初四27题二次函数专项集锦(一)直角、相似、等腰问题及.doc

直角三角形1.已知：如图一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点；二次函数的图象与一次函数的图象交于两点，与轴交于两点且点坐标为（1,0）（1）求二次函数的解析式；（2）求四边形的面积；（3）在轴上是否存在点，使得是以为直角顶点的直角三角形？若存在，求出所有的点，若不存在，请说明理由.（4）在抛物线上是否存在点，使得是以B或C为直角顶点的直角三角形？若存在，求出所有的点，若不存在，请说明理由.OyxDEAB2C2. 在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板放在第一象限，斜靠在两坐标轴上，且点，点，如图所示；抛物线经过点（1）求点的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）在抛物线上是否还存在点（点除外），使仍然是以为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点的坐标；若不存在，请说明理由3.如图，在平面直角坐标系中，将一块等腰直角三角板斜靠在两坐标轴上放在第二象限，点C的坐标为点在抛物线的图象上，过点作轴，垂足为，且点横坐标为（1）求证：；（2）求所在直线的函数关系式；（3）抛物线的对称轴上是否存在点，使是以为直角边的直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由4. 如图,在平面直角坐标系中，ABC是直角三角形,ACB=900,AC=BC,OA=1，OC=4，抛物线经过A，B两点，抛物线的顶点为D（1）求b,c的值；（2）点E是直角三角形ABC斜边AB上一动点(点A、B除外)，过点E作x轴的垂线交抛物线于点F，当线段EF的长度最大时，求点E的坐标；（3）在（2）的条件下：求以点、为顶点的四边形的面积；在抛物线上是否存在一点P，使EFP是以EF为直角边的直角三角形? 若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，说明理由.5. 如图，已知抛物线y=x2bxc与x轴交于A、B两点（A点在B点左侧），与y轴交于点，对称轴是直线x=1，直线BC与抛物线的对称轴交于点D（1）求抛物线的函数表达式；（2）求直线BC的函数表达式；（3）点E为y轴上一动点，CE的垂直平分线交CE于点F，交抛物线于P、Q两点，且点P在第三象限当线段PQ=AB时，求tanCED的值；当以点C、D、E为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出点P的坐标温馨提示：考生可以根据第（3）问的题意，在图中补出图形，以便作答BAOCD11x=1xy备用图BAOCD11x=1xy角与相似6.如图，四边形是平行四边形，抛物线过三点，与轴交于另一点.一动点以每秒1个单位长度的速度从点出发沿向点运动，运动到点停止，同时一动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿向点运动，与点同时停止.（1）求抛物线的解析式；（2）若抛物线的对称轴与交于点，与轴交于点，当点运动时间为何值时，四边形是等腰梯形？（3）当为何值时，以为顶点的三角形与以点为顶点的三角形相似？yxAOBCD7. 如图，已知抛物线经过、两点(1)求抛物线的解析式；(2)将直线向下平移个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个公共点，求的值及点的坐标；(3)如图，若点在抛物线上，且，则在(2)的条件下，求出所有满足的点的坐标(点、分别与点、对应)8.如图，已知抛物线的方程:与轴相交于点、，与轴相交于点，且点在点的左侧.（1）若抛物线过点(2，2)，求实数的值（2）在（1）的条件下，求的面积（3）在（1）的条件下，在抛物线的对称轴上找一点，使最小，并求出点的坐标（4）在第四象限内，抛物线上是否存在点，使得以点、为顶点的三角形与相似?若存在，求的值；若不存在，请说明理由 9.在平面直角坐标系中，抛物线与轴的两个交点分别为A（-3，0）、B（1，0），过顶点C作CHx轴于点H.