5.1 大学物理 角动量与角动量守恒

第五章角动量 关于对称性 一质点的角动量定理和角动量守恒定律 1 质点的角动量 质点以角速度作半径为的圆运动 相对圆心的角动量 质量为的质点以速度在空间运动 某时刻相对原点O的位矢为 质点相对于原点的角动量 大小 的方向符合右手法则 动量矩 M Frsin Fd L rpsin m rsin m d 力矩的大小 问题 一质量为m的质点沿一直线以速率 运动 它对直线上某点的角动量为 它对与直线相距d的某点的角动量为 0 m d 质点对o点的角动量 动量矩 为 若质点m以角速度 沿半径r的圆周运动 如图 质点对给定点o 圆心 的角动量的大小 角动量的大小和方向不仅决定于质点的运动 也依赖于所选定的参考点 即参考点不同 质点的角动量也不同 L m r mr2 作用于质点的合力对参考点O的力矩 等于质点对该点O的角动量随时间的变化率 2 质点的角动量定理 质点角动量定理的微分形式 第五章角动量 关于对称性 5 1质点的角动量 1 质点相对某参考点运动的共同特征 掠面速度 行星绕太阳公转时 掠面速度守恒 水平面上一端固定的橡皮筋其另一端小物体对固定点的掠面速度守恒 作均速直线运动的质点对O点的掠面速度守恒 定义 是质点对参考点的动量矩 角动量 方向 是参考点指向质点的矢量 单位 量纲 角动量是描述物体的转动特征的物理量 大小 是矢量 是状态量 它与参考系和参考点都有关 2 角动量 angularmomentum 例题1如图质点m以速率v做圆锥运动 求对O 点和对O点的角动量 设摆长为b 解 如图对O点 方向 向上 是常矢量 对O 点 方向 垂直摆线向外 方向始终在变 其端亦在水平面内画一圆 不是常矢 5 1 2力对一参考点的力矩 参考点指向质点的位置矢量 方向 单位 N m量纲 ML2T 2 大小 定义 若质点受N个力同时作用时 即诸力对参考点的力矩的矢量和等于合力对同一参考点的力矩 说明 1 力矩是瞬态量 2 力矩与参考点的选择有关 质点m相对圆锥运动中心O矢径 对O 点 解 质点m相对圆锥摆悬点O 的矢径 例题2求作用于圆锥摆质点m上的重力 拉力及合力的力矩 摆长r0 对质点 合力对某一参考点的力矩等于各分力对同一参考点力矩的矢量和 如本题 对O点 5 1 3质点对参考点的角动量定理和守恒定律 设参考点静止 则 由 角动量定理微分形式 得 1 质点角动量定理 掠面速度 2 质点角动量守恒定律 即 外力对定点的力矩为零时 质点对该点的角动量守恒 为恒矢量 质点作平面运动 初始条件定 掠面速度守恒 5 1 4质点对轴的角动量定理和守恒定律 1 质点对轴的角动量定理 过参考点O建立坐标轴 则上式在z轴上的投影为 称质点对z轴的角动量定理的微分形式 质点对参考点O的角动量定理 2 力对轴的力矩 如图 力对O点力矩 因 在z轴上的投影为0 若参考点选在O 点 Mz不变 力矩在z轴上的投影为 力对z轴上任意一点力矩在z轴上的投影等于力对z轴的力矩 均在与z轴垂直的平面上 角动量同样有 3 角动量在轴上的投影 均在与z轴垂直的平面上 4 质点对轴的角动量守恒定理 例题3 卢瑟福等人发现用 粒子轰击金铂时有些入射偏转角很大 甚至超过90 卢瑟福于1911年提出原子必有一带正电的核心 即原子核 此即原子结构的行星模型 已知 粒子的质量为m 以速度接近电荷为Ze的重原子核 瞄准距离为b 如图所示 求 粒子接近重核的最近距离 设原子核质量比 粒子大很多 可近似看作静止 a 解 设z轴垂直于粒子运动平面且通过重核中心 对z轴的角动量 故 粒子最接近重核 距离为d 时角动量为dmv 对z轴的角动量守恒 得 只有静电力作用 