(1)弹性波的基本理论

第一节弹性介质与地震波一 弹性介质地震勘探的地球物理前提是地层间的弹性差异 地震勘探中将地层叫做介质 因此需要研究地层介质的弹性性质 第一章地震勘探的理论基础 岩层受外力产生形变 将岩层随外力消失而恢复原形的形变称为弹性形变 产生弹性形变的介质叫弹性介质 在弹性介质内传播的地震波称地震弹性波 研究地震弹性波可用弹性波理论 如虎克定律等 可以对介质进行分类如下 一 各向同性介质和各向异性介质对某一特定岩层 如果沿不同方向测定的物理性质均相同 称各向同性介质 否则是各向异性介质 二 均匀介质 层状介质若介质的弹性性质不仅与测定方向无关 而且与坐标位置无关 就称为均匀各向同性介质 如速度v c 常数 非均匀介质中 介质的性质表现出成层性 称这种介质为层状介质 其中每一层是均匀介质 不同介质层的分界处称界面 平面或曲面 两个界面之间的间隔称为该层的厚度 界面 h厚度 界面 将速度v是空间连续变化函数的介质定义为连续介质 连续介质是层状介质的一种极限情况 即当层状介质的层数无限增加 每层的厚度h无限减小 层状介质就过渡为连续介质 如v v0 1 z 叫线性连续介质 V0是表层介质的速度 z是深度 是速度随深度的变化率 三 连续介质 一 应力与应变应力 弹性体受力后产生的恢复原来形状的内力称内应力 简称为应力 应力和外力相抗衡 阻止弹性体的形变 二 应力应变与弹性参数 对于一个均匀各向同性的弹性圆柱体 设作用于s面上的法向应力为N 若力f在s面上均匀分布 则应力pn定义为Pn f s 1 1 1 若外力f非均匀分布 则可以取一小面元 S 作用于小面元上的外力为 f 则应力定义为 因此应力的数学定义为 单位横截面上所产生的内聚力称为应力 根据力的分解定理 可以将力分解成垂直于单元面积的应力 法向应力 相切于单元面积的应力 切向应力 剪切应力 应力与应变 正应力 x y z使介质产生纵波 切应力 xy xz yz ij使介质产生横波 下脚标i表示应力方向 j表示应力作用于垂直于j轴的平面 物理定义 弹性体受应力作用 产生的体积和形状的变化称为应变 只发生体积变化而形状不变的应变称正应变 反之 只发生形状变化的应变称为切应变 数学定义 弹性理论中 将单位长度所产生的形变称应变 2 应变 例如 柱体原长为L 长度的变化量位 L 则应变等于 L L3 应力与应变的关系应力与应变成正比关系的物体叫完全弹性体 虎克定律表示了应力与应变之间的线性关系 对于一维弹性体 虎克定律为F kx对于三维弹性体 用广义虎克定律表示应力与应变之间的关系 二 弹性模量 弹性参数 1 杨氏弹性模量 E E表示膨胀或压缩情况下应力与应变的关系 所以又叫压缩模量 数学定义 物体受胀缩力时应力与应变之比 设沿x方向受应力为f s 产生的应变为 L L 则杨氏弹性模量物理定义 杨氏弹性模量表示固体对所受作用力的阻力的度量 固体介质对拉伸力的阻力越大 则杨氏弹性模量越大 物体越不易变形 反过来说 坚硬的不易变形的物体 杨氏弹性模量大 在拉伸变形中 物体的伸长总是伴随着垂直方向的收缩 所以把介质横向应变与纵向应变之比称泊松比 2 泊松比 式中加负号表示纵向拉长总是伴随着横向缩短 为使泊松比为正 要加负号 显然泊松比是表示物体变形性质的一个参数 如果介质坚硬 在同样作用力下 横向应变小 泊松比就小 可小到0 05 而对于软的未胶结的土或流体 泊松比可高达0 45 0 5 一般岩石的泊松比为0 25左右 设一物体 受到静水柱压力p的作用 产生体积形变 v v 其中v是物体的原体积 v是体积变化量 但形状未发生变化 则这种情况下的应力与应变的比称为体变模量 3 体变模量 指物体受剪切应力作用 并发生形状变化时 应力与应变之比 如图所示 受剪切力为 xy 切变角为 则剪切模量为 xy 4 剪切模量 弹性模量 是阻止剪切应变的度量 液体的 0 因此没有抗剪切能力 液体内也不会产生横波 弹性模量之间的关系式 三 波动方程 是地震波传播规律的方程 在不同的介质模型中 地震波传播有不同的规律 各种不同的传播规律需用不同的传播方程描述 均匀 各向同性 理想弹性介质是一种最简单的介质模型 根据固体弹性动力学理论 地震波在均匀 各向同性 理想弹性介质中传播满足以下偏微分方程 该式称为矢量弹性波方程 式中矢量U表示介质质点受外力 F 作用后的位移 称为位移矢量 U U u v w u v w分别为三个坐标轴的位移分量 矢量F表示对介质的外力 称为力矢量 在弹性波方程中 外力F 爆炸力或锤击 既包含胀缩力 正压力 也包含旋转力 剪切力 位移U也包含体变和形变两部分 对 1 1 7 式两边取散度 div 即对介质只施加胀缩力 可得纵波满足的方程 同样 若对 1 1 7 式两边取旋度 即只对介质施加旋转力 可得横波满足的方程 令 1 1 10 rotF代表旋转力 该式描述了在只有旋转力作用时 弹性介质只产生与形变 有关的扰动 1 1 9 式为用位移表示的横波波动方程 式中vs为横波传播速度 为使纵 横波方程简单化 在场满足一定的物理条件下 可进一步用标量位函数表达纵 横波方程 位函数表示的纵 横波波动方程 式 1 1 12 1 1 13 是标量位函数表示的三分量标量波动方程 1 1 12 式是纵波标量波动方程 在波传播方程中 当速度vp vs分别为