§1.2.2三角形中的三角函数

1 2 2三角形中的三角函数 2020 4 20 重庆市万州高级中学曾国荣wzzxzgr 2 1 能熟练利用正弦定理 余弦定理将三角形的边角转化 2 掌握三角形形状的判断 三角形内三角函数的求值及三角恒等式的证明 2020 4 20 重庆市万州高级中学曾国荣wzzxzgr 3 1 ABC中 已知sinA 2sinBcosC sin2A sin2B sin2C 则三角形的形状是 D A 等边三角形B 等腰三角形C 直角三角形D 等腰直角三角形 2020 4 20 重庆市万州高级中学曾国荣wzzxzgr 4 由sin2A sin2B sin2C 得a2 b2 c2 所以 ABC为直角三角形 A 90 由sinA 2sinBcosC 得2sin2B 1 因为B为锐角 所以sinB 从而B 45 C 45 所以 ABC为等腰直角三角形 故选D 2020 4 20 重庆市万州高级中学曾国荣wzzxzgr 5 2 在锐角 ABC中 已知cosA sinB 则cosC的值是 B A B C 或D 因为cosA sinB 所以sinA cosB 所以cosC cos A B cos A B cosAcosB sinAsinB 2020 4 20 重庆市万州高级中学曾国荣wzzxzgr 6 3 在 ABC中 设命题p 命题q ABC是等边三角形 则命题p是命题q的 C A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件 p 由正弦定理 所以sinA sinB sinC 所以A B C a b c 故选C 2020 4 20 重庆市万州高级中学曾国荣wzzxzgr 7 4 在 ABC中 三个内角满足2A B C 且最大边与最小边分别是方程x2 12x 32 0的两根 则 ABC外接圆的面积为 A A 16 B 64 C 124 D 156 2020 4 20 重庆市万州高级中学曾国荣wzzxzgr 8 由方程x2 12x 32 0 解得x 4或x 8 不妨设b 8 c 4 因为2A B C 所以A B C 3A 180 A 60 由余弦定理得 a2 b2 c2 2bccos60 64 16 2 8 4 48 所以a 4 由正弦定理 得2R asinA 8 R 4 所以S圆 R2 16 故选A 2020 4 20 重庆市万州高级中学曾国荣wzzxzgr 9 5 ABC中 已知a x b 2 B 45 若解此三角形有两解 则x的取值范围是 2 2 sinA x x 因三角形有两解 所以45 2 且x 1 解得2 x 2 2020 4 20 重庆市万州高级中学曾国荣wzzxzgr 10 1 判断三角形的形状特征必须从研究三角形的边与边的关系 或角的关系入手 充分利用正弦定理与余弦定理进行转化 即化边为角或化角为边 边角统一 三角形形状的判断依据 1 等腰三角形 a b或A B 2 直角三角形 b2 c2 a2或A 90 3 钝角三角形 a2 b2 c2 或90 A 180 2020 4 20 重庆市万州高级中学曾国荣wzzxzgr 11 4 锐角三角形 若a为最大边 且满足a2 b2 c2或A为最大角 且0 A 90 2 在 ABC中常用的一些基本关系式 1 A B C 2 sin B C cos B C tan B C 3 sin 4 cos 5 tanA tanB tanC sinA cosA tanA tanAtanBtanC 2020 4 20 重庆市万州高级中学曾国荣wzzxzgr 12 题型一判断三角形的形状 例1 在 ABC中 A B C所对的边长分别为a b c 且满足 a2 b2 sin A B a2 b2 sinC 试判断 ABC的形状 2020 4 20 重庆市万州高级中学曾国荣wzzxzgr 13 方法一 化成角的关系求解 由条件可得 a2 sin A B sin A B b2 sin A B sin A B 利用和差角公式展开 得a2cosAsinB b2sinAcosB 由正弦定理 上式化为sin2AcosAsinB sin2BsinAcosB 因为sinAsinB 0 所以sinAcosA sinBcosB 即sin2A sin2B 