数学课中的猜想有效性思考.doc

数学课中的猜想有效性思考天台外国语 夏松鹤关键词 猜想 教学 “猜想”是数学问题解决过程中的一个关键环节，许多的世界数学难题都是建立在猜想基础之上，如哥德巴赫猜想、费尔马猜想等。数学“猜想”实际上是一种数学想象，是人的思维在探索数学规律、本质时的一种策略,它是建立在已有的事实经验基础上，运用非逻辑手段而得到的一种假定，是一种合情推理。数学猜想能缩短解决问题的时间，能获得数学发展的机会，能锻炼数学思维。波利亚曾说：“一个孩子一旦表示出某些猜想，他会主动地关心这道题，关心课堂上的进展”。随着新课程理念的进一步深化与落实，很多教师逐步认识到猜想的重要性，把数学猜想纳入到具体的教学实践活动中，以培养学生的数学素质。同时，也出现了另一种极端的现象“每课必猜”把数学猜想作为课堂教学的一个必然过程，这形式化现象应该引起我们所有教师的思考：是否有这种必要，猜想的目的性、有效性又应该如何体现？笔者根据个人教学与学习的经验分别从：为什么要数学猜想、如何诱导学生猜想、提高猜想效益、如何处理猜想、如何推广猜想浅谈个人的看法。1、为什么要创设数学猜想的环节？在教学过程中，教师必须意识到数学猜想的重要性，是培养学生解决问题的关键环节，但是当我们面对不同的数学教学内容时也应该要思考这样的一个问题：是否有必要加入猜想的环节，为什么要猜想，它的必要性理由？笔者认为并不是每一节课都要猜想，我们应该根据教学的内容进行合理的筛选。如一些最基本的概念、公理、数学史实等就没有这个必要，也无从猜想，猜想环节的存大当然也是不合理的。在数学教学过程中我们应该对哪些内容作出猜想环节的按排呢？笔者认为合适的内容应该具有这样的特征：略高于学生原有认知水平或原有认知不足而不能全面认识的事物，学生根据以往的经验在教师或其它条件的促进下能够通过合情推理提出超越现有认知的结论或片面见解的内容，也就是说内容需要符合学生的最近发展区，具有思考的价值并能引起学生的兴趣。如“矩形的判定”，学生在小学时候就已经接触、了解“四个角都是直角的四边形是矩形”，教师通过创立平台，从平行四边形的概念出发，引出问题让学生作出猜想，“还有吗？”学生还可以立足于平行四边形与矩形性质上的差异提出猜想：对角线相等的平行四边形是矩形，甚至可以进一步提出“如果是普通的四边形呢？”进一步推动学生思考联想作出更深一步的猜想：有三个角都是直角的四边形是矩形。以这些不同的认知为出发点创设略高于学生的认知需求，只要学生“跳一跳，就能摘到桃子”，才能激发学生的积极性、求知欲，使学生放飞合情联想的翅膀，打开思考的大门，为他们今后如何学习、研究问题铺下坚实的根底和方法，从眼前的现状来说为他们如何去学习一个新的知识打开了思想的大门，为这一节课的学习主题播下了思考的种子。这就是我们为什么要猜想的原因，也是我们要创设猜想环节的必要性，而不是为形式而形式。2、如何诱导学生进行数学猜想？数学猜想并不是空想或幻想，其实它是一种合情推理，在没有人提示或训练过的学生不可能无端的对问题展开想象，成形必要的想象，就如反比例函数图象教学一开始就问“请大家想象一下反比例函数图象是什么？”学生是很难回答的也没有兴趣回答。因此，学生会猜想需要教师在教学过程中创设一定的情景，提供必要的平台使学生在必要的情景或平台中根据自己的发现，引发的思考，产生合情的推理，最后形成数学猜想。通常教师在需要学生猜想时，主要通过如下方案来实现：已有认知回顾动手与操作观察与归纳（或类比与归纳）等手段让学生面对一些事实的特殊认知触发感悟。