第5章-杆件强度与刚度计算.ppt

1 第5章杆件的强度与刚度计算 直杆轴向拉伸与压缩时的强度与变形计算 杆件的强度条件与刚度条件 杆件剪切时的强度计算 圆轴扭转时的强度与刚度计算 平面弯曲梁的强度与刚度计算 直杆组合变形时的强度计算 超静定问题简介 2 5 2直杆轴向拉伸与压缩时的强度与变形计算 5 3杆件剪切时的强度计算 5 4圆轴扭转时的强度与刚度计算 5 6直杆组合变形时的强度计算 第5章杆件的强度与刚度计算 目录 5 7超静定问题简介 5 1概述 5 5平面弯曲梁的强度与刚度计算 3 5 1概述 构件中的最大应力需视其受力与变形的具体情况而有所不同对于杆件变形的基本形式 通常采用其横截面上正应力或切应力建立强度条件 组合变形情况的强度条件建立则比较复杂 需要考虑材料的力学性能 研究危险点的应力状态 选用合适的强度理论许用应力是构件正常工作时所允许承受的最大应力 构件中的最大应力 许用应力 通用的强度条件式为 5 1 1强度条件 4 5 1 2刚度条件 构件中的最大变形量 许用变形量均需视其受力与变形的具体情况而有所不同 构件中的最大变形量 许用变形量 通用的刚度条件式为 5 5 2 1直杆轴向拉伸 压缩 时的强度计算 1 强度条件式 2 许用应力 材料工作时所允许承受的最大应力称为许用应力 用 表示 o n n就叫作安全系数 n 1 原因 由于决定构件强度的量时存在主观考虑与客观实际间的差异 构件应具有必要的强度储备 5 2直杆轴向拉伸 压缩 时的强度与变形计算 6 3 应用强度条件式可以解决 1 强度校核 2 截面设计 3 确定许可载荷 7 例5 1 螺旋压板夹紧装置如图 a 所示 已知圆柱形工件承受轴线方向的作用力Pz 4kN 假定工件与压板及工件与V形铁之间轴向方向摩擦力的摩擦系数是f 0 4 螺栓部分的最小直径d 13 4mm 螺栓的许用应力为 87MPa 试问螺栓是否可以正常工作 8 现在取工件为研究对象 由于工件没有转动趋势 作为工程运算 可以忽略工件与压板及工件与V形铁之间的切向方向摩擦力 只是光滑接触 则接触面上只存在约束力R 画出受力图 由静力平衡条件 Fy 0 得 2R cos45 Q 0于是 解 压板在A端铰支 B端受螺栓拉力N的作用 中间受工件的反作用力Q作用 由静力平衡条件 MA 0 有 Q l 2l 0故N Q 2 9 欲使工件在轴线方向 Z方向 保持平衡 必须使Q和R产生的摩擦力等于工件所受轴向力Pz 于是有 Pz f Q 2R 由式 l 2 3 联立解得 由于 87MPa 表明此螺栓在工作时是安全的 强度足够 10 5 2 2直杆轴向拉伸 压缩 时的变形计算 变形实例 例1工厂中的行车起吊重物时 如果行车的横梁变形过大 就会引起剧烈振动 以致造成生命和设备的事故 例2化工厂的管道法兰 如变形超过了容许的范围 就会造成泄漏 影响化工生产的正常进行 11 变形是固体材料的固有特性 但过大的变形是工程上所不允许的 因此 变形也是工程力学研究的重要内容之一 12 1 绝对变形和相对变形 1 绝对变形 设直杆的原始长度为L 变形后的长度为L1 直杆的长度变化即为 称为杆件的绝对变形 拉伸时 L称为直杆的绝对伸长 为正值 压缩时 L称为直杆的绝对缩短 为负值 不能表示变形程度 13 这个比值称为直杆的相对伸长或相对缩短 统称为杆的轴向线应变 显然 是无因次量 在工程中也常用原长的百分数来表示 用单位长度直杆的伸长或缩短来度量其纵向变形 2 相对变形 14 泊松比 也是无因次量 由实验求得 碳钢为0 27 杆件轴向拉伸时 横向尺寸由b变为b1 横向应变为 试验结果表明 在弹性范围内 横向应变与轴向应变之比的绝对值是一个常数 即 或 15 3 虎克定律 该式称为虎克定律 16 上式即为虎克定律的另一表达式 式中E为弹性模量 17 例5 