信号与系统(杨晓非)1,2,3章习题答案

信号与系统习题解答 1 1 2 0 2 0 1 lim 2 11 lim 22 lim lim Pf tdt dt Ef tdtdt f tt 总 1 f t t 解 为功率信号 f t 2 f t t t 1 解是矩形脉冲信号 故为能量信号 6 f ttt 3 解 书中已作证明斜坡信号为非公非能信号 0 2 2 2 2 2 22 2 22 5 5 1 Plim 1 lim2525 lim lim25 jt T T TT f te f t f tdt T dt T Ef tdtdt f t 总 4 解 为功率信号 22 222 244 2 00 24 24 0 sin2 lim lim sin2 1 lim lim 2 2 4 1 lim 4 t t tj tj t tj tj t jtjt f tett f tdtet dt eee dteeedt j eedt 总 5 解 E 24 24 0 1 lim 42424 111 1 42424 124241 1 44 165 lim0 2 sin2 jtjt t ee jj jj jj E P f tett 总 为能量信号 2 2 1 6 1 1 Elim lim 1 1 lim 11 1 lim0 2 f tt t ft dtdt t E P f t 总 总 解 为能量信号 12 21 3cos 2 2cos 2 f ttt T T f t 1 2 判断下列信号是否为周期信号 如果是周期信号 试确定其周期 1 解 是无理数 改组合正弦信号是非周期信号 245 2 cos 2 3 3 jt f tt f te 显然为周期信号 为周期信号 1 2 1 2 1 4 cos cos cos 236 3 2 2 3 2 4 2 2 6 3 12 5 1260 f tttt Ts Ts TmTs Ts f t 为周期信号 周期为60s 3 100 1002 1002 2 22 2 3 3sin 3 3Im 3cos 3 2 4 Re cos 100 2 ttjtt jjt jtjt f teteeet f tjeeee e f tet 2 cos 22 4 sin 6 8 6 78 227 8 4 7 7 1 3 1 66 2 2 22 2cos 2 4 j jt f tts f k f kN f te f tet 5 为周期信号 周期为 为周期序列 1 4 波形略 1 5 30 ttf设 是确定下列个信号的零值时间区间 1 ttf 201 2 ttftf 2021 3 2 3 02ttf 4 ttftf 1021 5 60 2 t t f 1 6 试绘出题图 1 6 所示各连续信号波形的表达式 a 2112 1 ttttf b 12 42 ttf c 1sin5 3 ttttf d 222112142 2 4 tttttttttf 22 0 0 00 22 0 22 0 lim lim lim 1 8 1 sin sin 111 2 sin sin 0 707 4444 3 sin sin t t t t t t f tttt f ttttt f tttt 1 7试证明 t cos 111 4 sin sin cos 44444 t f ttttt 2 2 0 22 1 9 1 sin sin0 707 44 sin5 2 5 5 5 3 123 4 1 1 2 2 2 tt t ttdt t t dtSatt dt t ett dte t ttdtttt dt 3 2 0 1010 22 00 5 2 5 0 6 2 5 52 5 27 ttdt ttdttdt 0 22 10 22 11 10 44 7 sin 5 sin5 5 8 1 1 2 2 2 1 9 25 25 41 0 4 10 1 t tt tt tt dt ddt tttdtttt ddtt 1 13 1 fkkk 1 2 1 k fkk 1 1 12 1 k f kfkkkak 2 1 12 1 k f kfkkkak 3 1 12 1 k f kfkk ak 4 12 1 1 1 1 k f kfkkkak 5 12 1 1 1 2 k f kfkkak 1 18 1 偶 偶谐 2 偶 奇谐 3 偶 偶谐奇谐 非唯一 4 奇 奇谐 5 奇偶谐 6 奇 奇谐 偶谐 1 19 解 1 整理得 25532 SSS IIIIUUU 2 2 1 2 1 2 1 2 11 22 2 S t C C CCC t C t UUdU UUU ICUUUU IIIUUUd IIUdUU 2222 2 22 2 22 2 2 2 2 222242 CS C C c C CSS SSS UUII URIIII III du ICII dt UIUIIIUII UIIIUIIIUII 整理得 25532 S UUUUU 1 20 解 由题意 y k y k 1 y k 1 y k 1 f k y k 1 y k 1 f k 1 21 解 由题意 y 1 f 1 y 1 Y 2 f 2 y 1 y 1 第 k 个月的全部本利为 y k 第 k 1 个月初的全部本利为 y k 1 则第 k 个月初存入银行 的款数为 Y k 1 y k 1 f k 1 