大学物理 第四章 刚体转动(二)ppt课件

大学物理学电子教案 刚体的转动 4 2转动定律 下 4 3定轴转动的功能关系 4 J和转轴有关 同一个物体对不同转轴的转动惯量不同 3 J和质量分布有关 2 M的符号 使刚体向规定的转动正方向加速的力矩为正 惯性大小的量度 转动惯量是转动 1 M一定 J 复习 竿子长些还是短些较安全 飞轮的质量为什么大都分布于外轮缘 质量为的刚体 如果对其质心轴的转动惯量为 则对任一与该轴平行 相距为的转轴的转动惯量 四 平行轴定理 4 2转动定律 下 证明 P对Z轴的转动惯量 质量为m 长为L的细棒绕其一端的J 圆盘对P轴的转动惯量 对于薄板刚体 若建立坐标系Oxyz 其中z轴与薄板垂直 Oxy平面在薄板内 则薄板刚体对z轴的转动惯量等于对x轴的转动惯量和对y轴的转动惯量之和 五 垂直轴定理 例 求对薄圆盘的一条直径的转动惯量 已知圆盘 解 六 刚体定轴转动定律的应用 题目类型已知两个物理量 求另一个 1 已知J和M 求 2 已知J和 求M3 已知M和 求J 解题步骤1 确定研究对象 2 受力分析 3 选择参考系与坐标系 4 列运动方程 5 解方程 6 必要时进行讨论 注意以下几点 1 力矩与转动惯量必须对同一转轴而言的 2 要选定转轴的正方向 以便确定已知力矩或角加速度 角速度的正负 3 系统中有转动和平动 转动物体 转动定律平动物体 牛顿定律 例题1一轻绳跨过一定滑轮 滑轮视为圆盘 绳的两端分别悬有质量为m1和m2的物体1和2 m1 m2如图所示 设滑轮的质量为m 半径为r 所受的摩擦阻力矩为M 绳与滑轮之间无相对滑动 试求物体的加速度和绳的张力 解 滑轮具有一定的转动惯量 在转动中受到阻力矩的作用 两边的张力不再相等 设物体1这边绳的张力为T1 T1 T1 T1 物体2这边的张力为 T2 T2 T2 T2 因m2 m1 物体1向上运动 物体2向下运动 滑轮以顺时针方向旋转 M 的指向如图所示 可列出下列方程 式中 是滑轮的角加速度 a是物体的加速度 滑轮边缘上的切向加速度和物体的加速度相等 即 从以上各式即可解得 而 当不计滑轮质量及摩擦阻力矩即令m 0 M 0时 有 上题中的装置叫阿特伍德机 是一种可用来测量重力加速度g的简单装置 因为在已知m1 m2 r和J的情况下 能通过实验测出物体1和2的加速度a 再通过加速度把g算出来 在实验中可使两物体的m1和m2相近 从而使它们的加速度a和速度v都较小 这样就能角精确地测出a来 稳定平衡状态 当其受到微小扰动时 细杆将在重力作用下由静止开始绕铰链O转动 试计算细杆转动到与竖直线成角时的角加速度和角速度 例2一长为l 质量为m匀质细杆竖直放置 其下端与一固定铰链O相接 并可绕其转动 由于此竖直放置的细杆处于非 m l O mg 解细杆受重力和铰链对细杆的约束力作用 由转动定律得 式中 得 m l O mg 由角加速度的定义 对上式积分 利用初始条件 m l O mg 解得 有 例题3一半径为R 质量为m匀质圆盘 平放在粗糙的水平桌面上 设盘与桌面间摩擦系数为 令圆盘最初以角速度 0绕通过中心且垂直盘面的轴旋转 问它经过多少时间才停止转动 解由于摩擦力不是集中作用于一点 而是分布在整个圆盘与桌子的接触面上 力矩的计算要用积分法 在图中 把圆盘分成许多环形质元 每个质元的质量dm rd dre 所受到的阻力矩是r dmg 此处e是盘的厚度 圆盘所受阻力矩就是 因m e R2 代入得 根据定轴转动定律 阻力矩使圆盘减速 即获得负的角加速度 设圆盘经过时间t停止转动 则有 由此求得 力的空间累积效应 力的功 动能 动能定理 4 3定轴转动中的功能关系 一 力矩的功 力矩对空间的累积效应 在转动平面内 刚体角位移为d 质点元位移为 元功 r r d 定义 力矩的功 1 若M为恒力矩 2 合外力矩的功 对转动物体 力做的功 力矩的功 说明 力矩的功率 二 刚体的转动动能 转动动能是转动时各个质元动能之和 而不是一种新能量 说明 ri 三 定轴转动动能定理 定轴转动刚体的动能定理 合外力矩做的功等于刚体转动动能的增量 刚体内力做功之和为零 四 刚体的重力势能 hc为刚体质心的高度 刚体的重力势能 等于把刚体的全部质量集中于质心时质心的势能 定轴转动刚体的机械能 结论 五 一般体系 1 动能定理 体系中包含做定轴转动的刚体和平动的物体 2 功能原理 3 机械能守恒定律 只有保守内力做功 例题 如图所示 一质量为M 半径为R的圆盘 可绕一无摩擦的水平轴转动 圆盘上绕有轻绳 一端悬挂质量为m的物体 问物体由静止下落高度h时 其速度的大小为多少 设绳的质量忽略不计 解 对于圆盘 根据转动动能定律 对于物体 由质点动能定理 得 由牛顿第三定律 由于绳与圆盘之间无相对滑动 故有 解上述方程 可得 解先对细棒OA所受的力作一分析 重力作用在棒的中心点C 方向竖直向下 轴和棒之间没有摩擦力 轴对棒作用的支承力垂直于棒和轴的接触面且通过O点 在棒的下摆过程中 此力的方向和大小是随时改变的 例题 一根质量为m 长为L的均匀细棒OA 如图 可绕通过其一端的光滑轴O在竖直平面内转动 今使棒从水平位置开始自由下摆 求细棒摆到竖直位置时其中点C和端点A的速度 在棒的下摆过程中 对转轴O而言 支撑力N通过O点 所以支撑力N的力矩等于零 重力G的力矩则是变力矩 大小等于mg L 2 cos 棒转过一极小的角位移d 时 重力矩所作的元功是 在使棒从水平位置下摆到竖直位置过程中 重力矩所作的功是 应该指出 重力矩作的功就是重力作的功 也可用重力势能的差值来表示 棒在水平位置时的角速度 0 0 下摆到竖直位置时的角速度为 按力矩的功和转动动能增量的关系式得 由此得 所以细棒在竖直位置时 端点A