自适应课件(北航)5(5)

1 5 5利用输入 输出的模型参考自适应控制系统5 4 2节所述的自适应控制规律要用到系统的全部状态变量 这在具体实现时是困难的 有时甚至是难以办到的 这是因为并不是每一个状态变量都可测 所以寻找容易获得的系统信息来形成自适应控制规律是一种必然的发展 Narendra1978年提出的利用系统输入和输出量来设计模型参考自适应控制系统是一种较为成熟的设计方法 下面介绍它 5 5 1被控对象相对阶为1 即n m 1 的情况1 对象和参考模型设被控对象由下列状态方程和输出方程描述 5 67 式中 为矩阵 为输入向量 为向量 为n维状态向量 u为控制量 为输出量 均为未知或慢时变 2 相应的传递函数为 5 68 式中 和为n阶和m阶首一多项式 且 为被控对象增益 参数未知或慢时变 根据对象的结构和对系统的要求 确定参考模型为 响应的传递函数为 5 69 式中 分别为n维参考模型状态向量 参考输入和参考模型输出 为参考模型增益 和是与和相同结构的已知确定矩阵 和是m阶和n阶首一多项式 其系数与和相关 3 2 控制器结构由式 5 68 知 被控对象有个未知参数 或慢时变参数 为便于调节 我们设计可调系统 被控对象和自适应机构组成 也有个可调参数 以实现参考模型与对象的完全匹配 由于可用信息不足 现引入两个辅助信号产生器和 其中的输入信号为被控对象的输入u 有个可调参数 的输入为被控对象的输出它有n个可调参数 外加前馈增益 一共有个可调参数 相应的控制结构图如图5 11所示 各可调部分的表达式如下 辅助信号产生器 5 70 4 图5 11控制器结构图 辅助信号产生器 5 71 5 式中 为可调参数向量 为阶首一稳定多项式 且 为阶多项式 前馈控制器这里为可调增益 至此 被控对象的控制可表示为 5 72 式中 分别为信号向量和可调参数向量 6 3 模型匹配时的情况由图5 11知 可调系统的传递函数为 当调节参数使可调系统的传递函数与参考模型传递函数相等时 即 5 73 参考模型与可调系统完全匹配 此时的 c d 和均在右上角加 以示区别 此时有 5 74 5 75 7 由式 5 73 知 可调系统有个零点 其中为公因子 式 5 74 表明参考模型的零点就是辅助信号产生器的极点 设计确定后 亦随之而定 当和互质时 必有和使式 5 75 成立 4 自适应规律的推导根据式 5 67 式 5 70 式 5 71 和式 5 72 有 5 76 令 5 77 式中 表示可调系统与参考模型完全匹配时的参数向量 表示参数误差向量 将式 5 77 代入式 5 72 有 8 将上式代入式 5 76 并整理可得增广状态方程 5 78 式中 式 5 78 可视为可调系统增广状态方程 当时 即时 式 5 78 变为参考模型增广状态方程和输出方程 9 式中 相应的传递函数为 5 79 由于被控对象参数未知 不能确定 所以不能指望参考模型增广状态空间建立参考模型 但可以利用它导出增广状态误差方程 现定义 则增广状态误差方程为 5 80 10 视和分别为误差模型的输出和输入 则增广误差模型传递函数为 与式 5 79 比较 并考虑 有 5 81 5 82 从而 5 83 由于的相对阶为 所以的相对阶也选为1 并且的分子分母多项式应选为稳定的 故为正实传递函数 由式 5 82 可知也是正实传递函数 选李雅普诺夫函数为 式中 均为正定对称矩阵 11 上式对t求导 并考虑式 5 80 有 5 84 上式中 令 5 85 5 86 式中 Q为非负对称矩阵 则有 并且当时 有 由定义5 3 1有1 系统全局一致稳定 2 有界 并且 3 当充分激励时 此时自适应调节由式 5 86 来确定 为 12 5 87 由于前面已经说明为正实函数 根据定理5 3 7 有式 5 85 成立 并且所以式 5 87 变为式中 是可测量的 是信号向量也是可知的 所以式 5 88 作为自适应规律是可实现的 下面将以上的讨论从设计的角度加以归纳 1 已知被控对象的阶数和相对阶 n m 设计参考模型具有相同阶及相对阶 