22 解 由题意 y k 3 2 y k 1 y k 3 2 y k 1 0 1 23 解 由题意 1 y x e t x 0 y f df t sin 0 x1 0 x2 0 e t x1 0 x2 0 e t x1 0 e t x2 0 y 1x y 2x 满足零 输入线性 f1 f 2 t 0 sin f1 f 2 d t 0 sin f1 d t 0 sin f2 d y 1f y 2f 满足零状态线性 为线性系统 2 y t sin x 0 t f 2 t x1 0 x2 0 sin x1 0 x2 0 t sin x1 0 t sin x2 0 t 不满足 零输入线性 3 0 xtfty t dtf 0 不满足分解性 所以是非线性系统 4 lg 0 tfxty 是非线性系统 5 0 lg xty t f 不满足零线性输入 所以是非线性系统 6 y t d t fx t t 0 0 不满足零输入线性 yyff d t t 2121 0 满足零状态线性 故为非线性系统 7 y k 2 0 1 2 kfkfx k yy xxxxxx xx kkk 21 0 1 0 1 0 0 1 0 0 212121 222 满足零输入线性 2 2 21 212121 k f k f kkkkkk yyyyyyyy 不满足零状态线性 因而是非线性系统 8 k n nfkxky 0 0 0 0 0 0 21 2121 k x k x kk yy xxxx 0 2 0 1 0 2121 nnnnkk k n k n k n ffffff 因而为线性系统 1 24 1 dfty t 为线性系统 dxxfxdftf x d t ddttt 因而是时不变系统 0 2 t y tfd 线性 0 d d tt t ddd t f ttft d xtf x f x dx 时变 3 y tf t 121212 ffffff 非线性 ddd f ttf tty tt 4 f t y te 非线性非时变 5 2 2yyff 非线性非时变 6 sin yyf 线性时变 2 7 2 y ty tf t 非线性非时变 8 2 y ty ttf t 线性时变 9 1 1 y kky kf k 线性时变 非时变 10 1 2 y ky ky kf k 非线性非时变 1 25 1 dt t dt 1 2 22 2 f tt f dyt d ytettet dtdt 0 2 t R td 31 222 0 00 11 1 22 tt tttt ff ytydedtetet 1 26 解 由题意 ee tt x y 3 32 1 ee tt x y 3 24 2 ee tt f y 3 22 f y x y x yty352 21 eeeeee tttttt333 636102064 ee tt3 2276 1 27 解 由题意 1 21 32yyty 2 f f y x y x yty y x y x yty 3 21 21 2 1 ee tt x y x yyy 32 21 810223 21 ee tt f yyy 32 12 222 tyty ee tt f 32 1 28 解 kkykyky fx 1 kkykyky k fx 1 2 1 2 2 kkyyy k x 2 1 22 21 k x ky 2 1 kkkyyy k f 2 1 222 21 kkky k f 2 1 kkkykyky kk fx 2 1 44 2 1 242 kk k 2 1 24 1 29 1 0 0 23f ttyy 有 非因果非线性非时变 2 2 2 5 y ttftf t 0t 当 0f t 5 y tf 有 非线性非因果时变 3 f ytf t 非线性非时变因果 4 cos f ytf t 线性时变因果 5 f ytft 线性非时变非因果 6 2 f yKf Kf K 线性时变因果 7 0 K f n yKf n 线性时变因果 0 0 0 000 0 K K K m n K nK f KKf nKf my KK 8 1 f yKfk 线性非时变非因果 0 0 1 0 f f KKyKf 1 30 1 61285yyyyff 2 y k 3 y k 2 y k 1 f k 1 f k 3 y k y k 2 3f k 1 f k 2 1 31 1 3fffyy3y 2 y k 2 2y k 1 3y k 4f k 2 5f k 1 6f k 3 y k 2 2y k 1 4y k f k 1 f k 或 y k 2y k 1 4y k 2 f k 1 f k 2 1 32 解 有题图可得 yyfy 01101 fyy 11 所以 yfyffy 011101 整理得 ffyyy 110101 与给定微分方程可得 1100110011 bbaa 23 1212 12 2 12 23 1 560 2 3 0 1 2 1 0 231 2 2 0 0 tt h h tt h y tC eC e CC C yCC y tee yyy 2 h 1 1 y 5y 6y 0 y 0 1 y 0 1 解 特征方程 特征根 y 代入初始状态有 解之 C 2 1212 00 000 0 0 2 10 cossin2 0 2cos0 2 0 1 0 0 00 3 