24 用待定系数法求解析式.doc

龙文教育-您值得信赖的专业化个性化辅导学校 龙文教育个性化辅导授课案ggggggggggggangganggang纲 教师：李爱国 学生： 时间: 2012年 月 日 :00 :00段 求一次函数解析式的常见题型一次函数及其图像是初中代数的重要内容，也是高中解析几何的基石，更是中考的重点考查内容。其中求一次函数解析式就是一类常见题型。一. 定义型 例1. 已知函数是一次函数，求其解析式。 解：由一次函数定义知 ，故一次函数的解析式为 注意：利用定义求一次函数解析式时，要保证。如本例中应保证二. 点斜型 例2. 已知一次函数的图像过点（2，1），求这个函数的解析式。 解：一次函数的图像过点（2，1） ，即 故这个一次函数的解析式为 变式问法：已知一次函数，当时，y1，求这个函数的解析式。三. 两点型 已知某个一次函数的图像与x轴、y轴的交点坐标分别是（2，0）、（0，4），则这个函数的解析式为_。 解：设一次函数解析式为 由题意得 故这个一次函数的解析式为四. 图像型 例4. 已知某个一次函数的图像如图所示，则该函数的解析式为_。 解：设一次函数解析式为 由图可知一次函数的图像过点（1，0）、（0，2） 有 故这个一次函数的解析式为五. 斜截型 例5. 已知直线与直线平行，且在y轴上的截距为2，则直线的解析式为_。 解析：两条直线：；：。当，时， 直线与直线平行，。 又直线在y轴上的截距为2， 故直线的解析式为六. 平移型 例6. 把直线向下平移2个单位得到的图像解析式为_。 解析：设函数解析式为，直线向下平移2个单位得到的直线与直线平行 直线在y轴上的截距为，故图像解析式为七. 实际应用型 例7. 某油箱中存油20升，油从管道中匀速流出，流速为0.2升/分钟，则油箱中剩油量Q（升）与流出时间t（分钟）的函数关系式为_。 解：由题意得，即 故所求函数的解析式为（） 注意：求实际应用型问题的函数关系式要写出自变量的取值范围。八. 面积型 例8. 已知直线与两坐标轴所围成的三角形面积等于4，则直线解析式为_。 解：易求得直线与x轴交点为（，0），所以，所以，即 故直线解析式为或九. 对称型 若直线与直线关于 （1）x轴对称，则直线l的解析式为 （2）y轴对称，则直线l的解析式为 （3）直线yx对称，则直线l的解析式为 （4）直线对称，则直线l的解析式为 （5）原点对称，则直线l的解析式为 例9. 若直线l与直线关于y轴对称，则直线l的解析式为_。 解：由（2）得直线l的解析式为练习题：1. 已知直线y=3x2, 当x=1时，y= 2. 已知直线经过点A（2,3），B（-1，-3），则直线解析式为_3. 点（-1，2）在直线y=2x4上吗？ （填在或不在）4. 当m时，函数y=(m-2) +5是一次函数，此时函数解析式为。5. 已知直线y=3x+b与两坐标轴所围成的三角形的面积为6，则函数的解析式为 .6. 已知变量y和x成正比例，且x=2时，y=,则y和x的函数关系式为 。7. 点(2,5)关于原点的对称点的坐标为 ；关于x轴对称的点的坐标为 ；关于y轴对称的点的坐标为 。8. 直线y=kx2与x轴交于点（1，0），则k= 。9. 直线y=2x1与x轴的交点坐标为 与y轴的交点坐标 。10. 若直线y=kxb平行直线y=3x4，且过点（1，-2），则k= .11. 已知A(-1,2), B(1,-1), C(5,1), D(2,4), E(2,2),其中在直线y=-x+6上的点有_,在直线y=3x-4上的点有_12. 某人用充值50元的IC卡从A地向B地打长途电话，按通话时间收费，3分钟内收费2.4元，以后每超过1分钟加收1元，若此人第一次通话t分钟（3t45），则IC卡上所余的费用y（元）与t（分）之间的关系式是 .13. 某商店出售一种瓜子，其售价y（元）与瓜子质量x（千克）之间的关系如下表质量x（千克）1234售价y（元）3.60+0.207.20+0.2010.80+0.2014.40+0.2由上表得y与x之间的关系式是 14. 已知:一次函数的图象与正比例函数Y=-X平行,且通过点(0,4), (1)求一次函数的解析式.(2)若点M(-8,m)和N(n,5)在一次函数的图象上,求m,n的值15. 已知一次函数y=kx+b的图象经过点(-1, -5),且与正比例函数y= x的图象相交于点(2,a),求(1)a的值(2)k,b的值(3)这两个函数图象与x轴所围成的三角形面积. 待定系数法求二次函数解析式（讲义）1、 【基础知识精讲】(一）、导航图1.二次函数的意义;2.二次函数的图象;3.二次函数的性质 顶点式：y=a(x-h)2+k(a0)4.二次函数 待定系数法确定函数解析式 一般式：y=ax2+bx+c(a0) 两根式：y=a(x-x1)(x-x2)(a0)5.