“求和”的涵义，堪称“形意兼备”。莱布尼兹在微积分中引用的符号系统：彼此之间有联系，又各自表达不同的意义，可以说十分先进。现代计算机数学软件所采用的符号系统便是莱布尼兹所定义的，由这一点可看出先进的符号体系是重要的。我国古代数学尽管历史悠久，但发展缓慢，其中一个重要的原因是符号落后。象著名的“勾股定理”也仅被表述成：勾三股四弦五，即：在计算机编程中，合理有效地使用符号与变量的名称更是一个不容忽视的大问题。第三节 微积分基本公式一变速直线运动中位置函数与速度函数之间的关系例1： 已知自由落体运动的速度为：，求在时间间隔内自由落体下落的距离S解：由定积分的物理意义知：，为的一个原函数；=由此猜测： （）二积分上限的函数及其导数1 设在区间上连续，任取，在区间上可积，（）（称此函数为积分上限的函数）2 定理1：如果在区间上连续，积分上限的函数：在区间上可导，且其导数为（）3 定理2：如果在区间上连续，则函数：就是在区间上的一个原函数（连续函数的原函数一定存在）三牛顿莱布尼兹公式定理3：如果函数是连续函数在区间的一个原函数，则：此公式称为牛顿莱布尼兹公式（微积分基本公式）（上面的公式把求定