1）由操作、观察引发的猜想著名数学家欧拉曾经说过: “今天人们知道的数的性质,几乎都是观察所发现的,并且是早在使用严格论证确认其真实性之前,就被发现了.甚至到现在还有许多关于数的性质已成为我们所熟悉,但却不能被证明,只有经过观察才能使我们知道这些性质.因此,使我们认识到这种仍然是很不完善的数论中,还得把最大的希望寄托于观察之中,这些观察将导致我们继续获得以后尽力予以证明的新的性质3.”由此可见,观察法对于数学猜想的发现和提出,确实是起着极其重要的作用.课例：八年级数学：菱形的性质教师让学生把一张长方形纸片按如图方式进行折叠、裁剪：同学们很快就可以发现剪出来的是一个菱形。老师：请大家回顾刚才的操作过程及手上的菱形，思考：菱形有哪些特性呢？学生：菱形的四边相等、对角线互相垂直、一条对角线平分一组对角在这个过程中，学生通过折纸、对剪痕与折痕的观察，菱形的边、对角线、角的初步判断，在头脑中直观的形成，根据以有的图形研究习惯才形成了相应的合情推理形成结论。他们的推理依据就是客观痕迹的观察和已有认知。许多的数学课都可以采用“动手观察”的方案促进学生猜想,如一些探索几何图形的课，如：探索矩形性质和判定、直线的基本性质、相似三角形等。2）由观察、类比引发的猜想开普勒说过:“我珍视类比,胜于任何别的东西,它是我最可信赖的老师,它能够揭示自然界的奥秘.”例如,法国数学家威尔在有理有限域上多变量多项式解的问题时,利用方程的情况类比方程组的情况,猜想方程组在有限域上解的个数与复簇(复数解集) 之间可能有联系.这就是著名的威尔猜想.这向人们揭示了数学学习的一个重要方法：通过类比加深学生的认知水平，诱发对数学的进一步探索。课例：七年级数学数轴师：同学们见过温度计吗?谁能读出课本36页上的温度计?生1:我见过温度计,图中温度的度数分别是5,0,-10.师:温度计上有什么?生2:温度计上有数字.生3:温度计上有正数,0,负数.师:以上三位同学回答都很好.说明同学们在日常生活中注意观察和思考.如果把温度计水平放置,把它想象成一条直线的话,它能是什么样子?谁能把自己想象的图形画出来?直线上的点与我们的有理数会有怎样的关系？在上述教学过程中，教师让学生对日常常见的温度计的观察与读数，使学生在头脑中初步形成点与数对应的趋形，引导学生使用类比的方法由温度计联想到数轴模型的再创造，为数轴教学的进行提供了认知上的同化。通过类比使形成新的认知猜想在我们初中探索关于代数类的运算规律及构造数学模型过程中经常用到，如：分式的加减、规律类问题处理等等，也是学生学会学习的一种重要途径。事实证明：当学生发现自己的猜想与课本相一致时,便能感受到探索知识的情趣,享受到成功的欢乐,能以极大的热情投入到新课的学习中。教学的事实告诉我们：教学过程中的猜想需要一种诱导，学生是一群没有多少学习经验的群体，教师要做的是让学生学会学习，这就要我们在教学过程中合理的设置情景与平台让学生体验到如何面对问题与创造平台，根据平台提出相应的猜想，培养学生的思维能力与解决困难的推理习惯。3、 如何提高数学教学过程中猜想的有效性？在对事物认知的过程中，猜想起着重要的作用，甚至是先决作用。猜想可分为正向猜想与反向猜想.正向猜想就是学生根据已有的知识经验,按照常规有序的思考得到新知识,是学生利用迁移学习新知识的一种重要方法.但课堂教学过程中的猜想基本上是采用了正向猜想。由于我们学生知识、经验的局限性，往往会使他们的猜想结论存在着各种各样的可能：对的、错的、片面的、不完整的等等，这需要教师在问题提出的时候有一个思考：我们需要怎样的结果，我们如何面对学生五花八门的结论，猜想的目的性是什么？