2 h h y j y tCtCtCC y tt t fyyf tt y t dty t dty t dt 解 代入初始状态得 1 y t 3y t 2y t t 对微分方程两端关于t从到作积分有 00 0 0000 0000 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 2 0 1 0 0 68 t dt yyyy yyyy fyyft y dty dtydtt dt 得 y 6y 8y 得 001yy 000yy 0102 000 yy yy 3 43yyyff 01 00 yyft 上式可写为 43yyytt 0t 时微分方程左端只有 y 含冲激 其余均为有限值 故有 00000 00000 43y dty dtydtt dtt dt 得 001 000yyyy 0102 000 yy yy 4 2 45 02 01 t yyyfyyf tet 2 2 t fttet 原方程可写为 2 452 t yyytet 00000 2 00000 452 t y dtydtydtt dtet dt 001 000yyyy 003 001 yy yy 3 143 001 yyyf yyf tt 解 求 x yt 430 xxx yyy 2 430 12 1 3 3 12 tt y tcec e 13 0 1 0 21 21 CCy CCy x x 解之 21 C 12 C tt x eety 3 2 0 t 求 tyf 3 21 tyeCeCty p t f t ff 设0 Ptyf 带如原微分方程有 13 P即 3 1 0 P 故 3 1 3 21 t f t ff eCeCty 对原微分方程两端从 0到 0关于 t 积分有 0 0 0 0 0 0 0 0 34dttdtydtydty fff 0 0 0 0 0 0 ff ff yy yy 0 0 0 0 f f y y 有 0 3 1 0 03 0 21 21 fff fff CCy CCy 解之 2 1 1 f C 6 1 2 f C 3 1 6 1 2 1 3 teety tt f 求全响应 ty 3 1 6 5 2 3 3 1 6 1 2 1 2 3 33 tt tttt x ee eeeetytyty f 0 t 2 ffyyy344 1 0 2 0 tefyy t 解 044 2 2 2 1 t xx x eCCty 2 20 01 01 0 01 2 2 2 1 222 111 1111 y 0 22 1 4 y 0 1 y 14 0 2 4 4 3 441 32 xxx xx xx t x f t ffffp t fp ttttt f CC CC C tt et yt ytCC t eyt ytp e p ep ep eee pppp yt 得 求 设并代入原微分方程 有 得即 故 01 0 0 2 00000 00000 1 2 dt4 dt 4dt 3 y 0 y 0 1y 0 1y 0 1 y 0 y 0 0y 0 0 y 0 221 y 0 20 tt ff tt fff ffff fff fff ff CC t ee yyytet dtet dt CC C 由 有 0 1 2 2 2 1 2 2 3 2 31 0 ff tt f tt fx CC ytet et y t y tyty tetet 解之 求 2 1 2 12 2112 12 2 2 0 1 0 0 220 1 cossin cossin cossin 0 0 0 1 sin0 2 x t xxx tt xxxxx xxxx t x f yyyfyyft t j y teCtCt yteCtCteCtCt yCyC y tett yt 解 1 求y 代入初始状态 求 ff 0000 0000 ffff f f f 0 0 dt2 dt 2dt 0 0 1 0 0 0 0 1 2 2 0 0 1 2 20 cossin 0 1 fff fff fff t f yy yyyt dt yyyy y yyyt y tyyy yteAtt yB 首先确定与 可得 则 当时 代入初始条件 f 0 0 sin 3 2sin0 t f t xf yA ytett y t y tyyett 求全响应 2 4 1 y k 2 3y k 1 2y k 0 1 1 2 0 xx yy 解 特征方程 r023 2 r r 1 r 2 0 特征根 2 1 21 rr y k k x k x k x k x CCrCrC 2 1 2121 21 代入初始条件 12 2 21 21 xx xx CC CC 解得3 5 21 xx CC kk x ky 2 3 1 5 0 k 2 y k 2 2y k 1 2y k 0 1 1 0 0 xx yy 解 1 1 1 1 0 0 1 1 1022 21 21 21 2 1 2 xxx xxx k x k xx CjCjy CCy jCjCky jrrr ke j j j j ky j C j C k kj k kk x xx 4 3 sin 2 2 1 2 1 2 2 2 2 3 21 k0 3 y k 2 2y k 1 y k 0 1 1 0 xx yy 解 012 