2.稳态热传导2015简化版

2稳态热传导 2 1导热的基本定律 傅里叶定律2 2导热问题的数学描写2 3典型一维稳态导热问题的分析解2 4具有内热源的一维导热问题2 5扩展表面的传热问题2 6 多维稳态导热的求解 2 1导热基本定律 傅里叶定律2 1 1相关概念 温度场 Temperaturefield 等温面 Isothermalsurface 与等温线 Isotherm 温度梯度 Temperaturegradient 热流密度 Heatflux 热流密度 热通量 单位时间 单位 给定 截面积上所传递的热量 热流密度矢量 等温面上某点 以通过该点处最大热流密度的方向为方向 数值上正好等于沿该方向的热流密度 qy qx qs 2 1 2傅里叶定律 严格表述 标量形式 2 1 3导热系数与热扩散率 导热系数是傅里叶定律中的比例系数 导热系数是物性参数 反映了物质微观粒子传递热量的特性 导热系数 物质的导热性能 导热系数影响因素 工程应用 相关曲线参见P38 39 度量导热能力与其储热能力的相对大小的物性参数 热扩散率 2 2导热问题的数学描写 理论基础 研究对象 微元体 前提假设 能量守恒方程傅里叶定律 各向同性的连续介质 导热系数 比热容和密度均为已知 内热源强度 W m3 2 2 1导热微分方程 能量守恒定律 in out x x dx z z dz y dy y x轴方向 y轴方向 z轴方向 净导热量 gen 导热微分方程通用形式 非稳态项 扩散项 源项 为常数 导热微分方程的简化 为常数 无内热源 常物性 稳态 常物性 稳态 无内热源 泊松方程 拉普拉斯方程 柱坐标系控制方程 球坐标系控制方程 热扩散率a的意义 反映了导热过程中材料的导热能力 与沿途物质储热能力 c 之间的关系 表征物体在非稳态导热时扩散热量或传播温度变化的能力 a反映导热过程动态特性 是研究不稳态导热重要物理量 常温下各类材料的导热系数与热扩散率 2 2 2定解条件 单值性条件 几何条件 物理条件 初始条件 边界条件 第一类边界条件 第二类边界条件 第三类边界条件 第一类边界条件 第二类边界条件 第三类边界条件 例题 如图所示边界条件如何界定 通过单层平壁的导热 一无内热源平壁的壁厚为 两个表面温度分别维持均匀而恒定的温度tw1和tw2 假设tw1 tw2 o x tw1 t tw2 1 绘制示意图 2 确定坐标系 3 问题的分析抽象与简化 2 3 1通过平壁的导热 2 3无内热源一维稳态导热问题 dx 4 数学模型 5 解析解 为常值 通过多层平壁的导热 前提假设 满足界面连续条件 常物性 一维稳态无内热源问题 边界条件 采用热阻分析法 串联热阻叠加 计算思路 分热阻 热流密度 引申思考1 如何计算其中第k层的右侧壁温 引申思考2 多层 第三类边界条件下 导热热流量 引申思考3 多层 第三类边界导热问题等效于什么问题 例 一双层玻璃窗 高2m 宽1m 玻璃厚3mm 玻璃导热系数为1 04W m K 双层玻璃间的空气夹层厚度为5mm 夹层空气完全静止 空气导热系数为0 025W m K 如果测得冬季室内外玻璃表面温度分别为15 和5 试求玻璃窗的散热损失 并计较玻璃与空气夹层的导热热阻 解 本题为三层平壁稳态导热问题 采用热阻分析法 可得 如果采用单层玻璃窗 则散热损失为 结论 采用双层玻璃窗可大大减少散热损失 节能降耗 引申思考 空气层越厚越好吗 2 3 2通过圆筒壁的导热 通过单层圆筒壁的导热 无内热源长圆筒壁的壁厚为 两个表面温度分别维持均匀而恒定的温度tw1和tw2 假设tw1 tw2 导热系数为常值 1 绘制示意图 2 确定坐标系 3 问题的分析抽象与简化 tw1 tw2 dr 4 数学模型 5 解析解 tw1 tw2 dr 通过多层圆筒壁的导热 前提假设 满足界面连续条件 常物性 一维稳态无内热源问题 边界条件 采用热阻分析法 串联热阻叠加 计算思路 分热阻 热流量 引申思考1 第三类边界条件下 多层圆筒壁导热热流量 等效于什么过程 引申思考2 通过增加壁厚 一定能起到减少热流量的目的吗 引申思考3 通过球壁的导热如何计算 t q R 一维 稳态导热问题 2 3 