故能量守恒 将v代入得 因d只能为正 故式负号无物理意义 舍去 例4一半径为R的光滑圆环置于竖直平面内 一质量为m的小球穿在圆环上 并可在圆环上滑动 小球开始时静止于圆环上的点A 该点在通过环心O的水平面上 然后从A点开始下滑 设小球与圆环间的摩擦略去不计 求小球滑到点B时对环心O的角动量和角速度 解小球受重力和支持力作用 支持力的力矩为零 重力矩垂直纸面向里 由质点的角动量定理 考虑到 得 由题设条件积分上式 5 2质点系的角动量定理及角动量守恒定律 5 2 1质点系对参考点的角动量定理及守恒定律 1 质点系对参考点的角动量 对参考点 对质点系中的第i个质点 有 其中 对质点系 有 2 内力的力矩 因质点i与质点j间的相互作用力关系为 且二力到参考点O的垂直距离相等 故成对出现的内力对O点的力矩矢量和为零 即 3 质点系对参考点的角动量定理 即质点系对给定点 参考点 的角动量的时间变化率等于作用在体系上所有外力对该点力矩矢量和 4 质点系对参考点角动量守恒定律 若 即若外力对参考点的力矩的矢量和始终为零 则质点系对该点的角动量保持不变 5 2 2质点系对轴的角动量定理及守恒律 设质点在垂直于z轴的平面内运动 第i个质点对z轴的角动量 1 质点系对轴的角动量 质点系对轴的角动量 2 质点系对轴的角动量定理 质点在垂直于z轴的平面内运动 第i个质点 对质点系 而 称质点系对z轴的角动量定理 3 质点系对轴的角动量守恒定律 若 若质点系各质点绕z作圆周运动 例如 茹可夫斯基凳 花样滑冰等 讨论 花样滑冰跳水运动员跳水 质点所受对参考点O的合力矩为零时 质点对该参考点O的角动量为一恒矢量 恒矢量 冲量矩 质点的角动量定理 对同一参考点O 质点所受的冲量矩等于质点角动量的增量 3 质点的角动量守恒定律 质点角动量定理的积分形式 例题4 装置如图所示 滑轮两边悬挂的重物与盘的质量相同而处于平衡 现有距盘底高为h质量为m 的胶泥自由下落 求胶泥粘在盘上时盘获得的初速度 滑轮和绳质量不计 不计轴承摩擦及绳的伸长 解 胶泥自由下落至盘面的速度为 将盘 重物和胶泥视为质点系 绳的拉力及物体所受重力为外力 因不计滑轮 绳质量及轴承摩擦 两边绳的拉力相等 重物与盘所受重力也相等 它们对轴心O的力矩之和为零 故质点系所受外力对O点的力矩之和就等于胶泥的重力矩 不等于零 但在碰撞时 胶泥与盘之间的碰撞内力对O点的力矩远大于外力矩之和 即内力矩对质点系内各质点运动的影响远大于外力矩的影响 讨论质点系内各质点的运动时 可不计外力矩 故在碰撞时 可用质点系对O轴角动量守恒方程求近似解 取垂直纸面朝向读者的方向为O轴正方向 有 得 绳不伸长 故 将代入 得 例5演员X由距水平跷板高为h处自由下落到一刚性轻跷板的一端A 并把跷板另一端的演员Y弹了起来 设跷板的长度为l 跷板可绕中部支撑点C在竖直平面内转动 演员的质量均为m 假定演员X落在跷板上 与跷板的碰撞是完全非弹性碰撞 问演员Y可弹起多高 解碰撞前X落在A点的速度 碰撞后的瞬间 X Y具有相同的角速度 把X Y和跷板作为一个系统 角动量守恒 解得 演员Y以v起跳 达到的高度 5 3质点系对质心的角动量定理和守恒定律 角动量定理和角动量守恒定律只在惯性系中成立 以质心C为参考点 建质心坐标系 各坐标轴与基本参考系平行 由于质心具有加速度 所以要计入相应的惯性力力矩 5 31质心系中的角动量定理 0 而惯性力的力矩 因而 质点系对质心的角动量定理 注意 质心系角动量定理虽与质点或质点系的角动量定理具有完全相同的形式 但后者总被强调在惯性系中成立 而质心即使有加速度 质心系为非惯性系 质心角动量定理仍成立 质点系对质心的角动量的