2 钢制实心圆柱长L 100mm 受力如下图所示 已知P 150kN D 40mm E 2 0 105MPa 0 28 试求圆柱长度的改变量及圆柱横截面积的相对改变量 S S 解 实心圆柱横截面面积为 A 0 785D2 0 785 402 1256mm2圆柱长度的改变量为 轴向应变 18 横截面面积的相对改变量为 横向应变 0 28 0 6 10 3 0 168 10 3变形后圆柱外径改变量为 D D 0 168 10 3 40 6 72 10 3mm 19 5 3杆件剪切时的强度计算 点击图标播放 钢杆受剪 1 剪切的实例 5 3 1剪切的概念与实例 20 剪板机 21 铆钉连接 销轴连接 22 平键连接 23 2 剪切构件的受力特点 构件受到等值 反向 作用线不重合但相距很近的两个力作用 3 剪切构件的变形特点 构件上的两个力中间部分的相邻截面产生错动 这种变形称为剪切变形 发生相对错动的面称为剪切面 剪切面总是平行于外力的作用线 挤压面总是垂直于外力的作用线 24 5 3 2剪切和挤压的实用计算 1 剪切的实用计算 简图 受力图 分离体 假定分布 25 1 剪力计算 求内力的方法 截面法 截 取 代 平 Q F 26 剪力Q在截面上的分布比较复杂 在工程中假定它在截面上是均匀分布的 则可得切应力计算公式 2 剪应力的计算 27 为了保证受剪构件安全可靠地工作 要求构件剪切面上的切应力不得超过许用剪应力 即 3 剪切的强度条件 式中 剪切面上的切应力 S 横截面积 Q 剪力 28 许用切应力 是利用剪切试验求出抗剪强度 b 再除以安全系数n得到的 即 b n 塑性材料 0 6 0 8 脆性材料 0 8 1 0 29 1 校核剪切强度 2 截面设计 3 确定许可截荷 利用剪切强度条件 可以解决 30 压力容器制造厂用剪板机冲剪钢板 就是要用足够大的剪力使一定厚度的钢板沿剪切面剪断开 这是与强度问题性质相反的 破坏 问题 要保证构件被剪断 一定要使剪切面上的平均切应力 大于材料极限切应力 b 即剪断条件为 31 剪切和挤压经常伴生出现 挤压和压缩的区别 压缩 均匀变形 挤压 局部变形 1 挤压的概念 2 挤压的实用计算 挤压 连接和被连接件接触面相互压紧的现象称 挤压 32 2 挤压应力的计算 因此 要保证构件安全 可靠地工作 除了计算剪切强度外 还要校核挤压强度 由挤压所引起的应力称为挤压应力 以 bs表示 如果挤压应力过大 就会使相互接触部分产生塑性变形 33 式中Pbs一挤压面上的挤压力 Sbs一挤压计算面积 近似地认为挤压应力也是均匀分布在挤压面上 所以挤压应力可按下式计算 34 有效挤压面 挤压面面积在垂直于总挤压力作用线平面上的投影 当接触面为平面时 则此平面面积即为挤压面积 对于圆柱面 取挤压面的正投影面作为挤压面的计算面积 35 挤压强度条件为 式中 bs 为材料许用挤压应力 其值由试验确定 对于塑性较好的低碳钢材料 一般可取 bs 1 7 2 0 3 挤压强度条件 36 37 例5 3 试求图示连接螺栓所需的直径大小 已知P 180kN t 20mm 螺栓材料的剪切许用应力 80MPa 挤压许用应力 jy 200MPa 图3 4联接螺栓 解 螺栓具有两个剪切面 即m m n n截面 各剪切面上的剪力为Q P 2 故切应力 根据剪切强度条件式 3 2 有 即 38 即 综合考虑螺栓的剪切强度和挤压强度 按螺纹直径规格取螺栓直径为d 48mm 如果两侧板厚度由原来的t 2变为t 3 中间板厚度不变 试思考螺栓直径d 48mm是否仍满足强度要求 39 1 变形几何关系 5 4圆轴扭转时的强度与刚度计算 点击图标播放 5 4 1圆轴扭转时横截面上的切应力 40 由图示的几何关系可以看出 2 物性关系 切应力在横截面上的分布 41 3 静力学关系 令 