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6 4不等式解法举例 二 高二数学 一元二次不等式 绝对值不等式 例1 解下列不等式 小结 上述不等式的两种解法均体现了由分式不等式到整式不等式的划归 方法一直接用乘的手段 该法要注意所乘因式的正负对结果的影响 一般需分类讨论 方法二的基本思路为分式不等式 转化 整式不等式 在将分式不等式转化为整式不等式组时 运用了符号运算法则 基于这种想法 分式不等式也可直接转化为整式不等式 1 高次不等式 x x 0 上式转化为x x 1 x 1 0 析 对于解不等式x x 1 x 1 0 实质上就是找出使x x 1 x 1 为负数的相应的x的范围 而x x 1 x 1 的符号又取决于x x 1 x 1 的符号 当其中二正一负 或者三负的时候 x x 1 x 1 为负数 由于f x x x 1 x 1 是关于x的三次函数 其图像是一条连续的曲线 且与x轴有三个交点 0 1 1 它们将数轴分成四个区间 如果能确定在每个区间上f x 的符号并能作出f x 的草图 则可以由图像直接写出不等式的解集 我们将这种方法叫做序轴标根法 序轴标根法步骤如下 1 整理 将函数f x 进行因式分解 化为标准型 即 x a1 x a2 x an 因式中x的系数为1 且an彼此不等 2 标根 将f x 0的n个不同的根a1 a2 an标在数轴上 将数轴分成n 1个区间 3 画线 从右到左 从上到下 依次经过n个根对应的点 画一条连续的曲线 4 由图像中得出所求不等式的解集 在x轴上方即为f x 0的解 在x轴下方即为f x 0的解 归纳起来即为 原式化为标准型 在序轴上标出根 作序轴标根线 由序轴标根线得不等式的解集 练习 2 先化成对根的重数即因式的次数在作图时 本着 奇穿偶回 的原则 例2 解下列不等式 小结 分式不等式的求解思路 一是转化为与之等价的整式不等式组求解 二是转化为高次不等式 利用序轴标根法求解 等价变形的不等式一边是0 一边是各因式的积 未知数的系数一定要为1 小结 a与其根 1 1进行大小比较分类 解集应按a的分类写出 千万不可合并 总结 1 用序轴标根法应注意 1 必须化为标准型 即未知数x的系数必须为1 2 偶次根不穿透 奇次根穿透 3 分清根的大小 尤其是含分母的不等式 在序轴上标正确 序轴与数轴的区别在于序轴不必标原点 不必考虑长度单位 只要按从左到右 从小到大的顺序即可 2 解不等式重要的是等价转化 尤其含 的转化 如 3 解含字母的不等式时 1 分清对字母
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