第5讲-矩阵的运算.ppt

4 矩阵的转置 5 方阵的行列式 1 矩阵的加法 减法 2 矩阵的数乘 三 矩阵的运算 3 矩阵与矩阵相乘 6 方阵的伴随矩阵 第五讲矩阵的定义及运算 一 矩阵的定义 7 方阵的逆矩阵 二 几种特殊的矩阵 1 AB BA 3 AB O A O或B O 2 AC BC A B 1 矩阵乘法性质除下列几条外 其余和实数的乘法性质相同 4 A2 O A O 乘法一般不满足交换律A左乘B 右乘 乘法一般不满足消去律 相同的运算律P33 例 三 矩阵与矩阵相乘 2 单位矩阵性质 ImAm n Am n Am nEn Am n 单位阵与任意矩阵相乘 只要有意义 结果不变 类似于数1在数的乘法中的作用 EA AE A注意E阶数 3 方阵的幂 对于方阵A及自然数k记Ak A A A k个A相乘 只有方阵才能自乘 规定 性质 1 ArAs Ar s 2 Ar s Ars 思考 下列等式在什么时候成立 A B可交换时成立 AB BA 4 方阵的多项式 设为x的m次多项式 则称 为方阵A的m次多项式 f A 解 例 已知f A 4 方阵的多项式 性质 2 A的几个多项式可像数x的多项式一样相乘或分解因式 1 若A为n阶方阵 则也为n阶方阵 设为x的m次多项式 则称 为方阵A的m次多项式 四 矩阵的转置P36 定义 把矩阵A的行换成同序数的列得到的新矩阵 叫做A的转置矩阵 记作AT 例 第1行变为第1列 第2行变为第2列 第n行变为第n列 4 AB T BTAT A1A2A3 An T An T An 1 T A2 T A1 T 1 转置的运算律P36 1 AT T A 2 A B T AT BT 3 kA T kAT 注意矩阵的次序 例已知 解法1 解法2 例已知 2 A是对称阵 说明 AT A 对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相等 例设A B为对称阵 判断下列矩阵是否为对称阵 A B A B AB kA 例2设列矩阵满足 证明 五 方阵的行列式 定义 由n阶方阵的元素所构成的行列式 叫做方阵A的行列式 记作 A 或detA 运算律P38 A detA 2 n为方阵的阶数 3 lA ln A determinant 1 AB A B k个A A k 注 AB BA AB A B BA B A 方阵积的行列式 行列式的积 尽管AB BA 但 k个 A B求行列式有意义 5次作业T3 运算律P38 2 lA ln A n为方阵的阶数 例1 则 lA l3 l3 A 例2 设矩阵A为八阶矩阵 l8 A lA 例3设A aij 为三阶矩阵 若已知 A 2 则 解 A A 2 3 A 2 3 2 16 2A 例4设A 254 4 53 134 B C 求 1 ATB2C 解 1 ATB2C AT B2 C A B 2 C 2 12 5 10 3BBT 2 32 BBT 2 32 B BT 2 81 2 3BBT 2 2 3BBT 2 六 n阶方阵的伴随矩阵 置 所得矩阵称为A的伴随矩阵 定理 设 则A的伴随矩阵为 伴随矩阵的基本性质 例 设 二阶伴随 主交换 副变号 可交换 P39 练习 证明 七 n阶方阵的逆 1 逆矩阵的定义 2 矩阵可逆的充要条件 4 逆矩阵的运算律 5 解矩阵方程 3 若矩阵A可逆 求逆 1 逆矩阵的定义 对于n阶方阵A 若 称A B互为逆矩阵 P39定义7 B A可逆 且 例1 E 若则C也是A的一个逆矩阵 B与C 例2 1 逆矩阵的定义 3 若A可逆 即 存在 则 4 不一定存在 即 A可能不可逆 2 若A可逆 逆矩阵必唯一 记作 A可逆 且 可交换 不能记作 2 矩阵可逆的充要条件P39定理1 2 P40推论 A可逆 A非奇异 A不可逆 A奇异 3 若矩阵A可逆 求 2 若存在 则 3 若存在 初等变换方法 是数 用于计算二阶方阵的逆 4 矩阵的转置 5