【学海导航】2013届高考数学第一轮总复习 8.3抛物线（第2课时）课件 理 （广西专版）

第八章圆锥曲线方程 抛物线 第讲 3 第二课时 题型4以抛物线为背景求变量的取值范围 1 已知抛物线y x2上存在两个不同的点M N关于直线对称 求k的取值范围 解 设M x1 x12 N x2 x22 关于已知直线l对称 所以MN l 所以即又MN的中点在l上 所以因为中点必在抛物线开口内 所以即 所以k2 则k 故所求实数k的取值范围是 点评 求参数的取值范围问题 关键是得出参数的不等式 组 本题是根据中点在抛物线内这一性质 转化为相应不等式 本题还可以根据直线与抛物线相交问题中 一是有两个解 二是MN的中点在l上得出 抛物线x2 2y上距离点A 0 a a 0 最近的点恰好是抛物线的顶点 求a的取值范围 解 设P x y 为抛物线上任意一点 则因为a 0 所以a 1 1 由于y 0 且 PA 最小时 y 0 所以 1 a 1 0 即0 a 1 故a的取值范围是 0 1 2 2010 湖北卷 已知一条曲线C在y轴右边 C上每一点到点F 1 0 的距离减去它到y轴距离的差是1 1 求曲线C的方程 2 是否存在正数m 对于过点M m 0 且与曲线C有两个交点A B的任一直线 都有 0 若存在 求出m的取值范围 若不存在 请说明理由 题型5探究或证明抛物线的有关性质 解 1 方法1 设P x y 是曲线C上任意一点 那么点P x y 满足 x 1 x 0 化简得y2 4x x 0 方法2 由已知曲线C上任意一点P到点F 1 0 的距离与到直线x 1的距离相等 所以曲线C是以F 1 0 为焦点 x 1为准线的抛物线 故曲线C的方程为y2 4x x 0 2 设过点M m 0 的直线l与曲线C交于A x1 y1 B x2 y2 l的方程为x ty m 由此可见存在正数m 对于过点M m 0 且与曲线C有两个交点A B的任一直线 都有 且m的取值范围是 3 2 3 2 点评 本题主要考查直线与抛物线的位置关系 抛物线的性质等基础知识 同时考查推理运算能力 1 过抛物线y2 4x的焦点F作直线l交抛物线于A B两点 设若 4 9 求直线l在y轴上的截距的取值范围 解 设点A x1 y1 B x2 y2 由已知得抛物线的焦点为F 1 0 因为所以 x2 1 y2 1 x1 y1 所以 由 得y22 2y12 又因为y12 4x1 y22 4x2 所以x2 2x1 联立 解得x2 依题意有 0 所以B 2 或B 2 所以直线l的方程为 1 y 2 x 1 或 1 y 2 x 1 从而直线l在y轴上的截距为或因为当 4 9 时 是减函数 故当 4时 b 当 9时 b 所以b 同理可得 当时 有b 故直线l在y轴上的截距的取值范围是 2 设直线x ay 2 0与抛物线y2 2x相交于相异两点A B 以线段AB为直径作圆M 1 证明 抛物线的顶点在圆M的圆周上 2 求当a为何值时 圆M的面积最小 解 1 证明 由可得y2 2ay 4 0 设点A x1 y1 B x2 y2 则y1 y2 2a y1y2 4 从而 所以x1x2 y1y2 0 即所以故点O在圆M上 2 因为x1 x2 a y1 y2 4 2a2 4 又M是线段AB的中点 所以点M a2 2 a 所以当且仅当a 0时取等号 故当a 0时 圆M的面积最小 1 抛物线的定义反映了抛物线的本质 灵活利用定义往往可以化繁为简 化难为易 且思路清晰 解法简捷 巧妙的解法常常来源于对定义的恰当运用 要很好地体会 2 抛物线的几何性质 要与椭圆 双曲线加以对照 但由于抛物线的离心率为1 所以抛物线的焦点弦具有很多重要性质 而且应用广泛 例如 已知抛物线y2 2px