2 rr 10 1 21 2 rrr 1 1 1 1 0 1 21 1 21 xxx xx k xxx CCy Cy KCCky 2 1 2 1 x x C C k x kky 1 21 k 0 4 0 1 2 kyky 2 0 x y 解 02 2 k xx Cky 2 2 0 xx Cy 故 k x ky 2 2 k 0 5 0 2 4 1 2 kykyky 2 1 0 0 xx yy 解 042 2 即 03 1 2 特征根 j31 2 1 k x k xx jCjCky 31 31 21 3 1 1 j Cx 3 1 12 j CC xx 故 31 31 3 1 j j j j ky kk x k j ee k kjkj k 3 2 sin2 3 2 23 2 3 2 3 2 1 k 0 6 0 3 12 2 16 1 7 kykykyky 0 0 x y 1 1 x y 3 2 x y 解 012167 23 即 0 2 3 2 3 1 2 3 2 k xx k xx kCCCky 2 3 210 带入初始条件有 3849 2 1223 1 0 0 210 210 10 ccc y ccc y cc y xxx x xxx x xx x 38 12 21 21 10 5 cc cc cc xx xx xx 解之得 1 0 cx 1 1 cx 1 2 cx 故 1 23 kk x kk y k 0 2 5 1 1 2 0 1 2 2 1 3 yykfkykyky 解 023 2 2 1 21 2 1 21 k x k x x cc y k 1 2 0 1 2 1 2 1 2 2 2 1 1 2 1 1 cc y cc y xx x xx x 即 02 44 21 21 cc cc xx xx 解之得 4 2 2 1 c c x x 故 042 2 1 kky kk 2 1 2 1 2 kfkfkykyky 2 1 1 yy 解 0 2 1 2 kkkyyy xxx 012 2 0 1 2 1 2 1 1 2 1 k c cy k x xx k 32 2 1 1 21 21 cc y cc y xx x xx x 2 1 2 1 c c x x 故 0 21 1 kkk k x y 3 1 2 2 1 2 2 yykfkyky 解 01 2 j 2 1 kBkAkyx 2 s in 2 c o s 1 2 2 1 Ay By 0 4 63 2 cos 5 2 sin2 2 cos kk kkkyx 2 6 1 2 1 1 1 2 kkfykfkyky 解 2 02 22 2 k p k CkyCky 2 22 0000 ppppkyp 0 0 2 1 2 0 0 yyyk令 2 2 0 CCy 所以 0 2 2 2 kky k 0 2 2 2 k Cky k k xx 其中 2 1 2 x x C C 2 2 4 2 2 2 2 2 2 k yky kyCky k kk x fp k ff 12 12 1 2 12 2 12 2 3 1 2 2 1 1 2 0 3201 2 1 2 1 1 1 1 2 14 2 2 4 1 4 2 0 kk xxx xxx x x xxx kk x fp y ky ky kf k yyf kk y kCC yyCC C C yyCC y kk y 解 令 0000 121 212 1 321 6 3 1 2 2 0 0 1 2 2 1 0 1 1 1 3 0 2 1 2 1 2 11 0 1 62 41 1 22 36 ffff ffff ffff ffff PPPPP y kf ky ky k yfyyy yfyyy yCCC CyCC y 则有 由得 解之得 141 1 2 236 141 1 4 2 1 2 236 181 1 2 0 236 kk f kkkk xf kk kk y ky kyk k 2 7 a 解 3 10 9 5 1 9 1 tetRhth te dt tdg th tetg st iu st i i st i b 解 由图知 slrc iiii 其中 2 2 dt id Lc dt du ci lc c dt di R L R u i ll R 故有 sLLSLLL iiiiii R L iLC 5 2 i 5 1 L 即 故 SLLL iiii552 4 1 5 52 5 22 ppp pH 2sin 2 5 tteth t iL 5 1 dt dh Lh iL uL 2sin 2 5 tte dt d t dt di Lu ttete ttette L L tt tt 2sin 2 1 2cos 2cos2 2sin 2 1 dt dh Lh iL uL 2 8 1 1 2 3 3 3 2 3 1 2 32 2 1 2 2 0 2 0 2 tetdeddhtg tetth pp p p p pH tftfyy t tt o t t 2 2 y ty tft 22 224 44 2 222 pppp H pp ppp 2 2 4 t h tttet 2 0000 2 2 2 4 2 2 2 2 tttt t t g thdddedt tttet tet 2 9 求 h t 1 2 8yyf 22 111 2824 