二阶常系数齐次线性微分方程ppt课件

第五节二阶常系数齐次线性微分方程 这是一类有专门的求解方法微分方程 定义形如y py qy f x 的方程称为二阶常系数线性微分方程 其中p q是常数 f x 称为自由项 特别地 当f x 0时 y py qy 0称为二阶常系数线性齐次微分方程 否则称为线性非齐次微分方程 证毕 是方程 的两个解 也是该方程 证 代入方程左边 得 定理 叠加原理 的解 定理表明 二阶线性齐次微分方程任何两个解y1 x y2 x 的线性组合 那么 是不是方程的通解呢 仍是方程的解 例 对于二阶常系数线性齐次微分方程 容易验证 也是它的解 但这个解中只含有一个任意常数C 显然它不是所给方程的通解 由定理知 都是它的解 问题 方程的两个特解y1 x y2 x 满足什么条件时 的通解 由例7 12的分析可知 如果方程的两个特解y1 x y2 x 之间不是常数倍的关系 那么它们线性组合得到的解 就必定是方程的通解 才是方程 定义设y1 x 与y2 x 是定义在某区间内的两个函数 如果存在不为零的常数k 或存在不全为零的常数k1 k2 使得对于该区间内的一切x 有 成立 则称函数y1 x 与y2 x 在该区间内线性相关 否则称y1 x 与y2 x 线性无关 思考 中有一个恒为0 则 必线性 相关 定理 二阶齐次线性方程通解的结构 是二阶线性齐次方程的两个 线性无关的特解 则 数 是该方程的通解 例如 方程 有特解 且 常数 故方程的通解为 将y erx代入方程y py qy 0得 r2 pr q erx 0 分析 考虑到当y y y为同类函数时 有可能使y py qy恒等于零 而函数erx具有这种性质 所以猜想erx是方程的解 二阶齐次线性方程通解的求法 由此可见 只要r满足代数方程r2 pr q 0 函数y erx就是微分方程的解 r2 pr q 0叫做微分方程y py qy 0的特征方程 特征方程的求根公式为 1 当 时 方程有两个相异实根 则微分方程有两个线性无关的特解 因此方程的通解为 设r1 r2是特征方程的两个根 2 当 时 特征方程有两相等实根 则微分方程有一个特解 设另一特解为 u x 待定 是特征方程的重根 取u x 得 因此原方程的通解为 得 代入原微分方程 3 当 时 方程有一对共轭复根 这时原方程有两个复数解 利用解的叠加原理 得原方程线性无关特解 因此原方程的通解为 实根 特征根 通解 1 写出微分方程的特征方程r2 pr q 0 2 求出特征方程的两个根r1 r2 求y py qy 0的通解的步骤 3 根据特征方程根的不同情况 写出微分方程的通解 因此微分方程的通解为y C1e x C2e3x 例1求微分方程y 2y 3y 0的通解 解 微分方程的特征方程为 r2 2r 3 0 特征方程有两个不等的实根r1 1 r2 3 即 r 1 r 3 0 例2求解初值问题 解 特征方程 特征根为 因此原方程的通解为 由初始条件得 于是所求初值问题的解为 例3求微分方程 解 所给方程的特征方程为 其根为 故所求通解为 的通解 习题6