二次函数与一元二次方程的关系。6.抛物线y=ax2+bx+c的图象与a、b、c之间的关系。 （二）、中考知识梳理 1.二次函数的图象 在画二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象时通常先通过配方配成y=a(x+)2+ 的形式,先确定顶点(-,),然后对称找点列表并画图,或直接代用顶点公式来求得顶点坐标. 2.理解二次函数的性质 抛物线的开口方向由a的符号来确定,当a0时,在对称轴左侧y随x的增大而减小;在对称轴的右侧,y随x的增大而增大;简记左减右增,这时当x=-时,y最小值=;反之当a0时,抛物线开口向上;当a0时,抛物线交y轴于正半轴;当c0时,抛物线交y轴于负半轴;b的符号由对称轴来决定.当对称轴在y轴左侧时,b的符号与a的符号相同;当对称轴在y轴右侧时,b的符号与a的符号相反;简记左同右异. 6.会构建二次函数模型解决一类与函数有关的应用性问题,应用数形结合思想来解决有关的综合性问题.二、【典型例题精析】 一般式：例1 已知二次函数的图象经过A(-1,3)、B(1,3)、C(2,6); 求它的解析式。分析:此题主要考查用待定系数法来确定二次函数解析式.可根据已知条件中的不同条件分别设出函数解析式,列出方程或方程组来求解.解:设解析式为y=ax2+bx+c,把A(-1,3)、B(1,3)、C(2,6)各点代入上式得 解得 解析式为y=x2+2.变式：已知一个二次函数，当x=-1时，y=3；当x=1时，y=3；当x=2时，y=6。求这个二次函数的解析式。解:设解析式为y=ax2+bx+c,把A(-1,3)、B(1,3)、C(2,6)各点代入上式得 解得 解析式为y=x2+2.顶点式：例2 已知一个二次函数的图象过点(0，1)，它的顶点坐标是(8，9)，求这个二次函数的关系式。 分析：二次函数yax2bxc通过配方可得ya(xh)2k的形式称为顶点式，(h，k)为抛物线的顶点坐标，因为这个二次函数的图象顶点坐标是(8，9)，因此，可以设函数关系式为： ya(x8)29 由于二次函数的图象过点(0，1)，将(0，1)代入所设函数关系式，即可求出a的值。 请同学们完成本例的解答。变式1：已知二次函数的图象经过A(-1,0)、B(3,0),函数有最小值-8，求它的解析式。解法1:由A(-1,0)、B(3,0)得抛物线对称轴为x=1,所以顶点为(1,-8).设解析式为y=a(x-h)2+k,即y=a(x-1)2-8. 把x=-1,y=0代入上式得0=a(-2)2-8,a=2. 即解析式为y=2(x-1)2-8,即y=2x2-4x-6.解法2:设解析式为y=a(x+1)(x-3),确定顶点为(1,-8)同上,把x=1,y=-8代入上式得-8=a(1+1)(1-3).解得a=2,解析式为y=2x2-4x-6.解法3:图象过A(-1,0),B(3,0)两点,可设解析式为:y=a(x+1)(x-3)=ax2-2ax-3a. 函数有最小值-8. =-8. 又a0,a=2.解析式为y=2(x+1)(x-3)=2x2-4x-6.变式2： 已知抛物线对称轴是直线x2，且经过(3，1)和(0，5)两点，求二次函数的关系式。解法1：设所求二次函数的解析式是yax2bxc， 因为二次函数的图象过点(0，5)，可求得c5， 又由于二次函数的图象过点(3，1)，且对称轴是直线x2，可以得 解这个方程组，得： 所以所求的二次函数的关系式为y2x28x5。解法二：设所求二次函数的关系式为ya(x2)2k， 由于二次函数的图象经过(3，1)和(0，5)两点，可以得到 解这个方程组，得： 所以，所求二次函数的关系式为y2(x2)23，即y2x28x5。变式3：已知抛物线的顶点是(2，4)，它与y轴的一个交点的纵坐标为4，求函数的关系式。解法1：设所求的函数关系式为ya(xh)2k，依题意，得ya(x2)24 因为抛物线与y轴的一个交点的纵坐标为4，所以抛物线过点(0，4)，于是a(02)244，解得a2。所以，所求二次函数的关系式为y2(x2)24，即y2x28x4。解法2：设所求二次函数的关系式为yax2bxc?依题意，得 解这个方程组，得： 所以，所求二次函数关系式为y2x28x4。变式4：一条抛物线经过点与。求这条抛物线的解析式。解：抛物线经过点（）和，这条抛物线的对称轴是直线。设所求抛物线的解析式为。将点代入，得，解得。这条抛物线的解析式为，即。点评：当点M（）和N（）都是抛物线上的点时，若，则对称轴方程为，这一点很重要也很有用。 两根式：例3 已知二次函数的图象顶点坐标是(-1,9),与x轴两交点间的距离是6.求它的解析式。解:由顶点坐标(-1,9)可知抛物线对称轴方程是x=-1,又图象与x轴两交点的距离为6,即AB=6.