且分子分母是稳定的多项式 并具理想的动态性能 2 选择 并构造辅助信号状态方程 5 88 13 式中 3 参数自适应调节规律式中为正定对称矩阵 一般选为对角正定矩阵 4 控制规律 5 实现参考模型 辅助信号产生器 自适应调节规律和控制规律 当参考模型阶数低于对象阶数时 应在第 2 步考虑 使这里为稳定多项式 14 例5 5 1某过程可用下列数学模型描述 其中 用状态空间形式可表示为 5 89 现知过程参数随工作环境和条件而频繁变化 要求设计一个控制系统 使它对阶跃输入和方波信号有良好的跟踪能力 并有效克服参数时变给系统带来的不良影响 1 系统设计利用输入输出信息的模型参考自适应控制方法设计思路是 先根据输入信号和动静态要求设计一个参考模型 然后由过程和自适应机构组成可调系统 即控制器 通过调节可调系统的参数 实现过程与参考模型的完全匹配 1 参考模型的确定 参考模型的选择应使其输出具有理想的特性 如无稳态误差 适当的动态指标 并且其分子分母的阶次应与过程相同 15 式中 其状态空间形式可表示为 5 90 根据对系统动态和稳态的要求 以及考虑输入信号 我们不妨取 定义输出误差为2 辅助信号发生器的状态方程 选由设计方法应有 5 91 5 92 16 3 参数调节 定义信号向量和可调参数向量分别为参数调节规律为 4 控制规律仿真控制算法 1 初始化有关量 等 2 由式 5 90 求 由式 5 89 求 并由式 5 91 计算 3 根据式 5 92 用数值积分法求和 4 用数值积分法 由式 5 93 求 5 由式 5 94 求控制量 并实施 5 93 5 94 17 6 移位处理有关量 判断是否到达预定步数 否 去第 2 步 是 去第 7 步 7 打印图形 停止运行 2 仿真结果选计算步距 取 设可调参数初值和正定对称矩阵分别为 用数值积分法 欧拉法 求微分方程 用Matlab语言编写程序 1 跟踪响应 输入为方波信号 幅值为1 跟踪见图5 12 输出误差见图5 13 由图可知 系统具有较好的跟踪能力 2 抗过程参数变化 给定参考输入为单位阶跃信号 当时 对象参数突然变化 实际情况是缓慢变化 当时 过程参数再次突然变化 18 此时对象输出和误差随时间变化情况见图5 14 控制变化见图5 15 由图知 系统对过程参数时变有较好的抵御能力 至此 仿真表明达到预期目的 满足了控制要求 3 系统抵抗过程参数变化分析系统抗过程参数变化的能力 实质上是通过调节控制器参数来实现的 参数的及时调整 补偿了过程参数变化对输出的不良影响 过程参数变化首先影响输出 由于参考输出不受影响 不变化 由输出误差的定义知随同方向变化 图5 12系统输出跟踪参考输入 图5 13输出误差 19 图5 15对象参数时变时控制曲线 图5 14对象参数时变时和曲线 的变化引起控制器可调参数反方向变化 即若增大 则减小 若减小 则增大 再由知 控制器可调参数与控制表现为同方向变化的关系 的变化抑制进一步恶化 随着时间的推移 控制使输出误差趋于零 即向接近 下面结合具体波形加以分析说明 图5 16 图5 19是式 5 89 所示过程在前述控制方法下 加入单位阶跃输入 在处使过程参数发生下列变化时的变化曲线 20 过程参数变化引起上升 也同向上升 由 5 92 知 维持原变化率 增大 式 5 93 中不变 的变化率在负的方向迅速增大 即的各元急剧下降 见图5 18和5 19 由式 5 94 知 各元的下降引起下降 见图5 17 的减小抑制了上升 并使其开始下降 见图5 16 随着的一路下滑 当时 也改变方向 由正变负 并在此方向增大 同样由式 5 93 知 改变方向 由负变正 各元开始增大 于是由式 5 94 开始增大 它的增大有效地止住了的下滑 见图5 17和5 16 随着开始增大 重新开始上升 并越过 也再次开始改变方向 由负变正 此时的调节过程与刚开始时相同 由于增大的幅度较小 越过也不多 控制器参数的调节较轻 整个系统此时处在一种微调状态 当与很接近时 和轻微调节 并最终稳定在某新水平上 这新水平与过程参