则 式中R为横截面外边缘圆的半径 令 抗扭截面模量 42 极惯性矩和抗扭截面模量 1 对于外直径为D的实心圆截面 D 43 D d 2 对于外径为D 内径为d的空心圆截面 44 轴表面的剪应力 圆轴上最大转矩截面 1 圆轴扭转时的强度条件 max 塑性材料 0 5 0 6 脆性材料 0 8 1 0 5 4 2圆轴扭转时的强度条件和刚度条件 45 利用其强度条件 可以解决 2 设计截面 3 计算许可载荷 1 强度校核 46 例5 4 某搅拌轴有上下两层桨叶 已知带动搅拌轴的电动机功率Pm 17kW 机械传动效率 90 搅拌轴转速n 60r min 上下两层桨叶因所受阻力不同 分别消耗搅拌轴功率的35 和65 此轴用 117 6不锈钢管制成 其扭转许用切应力 30MPa 试校核此轴的强度 如将此轴改为实心轴 材料相同 试确定其直径 并比较这两种圆轴的用钢量 解 1 空心轴的强度校核作用于搅拌轴上的实际功率P Pm 17 0 9 15 3kW故作用于搅拌轴上的主动扭矩为 47 上 下两层桨叶分别消耗的功率为 PB 0 35P 0 35 15 3 5 355kWPC 0 65P 0 65 15 3 9 945kW形成的阻力偶矩分别为 用截面法 可求得AB段和BC段截面上的扭矩分别为 Tn1 TA 2 435kN mTn2 TC 1 583kN m 48 轴内径d 117 2 6 105mm 抗扭截面模量为 最大切应力 取D1 74mm 30MPa 故此轴强度校核合格 2 计算实心轴所需直径设实心轴直径为D1 则 49 3 两种轴用钢量比较 实心圆轴横截面面积 钢材用量与横截面面积成正比 采用空心轴可节省钢材的百分数为 采用 117 6空心圆轴的强度仍有不少裕量 故实际可节省多于51 4 的钢材用量 空心圆轴横截面面积 50 2 圆轴扭转时的变形及刚度条件 1 圆轴扭转时的变形计算 单位长度的相对扭转角 抗扭刚度 工程上采用的扭转变形大小 51 2 圆轴扭转变形的刚度条件 式中 许用单位扭转角 单位长度的许用扭转角的值取决于轴的工作条件 工作要求及载荷性质 可从有关手册查取 一般对于精密机械的轴 取 0 15 0 50 m 一般传动轴取 0 5 1 0 m 52 例5 5 试校核例5 4中搅拌轴的刚度 已知G 80000MPa 0 5 m 从而有 故满足刚度要求 解 对于空心轴 有 m 53 如采用直径为74mm的实心轴 则 说明该实心轴尽管强度合格 但却不能满足变形的刚度要求 还需适当增加直径值 m 54 5 5 1平面弯曲梁的正应力分析与强度计算 纯弯曲 梁的横截面上没有剪力作用 只有弯矩作用的弯曲称为纯弯曲 5 5平面弯曲梁的强度与刚度计算 55 5 5 1 1纯弯曲时梁横截面上的正应力 1 变形几何关系 1 横线 m m n n 仍是直线 只是发生相对转动 但仍与纵线 a a b b 正交 2 纵线 a a b b 弯曲成曲线 且梁的一侧伸长 另一侧缩短 图4 10纯弯曲梁的变形特点 纯弯曲梁的变形特点 56 中性轴 中性层与梁横截面的交线称为中性轴 中性层 既不伸长也不缩短的纵向纤维称为中性层 57 2 物性关系 横截面正应力分布规律 1 58 3 静力学关系 设 有 联立式 1 和式 2 消去1 得 2 59 令 横截面上任一点的正应力计算公式 最大正应力发生在距中性轴最远处 令 称之为抗弯截面模量 横截面上的最大正应力计算公式 60 常用截面的惯性矩和抗弯截面模量的计算 1 矩形截面 61 2 圆形截面 3 圆环形截面 内径为d外径为D d D 62 该式适用于弹性变形阶段 5 5 1 2弯曲正应力强度条件 横截面上最大应力即上下边缘应力 沿梁轴线最大弯矩 63 对于型钢和钢管 一般采用轴向拉伸时所确定的许用应力 对于实心梁 因有材料储备 可略高18 20 