（1）直接填写：= ，b= ，顶点C的坐标为 ；（2）在轴上是否存在点D，使得ACD是以AC为斜边的直角三角形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，说明理由；（3）若点P为x轴上方的抛物线上一动点（点P与顶点C不重合），PQAC于点Q，当PCQ与ACH相似时，求点P的坐标. ABHCABHC（备用图）等腰三角形10.已知抛物线经过、三点，直线是抛物线的对称轴(1)求抛物线的函数关系式；(2)设点是直线上的一个动点，当的周长最小时，求点的坐标；(3)在直线上是否存在点，使为等腰三角形，若存在，直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由 11. 已知直线与轴、轴分别交于两点，抛物线经过点，点是抛物线与轴的另一个交点（1）求这条抛物线的解析式及点的坐标；（2）设点是直线上一点，且，求点的坐标；（3）如果点在这条抛物线上，在轴的正半轴上是否存在点，使为等腰三角形，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由12.如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点A，交轴于点B，将AOB绕原点O顺时针旋转90后得到COD，抛物线经过点A、C、D（1）求点A、B的坐标； （2）求抛物线的解析式； （3）已知在抛物线与线段AD所围成的封闭图形（不含边界）中，存在点，使得PCD是等腰三角形，求的取值范围1. 解：（1）的坐标代入得解析式3分（2）设，则有解得，.6分由图可知：又由对称轴为可知8分（3）设符合条件的点存在，令.当为直角顶点时，如图，过作轴于.即.整理得，解得或所求的点的坐标为或综上所述：满足条件的点共有二个.12分2. 解：（1）过点作轴，垂足为，又，点的坐标为（2）抛物线经过点，则得到，解得，所以抛物线的解析式为；（3）假设存在点，使得是直角三角形；若以为直角边，点为直角顶点；则延长至点使得，得到等腰直角三角形，过点，作轴，如图，可求得点；经检验点在抛物线上；若以为直角边，点为直角顶点；则过点作，且使得，得到等腰直角三角形，过点作轴，如图同理可证；，可求得点；经检验点也在抛物线上；若以为直角边，点为直角顶点；则过点作，且使得，得到等腰直角三角形，过点作轴，如图同理可证；，可求得点；经检验点不在抛物上故符合条件的点有两点3. 解：（1） ， 为等腰直角三角形，在和中，（AAS）（2）C点坐标为，BD=CO=1B点的横坐标为，B点坐标为 设所在直线的函数关系式为，则有解之，得 BC所在直线的函数关系式为 （3）存在二次函数解析式为=，对称轴为直线 若以为直角边，点为直角顶点，对称轴上有一点，使 点为直线与对称轴直线的交点ABDCOxy P1P2由题意，得 解之，得 若以为直角边，点为直角顶点，对称轴上有一点，使，过点作，交对称轴直线于点CD=OA， A（0，2）易求得直线的解析式为，由 得满足条件的点有两个，坐标分别为4. 解：（1）由已知得：A（-1，0） B（4，5）二次函数的图像经过点A（-1，0）B(4,5) 解得：b=-2 c=-3（2）直线AB经过点A（-1，0） B(4,5)直线AB的解析式为：y=x+1二次函数设点E(t， t+1),则F（t，） EF= =当时，EF的最大值=点E的坐标为（，）（3）如图：顺次连接点E、B、F、D 可求出点F的坐标（，）,点D的坐标为（1，-4） S=S+S= )过点E作aEF交抛物线于点P,设点P(m,)则有： 解得:, ,）过点F作bEF交抛物线于，设（n，）则有： 解得： ，（与点F重合，舍去）综上所述：所有点P的坐标为，（. 5. （1）抛物线的对称轴为直线x=1，BAOCD11x=1xyEFPQG抛物线与y轴交于点C（0，3），c=3，抛物线的函数表达式为y=x22x3（2）抛物线与x轴交于A、B两点，当y=0时，x22x3=0x1=，x2=3.A点在B点左侧，A（，0），B（3，0）.设过点B（3，0）、C（0，3）的直线的函数表达式为y=kxm，则，直线BC的函数表达式为y=x3（3）AB=4，PO=AB，PO=3 POy轴，POx轴，则由抛物线的对称性可得点P的横坐标为，P F，FC=3OF=3=PO垂直平分CE于点F，CE=2FC=点D在直线BC上，当x=1时，y=，则D（1，2）过点D作DGCE于点G，DG=1，CG=1，GE=CECG=1=在RtEGD中，tanCED=P1（1，），P26. 