笔者总认为：不完整的猜想才是学生真正思考的结果，整齐划一的结果是我们猜想环节无效性最彻底的表现，五花八门的结论，才能真正的让学生学会到如何正确的看待问题、分析问题、解决问题。 在教学过程中教师鼓励学生的各种猜想结果，更要学生说说这种想法的缘由，不能放纵天马行空无厘头的妄想，猜想是有依据的，是基于某种事实或某种理由的延伸，它是一种科学行为。就如由菱形性质一课中由“折纸”想到“对角线相等”就有变得无依据了，这只是一种无序的嫁接。教师要正视学生的猜想，我们的猜想是让学生打开思考大门，放飞思绪，提高思维的质量，培养学生解决问题的能力。因此，面对学生的各类猜想包括那些“异想天开”的结果，作为教师,始终应该保持一条原则,那就是进行鼓励性评价,保护学生积极猜想的精神.即使学生的假设是错误的,教师也不能简单地给予否认或纠正,而是应该引导学生自己或其它同学通过实验或验证推翻错误的假设.质疑是数学猜想环节中必不可少的组成部分。由于的猜想是建立在有限的知识经验和生活经验之上,是稚嫩的、不成熟的,甚至是错误的，教师要引导学生对自己提出的猜想进行反驳、筛选、修改,这是一个质疑的过程,有利于培养学生的怀疑精神和表述能力。由于地特殊情景与平台观察的角度、理解的方向不同，因此不同结果就可能会出现不同的坚持，因此在猜想环节中，教师对学生的质疑要提倡、鼓励,使学生逐步做到敢说、爱说。学生在不断质疑、推翻、重建的过程中才能真正领会到如何进行合理推理、如何发现问题，这也是我们最想要学生学会的数学能力。在猜想环节中，教师应该在最大限度内走下讲台、让出空间与时间，使学生充分的发挥各自的知识与能力，激发探究的兴趣、开阔探索的广度与深度，逐步完善猜想的结论，达成共同的认识，使学生对如何猜想有一种真正意义上的体验，这就是我们设置这一环节想要的成功和效益。4、如何处理猜想结果？在充分的提出与质疑之后，教师需要引导学生对相对完善的猜想作出相应合理的处理。要让学生明白猜想只一种认知的延伸，是问题解决的第一部分。猜想的结论没有支撑点，不一定就是正确，数学是严密的，对于猜想的结果是需要验证或证明的。 特别是在数学教学过程中，我们要让每一位学生意识到猜想是解决问题的第一步，紧随其后的是你会用什么说明你的猜想是正确的，这需要证明或验证，使学生养成严密的逻辑思考的习惯。让学生证明自己的观点或别人的观点，在证明的过程中明确如何辩证正确的看待问题、如何真正的解决问题。就如“菱形的性质：四边相等”，有的学生根据自己的折纸过程利用“轴对称”知识就很好的解决了，有的学生“利用：一组邻边相等的平行四边形是菱形的定义”证明了这一个性质。5、 如何推广猜想的成果？数学学习是为了解决问题，在对事物从猜想到猜想结果的验证与证明过程中，我们总能产生一些有用的结论和方法及如何最短距离的解决问题，这些结论和方法是我们今后再学习的基础。因此，要求在教学过程中，教师应该帮助学生总结这些宝贵的知识和经验，引导学生重新回顾整个思考的过程及同学补充的内容与方法，几分钟的总结、回顾会让学生更加的明确整个思考、形成的过程，不但有利于知识的巩固，而且在巩固的基础上能够得到不同程度的升华。如对一些获得验证或证明的猜想提示学生是否还可以进一步的猜想，寻求新的突破。就如菱形的性质：菱形的面积等于两条件对角线乘积的一半。我们就可以进行再次的延伸：对于一个普通的对角线互相垂直的的四边形面积计算是否也能用这个结论呢？“猜想”行走于数学教学过程中，如果我们能够合理的适时、有