如果材料是铸铁 其拉压许用应力不相等 应分别求出最大拉应力和最大压应力 分别校核强度 64 作弯矩图 寻找需要校核的截面 要同时满足 分析 非对称截面 要寻找中性轴位置 65 1 强度校核 2 设计截面 3 计算许可载荷 利用弯曲强度条件 可以解决 66 例5 6 矩形截面简支梁AB的尺寸和所受载荷如图 a 所示 试求 1 最大弯曲正应力及其所在位置 2 在D E两点的弯曲正应力 图4 17例4 3图 解 1 首先求出两支座反力分别为 RA 19kN RB 9kN Mmax 18kN m位于集中力作用处所在截面 67 2 D E两点所在截面的弯矩分别为 由于是等截面梁 整个梁各截面的惯性矩都是一样的 则 拉应力 压应力 68 则 若仅从强度方面来考虑 可取d 105mm 若考虑有一定的腐蚀 可适当地将直径取得大一些 如取d 110mm 例5 7 若例5 6所示外伸梁的横截面为实心圆 试设计其直径 已知该梁所用材料的弯曲许用应力 160MPa 解 由例5 6可知 该梁的最大弯矩Mmax 18kN m 由于该梁为等截面梁 故危险截面为最大弯矩所在截面 由强度条件得 69 5 5 1 3提高梁弯曲强度的措施 1 合理布置支座 70 工程实例 71 2 合理布置载荷 72 改善集中载荷分布 点击图标播放 73 改善均布载荷分布 点击图标播放 74 3 合理选择梁的横截面形状 竖放 横放 竖放比横放有较高的抗弯能力 75 所以竖放比平放有较高的抗弯能力 常见的截面W S值 76 等强度梁 77 提高抗弯截面模量 点击图标播放 78 5 5 2 1梁弯曲变形的度量 挠度和转角 5 5 2平面弯曲梁的变形计算 变形 梁变形前后形状的变化称为变形 位移 梁变形前后位置的变化称为位移 位移包括线位移和角位移 79 线位移 挠度y角位移 转角 y f x 挠曲线 规定 转角 以逆时针转向为正 顺时针转向为负 80 挠曲线上任一点的斜率为 由于挠曲线曲率很小 转角度 很小 即 即挠曲线上任一点的斜率就表示了相应横截面的转角 可见 只要确定了梁的挠曲线方程y f x 则梁上各点的挠度和转角均可求出 点击图标播放 81 5 5 2 2挠曲线近似微分方程及两次积分法 忽略剪力对变形的影响 梁平面弯曲的曲率公式为 曲线y f x 上任一点的曲率为 82 由于 很小 与1相比可以忽略不计 于是有 即 则更小 83 图4 20近似曲率符号规定 当挠曲线的二阶导数 0时 弯矩M x 0 0时 弯矩M x 0 的符号是一致的 于是有 而当挠曲线的二阶导数 即M x 与 84 对于采用同一种材料的等截面梁来说 抗弯刚度EI为常量 将上式对x积分一次 得转角方程 再积分一次 得挠曲线的方程 式中C和D为积分常数 应由梁所受约束决定的位移条件即边界条件来确定 85 例5 8 试求如图所示悬臂梁的挠度方程和转角方程 设抗弯刚度EI为常数 图4 21例4 5图 解 如图建立坐标系 列出弯矩方程如下 M x P L x P x L 0 x L 0 x L 将此式代入挠曲线微分方程 得 0 x L 积分一次 得转角方程 0 x L 86 再积分一次 得挠度方程 0 x L 边界条件为 在固定端梁的挠度和转角均为零 即当x 0时 0 y 0 于是有 因此 可得到如下的挠度方程和转角方程 87 当x L时挠度和转角均取得最大值 即 该方法可以求出任意截面上的挠度和转角 但是求解比较复杂 88 5 5 2 3用叠加法求梁的变形 梁的变形属于小变形 服从虎克定律 梁的挠度和转角均与梁所受载荷成线性关系 因此 梁在几种载荷共同作用下的变形 可以看作是每一种载荷单独作用时所产生变形的叠加 叠加原理 点击图标播放 89 图4 22例4 6图 例5 9 试求如图所示悬臂梁自由端的挠度和转角 设抗弯刚度EI为常量 解 