解：（1）四边形是平行四边形，1分抛物线过点，2分由题意，有解得3分所求抛物线的解析式为4分（2）将抛物线的解析式配方，得抛物线的对称轴为5分欲使四边形为等腰梯形，则有7分（3）欲使以点为顶点的三角形与以点为顶点的三角形相似，有或即或若在轴的同侧.当时，=，8分当时，即解得9分若在轴的异侧.当时，10分当时，即.解得.故舍去. 11分当或或或秒时，以为顶点的三角形与以点为顶点的三角形相似. 7. 解：(1) 抛物线经过点、解得： 抛物线的解析式是(2) 设直线的解析式为，由点，得：，解得 直线的解析式为 直线向下平移个单位长度后的解析式为： 点在抛物线上 可设又点在直线上， ，即 抛物线与直线只有一个公共点，164m0，解得：m4此时2，2， D点坐标为(2，2)(3) 直线的解析式为，且， 点A关于直线的对称点的坐标是(0，3)设直线的解析式为，过点， ，解得： 直线的解析式是 ， 点在直线上， 设点，又点在抛物线上，解得：， (不合题意，会去)， 点的坐标为方法一：如图，将沿轴翻折，得到，则， 、都在直线上 ， ， ， 点P1的坐标为将沿直线翻折，可得另一个满足条件的点综上所述，点P的坐标是或方法二：如图，将NOB绕原点顺时针旋转90，得到，则，、都在直线上 ， ， ， 点的坐标为将沿直线翻折，可得另一个满足条件的点综上所述，点的坐标是或8. 解：（1）依题意将代入得2=，解得. （2）令，得.，.在中，令得.（3）当时，易得对称轴，又、关于对称.连交于，则使最小. 设直线：，将，代入得，将代入得. （4）分两种情况讨论（每写出一种相似情形给1分）右图当时，作轴，垂足为，则.可令，又点在抛物线上，.0（0），此时.又，又，. 如图（同上图略）当，则，同，可令，又在抛物线上，.，.又，整理得：0=16，显然不成立. 综合得，在第四象限内，抛物线上存在点，使以点、为顶点的三角形与相似，.9. 解：（1），顶点C的坐标为（-1，4）（2）假设在y轴上存在满足条件的点D, 过点C作CEy轴于点EPABHCQM（图）PABHCQFN（图）132ABHCE由CDA=90得，1+2=90 又2+3=90，3=1 又CED=DOA =90，CED DOA，设D（0，c），则变形得，解之得综合上述：在y轴上存在点D（0，3）或（0，1），使ACD是以AC为斜边的直角三角形 （3）若点P在对称轴右侧（如图），只能是PCQCAH，得QCP=CAH延长CP交x轴于M，AM=CM， AM2=CM2设M（m，0），则( m+3)2=42+(m+1)2，m=2，即M（2，0）设直线CM的解析式为y=k1x+b1，则， 解之得，直线CM的解析式 联立，解之得或(舍去) 若点P在对称轴左侧（如图），只能是PCQACH，得PCQ=ACH过A作CA的垂线交PC于点F，作FNx轴于点N由CFACAH得，由FNAAHC得, 点F坐标为（-5,1） 设直线CF的解析式为y=k2x+b2，则，解之得直线CF的解析式 联立 ，解之得 或 (舍去) 满足条件的点P坐标为或 10. 解：（1）由题意得 解得 抛物线的函数关系式为：. （2），抛物线的对称轴为：直线. 连接交对称轴于点，因为点与点关于对称轴成轴对称，所以点为所求的点.6分解法一：设直线交轴于点，则.，.轴，. 点在上，点的坐标是. 解法二：设直线的函数关系式为，将、代入，得解得： . 点在对称轴上，点的横坐标为1.当时，点的坐标是（1，2）. （3）符合条件的点共有4个：（1，0），（1，），（1，1）. 11题11. 解：（1）当时，当时，抛物线经过点，解得，这条抛物线的解析式为.当时，整理得，解得，点 （2）当点在线段上时，过点作轴于，又轴，又， 当点在的延长线上时，过点作轴于，又轴， （3）在轴的正半轴上存在符合条件的点点在这条抛物线上，点，连接，设，满足，其中在中，；在中，即解得，即，符合题意设，满足，其中点，点，在中，即，解得（舍去）或，即，符合题意设，满足，其中在中，即，解得（舍去）或，即直线的解析式为，而在直线上，不符合题意，舍去在轴的正半轴上存在符合条件的点，点或 12. 解：（1）当x=0时，y=2当y=0时，由2x+2=0得x=-1 A（-1，0） B（0，2） （答对一个坐标得2分）（2）由旋转可知：OC=OA=1，OD=OB=2 C（0，1）， D（2，0） 设抛物线的解析式是 依题意得 解得 抛物线的解析式是（3）在中，由C（0，1）， D（2，0）可得若PCD是等腰三角形，则有以下三种情