H p pp 1 sin2 4 h ttt 2 yyyff 2 222 1113 11 2222 131313 13 242424 pp p H p pp ppp 22 313 cos sin 223 tt h tettett 3 2 2yyyff 222 2211 21 1 1 1 pp H p ppppp tt h tetet 4 6 11 6 2yyyyff H p 6116 2 23 p p pp 2 1 1 3 2 1 2 ppppp p h t 2 1 2 1 13 3 3 1 t pp ee ee tt p pt p pt 2 10 求 h k 1 y k 2y k 1 f k 1 解 H E 1 2 2 1 21 1 1 1 kkh EE kE 2 y k 2 3y k 1 2y k f k 1 f k H E 2 1 2 1 1 23 1 2 EEE E EE E 1 2 1 kkh k 3 y k y k 1 4 1 y k 2 f k 解 H E 2 2 2 2 2 1 4 1 E E EE E h k dE d 2 2 1 EH E E 1 k 2 1 E dE d E 1 k 2 1 E k k 1 E 2 1 1 2 1 kkk k E k 4 y k 4y k 1 8y k 2 f k 解 h k 4y k 1 8y k 2 k k 0 时 有 h k 4h k 1 8h k 2 0 084 2 12 2 j2 22 4 h c c 4 k 1 8h k 2 h 0 0 4h 1 8h 2 1 p h 1 1 4h 0 8h 1 4 2 2 22 2 1 2 p Q 故 p 1 Q 1 H k 22 k sin 4 k sin 4 k k 2 22 k sin 4 k sin 4 k k 5 y k 2 2y k 1 2y k f k 1 2f k 解 h0 k 2 2 h0 k 1 2 h0 k k ho k 2 k pcos 4 3 k Qsin 4 3 k ho 2 2 pcos 2 3 k Qsin 2 3 k 2Q 1 所以 Q 2 1 ho 1 2 pcos 4 3 k Qsin 4 3 k 2 p 2 1 2 1 2 1 p 2 1 0 p 2 1 所以 ho k 2 k 2 1 sin 4 3 k 2 1 cos 4 3 k k 1 2 1 k sin 4 3 k 4 3 k 1 h k ho k 1 2 h0 k 2 k sin 4 3 k 1 4 3 k 2 2 1 k sin 4 3 k 4 3 k 1 2 k sin 4 3 k 1 4 3 k 2 2 1 k sin 4 3 k 4 3 k 1 2 k cos 4 3 k k 1 00 0 2 11 1 2 1 2 1 1 2 1 1 1 1 1 k y ky kf kf k y ky kf kf k h kh kk h kCk 由图得 移序得 设有 0 1 0 00 12 22 2 1 11 1 1 1 1 2 1 2 1 1 1 2 2 2 1 0 24 2 0 5 1 0 50 5 0 24 0 4 0 6 11 2 kk kk hC h kkk h kh kh k kk y ky ky kf kf k EEEE H E EEEE H E E 又 由图可得差分方程 12 0 0 11 620 4 11 2620 4 11 0 6 0 4 22 2 12 0 0 111 02 244 kk t t EE EE H E EE h kk tf tf tf t tf tdt 图示法求解下列卷积 12 2 2 24 111 2 244 40 0 t t tf tf tf t dt tf t f t 1 2 4 1 2 4 4 0 tt tt t 1 2 11 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2 2 t tt tt tttt t tt tt f tet t f tedee d eeeee t f teded ee de 1 1 1 1 1 1 1 2 t ttt e d eeee 1 1 1 2 222 2 ttt ttt t eeeeee eee t f t et 3 0 t f t 1 f t 2 f t t d 0 sin t 0 cos 1tcos t 2 1cos 1cossin 1 1 tdtf t t 所以 0 t 0 tf 1tcos t0 1cos 1 t 2 t 0 t 2 4 2 2 44 tttf 2 14 解 由右图知 当 3 t 5 3 424242 3 3 1 3 3 1 tddty t t f 所以6 4 f y 1122 1212 0 222 0 2 15 0 2 16 1 1 2 1 2 f t t tt f ttatbh ttatb a ayt tttdtt ettedtet 证明 令 作图略 显然 b b 以外的时间区间证毕 计算下列卷积 22 222 0 22 3 1 4 ttt t ttttt tt eteteetd ee dteeteet ttetetd 2222 0 00 222 0 222 2 1 22 1 24 11 244 11 244 tt ttt ttt