P1和P2共同作用下悬臂梁自由端的挠度和转角 可看作P1和P2单独作用下产生的变形的代数和 即 ymax y1 y2 max 1 2由例5 8可知 悬臂梁在P1单独作用下自由端的变形为 90 P2单独作用下梁自由端的变形为 自由端的挠度可以看作P2作用点处的挠度与由于P2的作用点到自由端这一段梁轴线的旋转在自由端产生的挠度之和 即 于是 最后求得在P1和P2共同作用下悬臂梁自由端的变为 91 5 5 2 4梁的刚度条件 对梁的最大变形限制在一定范围内的条件称为梁的刚度条件 ymax y max 式中 y 和 分别称为梁的许用挠度和许用转角 可从有关设计手册中查得 提高梁刚性的措施为 1 改善结构受力形式 减小弯矩 2 增加支承 减小跨度 3 选用合适的材料 增加弹性模量 4 选择合理的截面形状 提高惯性矩 92 5 6直杆组合变形时的强度计算 压弯组合变形 组合变形工程实例 93 拉弯组合变形 组合变形工程实例 94 弯扭组合变形 组合变形工程实例 95 叠加原理 构件在微小变形和应力 应变关系服从虎克定律的条件下 力的独立性原理是成立的 即所有载荷作用下的内力 应力 应变等是各个载荷单独作用下之值的叠加 解决组合变形的基本方法是将其分解为几种基本变形 分别考虑各个基本变形时构件的内力 应力 应变等 最后进行叠加 解决组合变形的基本方法 基本变形 叠加 96 5 6 1弯曲与拉 压 的组合 97 98 式中A 横截面的面积 Wz 截面的抗弯截面模量 99 5 6 2弯曲与扭转的组合变形 应用 皮带传动中连接皮带轮的轴 齿轮传动中的齿轮轴 活塞式压缩机的曲轴等都是转轴 其变形属于弯曲与扭转的组合变形 传动轴 主要承受扭矩作用 转轴 同时承受弯矩和扭矩的作用 100 a b c 弯曲与扭转的组合变形示意图 101 102 第三强度理论 塑性材料的圆截面轴弯扭组合变形 式中Wz为抗弯截面系数 M T为轴危险面的弯矩和转矩 空心圆轴 实心圆轴 103 5 7 1超静定问题的概念 在静定结构中 再增加约束 则仅由静力平衡方程不能确定结构的全部约束力 即未知力的数目多于独立的静力平衡方程数目 这种问题称为超静定问题或静不定问题 超静定结构中存在多余约束 之所以称为多余约束 是因为这些约束对于保证结构的平衡与几何不变都不是必须的 而是为了满足结构对强度和刚度的某些要求而设置的 一般来说 超静定结构比静定结构具有更高的承载能力 5 7超静定问题简介 104 超静定结构 105 1 确定结构的超静定次数 2 列出静力平衡方程 3 由变形协调关系 列出变形协调方程 4 应用虎克定律 把变形与力之间的关系代入变形协调方程 得到所需要的补充方程 5 联立静力平衡方程和补充方程 可求得所有未知力 求解超静定问题的步骤如下 超静定问题的求解 关键是要列出正确的变形协调方程 106 5 7 2热应力问题 热应力或温差应力是由于温度的变化而约束使构件不能自由伸缩而产生的 热应力的大小与杆的材质 温度的变化量及所受到的约束强弱有关 在实际的工程结构中 构件的材质及所受的约束都是确定的 因此 热应力的大小取决于构件在工作过程中温度的变化量 温差愈大 热应力愈大 这与载荷愈大 在构件中产生的应力愈大具有类同性 因而在工程中将温度的变化视为一种类型的载荷 称为热载荷或温差载荷 107 例5 10 两端固定的钢杆 见图 a 杆长为l 横截面面积为S 材料的弹性模量为E 线膨胀系数为 试求当温度升高 t时 杆内的温度应力 两端固定的钢杆 解 若杆只在一端 见图中的A端 固定 则温度升高后 杆端B将自由伸长至B 伸长量为 事实上B端为固定端 使杆不能自由伸长 即在杆的端部必作用有一由于杆温度升高而引起的附加约束反力F 压力 F的作用结果是使杆端B 回复至B 其位移为 108 由于实际上杆既未伸长也没有缩短 因此变形协调条件为