因为A B为三角形的内角 所以A B 或A B 故 ABC为等腰三角形或直角三角形 2020 4 20 重庆市万州高级中学曾国荣wzzxzgr 14 方法二 化为边的关系求解 由条件 a2 b2 sin A B a2 b2 sinC 可得 a2 b2 acosB bcosA a2 b2 c a2 b2 a2 b2 c a2 b2 a2 b2 a2 b2 c2 a2 b2 c2或a b 故 ABC的形状为直角三角形或等腰三角形 2020 4 20 重庆市万州高级中学曾国荣wzzxzgr 15 三角形中的恒等式或三角形的形状判断等问题 要注意根据条件的特点灵活运用正弦定理或余弦定理 一般考虑两个方向进行变形 一个方向是边 走代数变形之路 通常是正弦定理 余弦定理结合使用 另一个方向是角 走三角变形之路 2020 4 20 重庆市万州高级中学曾国荣wzzxzgr 16 题型二利用三角函数知识解三角形 例2 在 ABC中 已知sinA sinB cosB sinC 0 sinB cos2C 0 求角A B C的大小 2020 4 20 重庆市万州高级中学曾国荣wzzxzgr 17 方法一 由sinA sinB cosB sinC 0 得sinAsinB sinAcosB sin A B 0 所以sinAsinB sinAcosB sinAcosB cosAsinB 0 即sinB sinA cosA 0 因为B 0 所以sinB 0 从而cosA sinA 由A 0 知A 从而B C 由sinB cos2C 0 得sinB cos2 B 0 即sinB sin2B 0 亦即sinB 2sinBcosB 0 由此得cosB B C 所以A B C 2020 4 20 重庆市万州高级中学曾国荣wzzxzgr 18 方法二 由sinB cos2C 0 得sinB cos2C sin 2C 由0 B C 所以B 2C或B 2C 即B 2C 或2C B 由sinA sinB cosB sinC 0 得sinAsinB sinAcosB sin A B 0 所以sinAsinB sinAcosB sinAcosB cosAsinB 0 2020 4 20 重庆市万州高级中学曾国荣wzzxzgr 19 即sinB sinA cosA 0 因为sinB 0 所以cosA sinA 由A 0 知A 从而B C 知B 2C 不合要求 再由2C B 得B C 所以A B C 本题主要考查三角形问题等知识 关键是运用sin A B sinC代换及解题方向的确定 2020 4 20 重庆市万州高级中学曾国荣wzzxzgr 20 题型三三角形中三角函数的应用 例3 有一块半径为1m 中心角为的扇形铁皮材料 为了获得面积最大的矩形铁皮 工人师傅常让矩形的一边在扇形上 然后作其最大的内接矩形 请求出最大面积 2020 4 20 重庆市万州高级中学曾国荣wzzxzgr 21 如图 设 COB 0 则BC sin AD OB cos 又 tan 所以OA AD sin 所以AB cos sin 则S矩形ABCD sin cos sin sin2 cos sin 2 当sin 2 1 即 时 矩形面积取最大值m2 2020 4 20 重庆市万州高级中学曾国荣wzzxzgr 22 与圆相关的最值问题 常设角参数 注意范围 把题目中出现的边角用含角的三角函数表示 再转化求三角函数的最值 其中确定是什么样的三角形 用哪些定理或哪些边角关系 列出等式或不等式是关键 2020 4 20 重庆市万州高级中学曾国荣wzzxzgr 23 1 解斜三角形问题往往用到正弦定理与余弦定理以及三角变换 解题时角度的选取是关键 并关注角的取值范围 如已知两边及其中一边的对角解三角形 要注意解的情况 2 对于解斜三角形的实际应用问题 要理解题意 分清已知与所求 根据题意画出示意图 抽象或构造出三角形 把实际问题转化为解三角形 要明确先用哪个公式或定理 先求哪些量 确定解三角形的方法 在演算过程中 要算法简练 算式工整 计算正确 还要注意近似计算的要求 2020 4 20 重庆市万州高级中学曾国荣wzzxzgr 24 对于实际应用问题中的有关名词 术语 要理解清楚 如坡度 俯角 仰角 方向角 方位角等