由抛物线的对称性可得A、B两点坐标分别为A(-4,0),B(2,0),设出两根式y=a(x-x1)(x-x2),将A(-4,0),B(2,0)代入上式求得函数解析式为y=-x2-2x+8.变式： 已知二次函数的图象与x轴交点的横坐标分别是x1=3，x2=1，且与y轴交点为(0，3)，求这个二次函数解析式。 点评:一般地,已知三个条件是抛物线上任意三点(或任意3对x,y的值)可设表达式为y=ax2+bx+c,组成三元一次方程组来求解;如果三个已知条件中有顶点坐标或对称轴或最值,可选用y=a(x-h)2+k来求解;若三个条件中已知抛物线与x轴两交点坐标,则一般设解析式为y=a(x-x1)(x-x2).根据图像求解析式：例1如图所示，求二次函数的关系式。 分析：观察图象可知，A点坐标是(8，0)，C点坐标为(0，4)。从图中可知对称轴是直线x3，由于抛物线是关于对称轴的轴对称图形，所以此抛物线在x轴上的另一交点B的坐标是(2，0)，问题转化为已知三点求函数关系式。 解：观察图象可知，A、C两点的坐标分别是(8，0)、(0，4)，对称轴是直线x3。因为对称轴是直线x3，所以B点坐标为(2，0)。设所求二次函数为yax2bxc，由已知，这个图象经过点(0，4)，可以得到c4，又由于其图象过(8，0)、(2，0)两点，可以得到 解这个方程组，得 所以，所求二次函数的关系式是yx2x4 练习：一条抛物线yax2bxc经过点(0，0)与(12，0)，最高点的纵坐标是3，求这条抛物线的解析式。其它应用类型：【例1】已知函数y=x2bx1的图象经过点（3，2）（1）求这个函数的表达式；（2）画出它的图象，并指出图象的顶点坐标；（3）当x0时，求使y2的x的取值范围【例2】 一次函数y=2x3，与二次函数y=ax2bxc的图象交于A（m，5）和B（3，n）两点，且当x=3时，抛物线取得最值为9（1）求二次函数的表达式；（2）在同一坐标系中画出两个函数的图象；（3）从图象上观察，x为何值时，一次函数与二次函数的值都随x的增大而增大 （4）当x为何值时，一次函数值大于二次函数值？【例3】 行驶中的汽车，在刹车后由于惯性的作用，还要继续向前滑动一段距离才停止，这段距离称为“刹车距离”为了测定某种型号汽车的刹车性能（车速不超过130km/h），对这种汽车进行测试，测得数据如下表：刹车时车速（km/h）010203040506070刹车距离（m）0112439567596119（1）以车速为x轴，刹车距离为y轴，在下面的方格图中建立坐标系，描出这些数据所表示的点，并用平滑曲线连接这些点，得到函数的大致图象；（2）观察图象，估计该函数的类型，并确定一个满足这些数据的函数表达式；（3）该型号汽车在国道上发生了一次交通事故，现测得刹车距离为264m，问在事故发生时，汽车是超速行驶还是正常行驶，请说明理由【例4】 某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图中的一条折线表示，西红柿的种植成本与上市时间关系用图中的抛物线表示（1）写出图中表示的市场售价与时间的函数表达式P=f（t），写出图中表示的种植成本与时间函数表达式Q=g（t）；（2）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？（注：市场售价和种植成本的单位：元/102kg，时间单位：天） 三、【同步练习】 1. 已知二次函数当x3时，有最大值1，且当x0时，y3，求二次函数的关系式。 2已知二次函数yx2pxq的图象的顶点坐标是(5，2)，求二次函数关系式。 3. 已知抛物线的顶点坐标为(1，3)，与y轴交点为(0，5)，求二次函数的关系式。 4函数yx2pxq的最小值是4，且当x2时，y5，求p和q。 5若抛物线yx2bxc的最高点为(1，3)，求b和c。四、【创新探究】 美好而难忘的初中生活即将结束了，在一次难忘同窗情的班会上，有人出了这样一道题，如果在散会后全班每两个同学之间都握一次手，那么全班同学之间共握了多少次？为解决该问题，我们可把该班人数n与握手次数s间的关系用下面的模型来表示（1）若把n作为点的横坐标，s作为点的纵坐标，根据上述模型的数据，在给出的平面直角坐标系中，找出相应5个点，并用平滑的曲线连接起来（2）根据图象中各点的排列规律，猜一猜上述各点会不会在某一函数的图象上，如果在，写出该函数的表达式（3）根据（2）中的表达式，求该班56名同学间共握了多少次手？第一部分：根据下列条件求二次函数解析式（1）已知一个二次函数的图象经过了点A（0，1），B（1，0），C（1，2）；（2）已知抛物线顶点P(1，8)，且过点A(0，6)；（3）二次函数图象经过点A（1，0），B（3，0），C（4，10）；（4）已知二次函数的图象经过点（4，3），并且当x=3时有最大值4；（5）已知二次函数的图象经过一次函数yx+3的图