3导热速率方程积分法 无内热源问题 第一类边界条件问题 应用条件及应用领域 实例剖析 变导热系数问题 一维 稳态 无内热源 第一类边界条件导热问题适用于处理一维变物性 变导热截面积问题 例题 试采用速率方程积分法获得具有第一类边界条件的球壁 圆筒壁一维稳态无内热源导热问题分析解 2 4具有内热源的一维稳态导热问题 2 4 1具有内热源的平壁导热问题 对流边界条件问题 问题抽象与简化 1 内有均匀的内热源 2 导热系数为常数 3 对称第三类边界条件 确定研究区域与微元体 数学模型 热流分布 温度分布 引申 壁面的温度是多少 定壁温边界条件问题 问题抽象与简化 1 内有均匀的内热源 2 导热系数为常数 3 对称第一类边界条件 确定研究区域 求解方案 1 建立数学模型 常规求解 2 从对称第三类边界条件问题结论出发 3 从边界条件等效性出发 tw已知 tf已知 h 温度分布 热流密度 温度分布 tw已知 tf已知 h 热流密度 例题 核反应堆燃料元件模型 三层平板 中间为 1 14mm的燃料层 两侧均为 2 6mm的铝板 燃料层发热量为1 5 107W m3 1 35W m K 铝板内无内热源 2 100W m K tf 150 水冷 h 3500W m2 K 求各壁面温度及燃料最高温度 解 示意图 研究区域 划分内热源区域与无内热源区域 1 燃料层数学表述 2 铝板层温度 热流分布 一维 稳态 无内热源导热问题 3 燃料层温度分布的确定 2 4 2具有内热源的圆柱体的导热 问题抽象与简化 内有均匀的内热源 导热系数为常数 轴对称第一类边界条件 确定研究区域与微元体 数学模型 tmax t1 r1 r 0 热流分布 温度分布 例 一直径为3mm 长度为1m的不锈钢导线通有200A的电流 不锈钢的导热系数为 19W m K 电阻率为 7 10 7 m 导线周围与温度为110 的流体进行对流换热 表面传热系数h 4500W m2 K 求导线中心温度 解 轴对称 内热源问题 方法一 标准方法 数学模型 例 一直径为3mm 长度为1m的不锈钢导线通有200A的电流 不锈钢的导热系数为 19W m K 电阻率为 7 10 7 m 导线周围与温度为110 的流体进行对流换热 表面传热系数h 4500W m2 K 求导线中心温度 方法二 根据能量守恒定律 确定壁面热流 边界条件转化为第二类边界条件 数学模型 例 一直径为3mm 长度为1m的不锈钢导线通有200A的电流 不锈钢的导热系数为 19W m K 电阻率为 7 10 7 m 导线周围与温度为110 的流体进行对流换热 表面传热系数h 4500W m2 K 求导线中心温度 方法三 根据能量守恒方程 确定壁面温度 边界条件转化为第三类边界条件 数学模型 例 一直径为3mm 长度为1m的不锈钢导线通有200A的电流 不锈钢的导热系数为 19W m K 电阻率为 7 10 7 m 导线周围与温度为110 的流体进行对流换热 表面传热系数h 4500W m2 K 求导线中心温度 计算结果 2 5扩展表面的传热问题 肋片 专门用于强化固体与其临近流体之间传热的扩展表面 按肋片形状分类 按横截面积分类 2 5 1通过等截面直肋的导热 已知条件矩形直肋肋片根部 肋基 温度为t0 且t0 t 肋片与环境的复合表面传热系数为h h和Ac均保持不变 确定研究区域 s x H T0 Ac P L 示意图 物理模型 抽象与简化 Bi 满足条件 Ac P dx 数学模型 微元体 基于能量守恒 控制方程 h和Ac均保持不变 引申思考 此数学问题等效于何种问题 肋基 Ac P s x dx x dx T0 H 肋端 边界条件 数学模型 CASE1 肋端对流换热 温度分布 通式 特解 o H x 方法 肋片总散热量 方法 数学模型 总散热量 温度分布 CASE2 肋端绝热 工程应用中对端部散热的处理 数学模型 散热量 温度分布 CASE 肋端温度已知 数学模型 散热量 温度分布 CASE H 引申思考 什么情况下肋片满足无限长假定 课外练习 试给出针肋 空心管肋的导热问题数学表述 经典例题 P69 例2 8 能量守恒方程 物理模型 数学模型 能量守恒方程 物理模型 数学模