【立体设计】2012届高考数学 第2章 第2节 函数的单调性与最大（小）值知识研习（福建版）

2 对于给定区间上的函数f x 及属于这个区间的任意两个自变量的值x1 x2 当x1 x2时 如果都有f x1 f x2 那么就说f x 在上是函数 这个区间就叫做这个函数的区间 如果都有f x1 f x2 那么就说f x 在上是函数 这个区间就叫做这个函数的区间 反映在图象上 若函数f x 是区间D上的增 减 函数 则图象在D上的部分从左到右是上升 下降 的 给定区间 单调增 给定区间 减 增 单调减 解析 对选项逐一判断即可 答案 D 答案 B 3 f x 为 上的减函数 若a R 则 A f a f 2a B f a2 f a C f a2 1 f a D f a2 a f a 答案 C 4 对于给定的函数f x x x 0 有以下四个结论 f x 的图象关于原点对称 f x 在定义域上是增函数 f x 在区间 0 1 上为减函数 且在 1 上为增函数 f x 有最小值2 其中结论正确的是 解析 易判断 正确 结合函数图象知 正确 答案 1 判断函数单调性的常用方法 1 定义法 2 两个增 减 函数的和仍为增 减 函数 一个增 减 函数与一个减 增 函数的差是增 减 函数 3 奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性 偶函数在对称的两个区间上有相反的单调性 4 如果f x 在区间D上是增 减 函数 那么f x 在D的任一子区间上也是增 减 函数 5 如果y f u 和u g x 单调性相同 那么y f g x 是增函数 如果y f u 和u g x 单调性相反 那么y f g x 是减函数 在研究函数的单调性时 常需要先将函数化简 转化为讨论一些熟知函数的单调性 因此掌握并熟记一次函数 二次函数 幂函数 指数函数 对数函数的单调性 将大大缩短我们的判断过程 2 函数最值的求法 1 配方法 2 判别式法 3 基本不等式法 4 换元法 5 数形结合法 6 单调性法 7 导数法 3 求最值时注意的问题 1 求函数最值的方法 实质与求函数值域的方法类似 只是答题方式有差异 2 无论何种方法求最值 都要考虑 能否成立 即时巩固详解为教师用书独有 考点一用定义证明函数的单调性 案例1 判断函数f x x3 b在R上的单调性 关键提示 由函数单调性的定义入手 关键在于分析f x1 与f x2 的大小关系 答案 D 即时巩固2 若函数f x x2 a2 4a 1 x 2在区间 1 上是减函数 则a的取值范围是 A 3 1 B 3 1 C 1 3 D 1 3 答案 C 考点三函数的值域和最值 案例3 2011届 佛山一中质检 已知函数f x 1 2ax a2x a 1 1 求函数f x 的值域 2 若x 2 1 时 函数f x 的最小值为 7 求a及函数f x 的最大值 关键提示 由条件可得已知函数为关于ax的一元二次函数 故其为复合函数 而内函数为y ax 所以在解题时要注意指数函数y ax的性质特征 解 1 f x 2 1 ax 2 因为ax 0 所以f x 2 1 1 所以函数f x 的值域为 1 2 因为a 1 所以当x 2 1 时 a 2 ax a 所以2 a 1 2 f x 2 a 2 1 2 所以2 a 1 2 7 即a 2 点评 求复合函数的值域或最值时 要考虑内函数的定义域和值域 同时也要考虑适合外函数解析式结构类型的求值域与最值的常用方法 两者结合才能准确求出复合函数的值域与最值 即时巩固3 已知函数f x x2 4ax 2a 6 a R 1 若函数的值域为 0 求a的值 2 若函数值为非负数 求函数f a 2 a a 3 的值域 解 1 因为函数的值域为 0 所以 16a2 4 2a 6 0 案例4 设f x x2 2ax 0 x 1 的最大值为M a 最小值为m a 试求M a 及m a 的表达式 关键提示 本题中的函数为关于x的二次函数 可以考虑用配方法来求其最大 小 值 但是解析式中含有字母a 影响着配