商学院概率统计串讲.doc

概率统计内容串讲 概率统计是研究随机现象统计规律性的数学学科，因为其研究对象的特点，使对它的学习与其他的高等数学课程不太相同。有较多的概念要求掌握，定理内容要求理解，大量公式要求灵活应用，给我们的学习带来一定的困难，所以更需要我们掌握正确的学习方法，有重点地把握知识点，考核点，使学习效果有明显的提高。下面我们逐章进行讲解，每章我会结合几个问题说明内容。本课程的教材一共是九章的内容，共分为两大部分。其中前五章是概率论的内容，后三章是数理统计的范畴这两部分既有区别又有联系，学习时应加以区别，采用不同的方法，注意内在联系。我们先谈谈概率论的主要内容。概率论部分包括随机事件与概率、随机变量及其分布、多维随机变量及其概率分布、随机变量的数字特征、大数定律与中心极限定理共五章内容。第一章随机事件与概率是基础知识，题目大多以填空或单选题出现。首先应理解随机事件的概念，在实际问题中会正确的设出随机事件，这是一个数学建模的过程，很多同学拿到题目，不考虑如何设事件，不考虑事件间的关系，上来就想套公式计算，往往造成混乱，得到错误结果。重点掌握随机事件的关系与运算，概率的概念性质，独立性概念，全概率公式与贝叶斯公式。其中全概率公式与贝叶斯公式要求达到最高的“综合应用”的层次。1.设A与B互为对立事件，且P（A）0，P（B）0，则下列各式中错误的是（）A.P（A）=1-P（B）B.P（AB）=P（A）P（B）C.PD.P（AB）=1 考查对立事件、独立事件的定义，选B2.设A，B为两个随机事件，且P（A）0，则P（ABA）=（选D）A.P（AB）B.P（A）C.P（B）D.13.设P（A）=0.5，P（A）=0.4，则P（B|A）=_.考查条件概率的定义4.设P（A）=，P（AB）=，且A与B互不相容，则P（B）=_。5.设事件A，B相互独立，且P（A）=0.2，P（B）=0.4，则P（AB）=_。6.设事件A与B互不相容，且P（A）=0.4，P（AB）=0.7，则P（）=_.7.设P（A）=0.3，P（B）=P（C）=0.2，且事件A，B，C两两互不相容，则 以上四题考查利用概率性质求解概率8.从0，1，2，3，4五个数中任意取三个数，则这三个数中不含0的概率为_。 古典概率的问题9.一批产品，由甲厂生产的占，其次品率为5%，由乙厂生产的占，其次品率为10%，从这批产品中随机取一件，恰好取到次品的概率为_。 （20件产品中，有2件次品，不放回地从中接连取两次，每次取一件产品，则第二次取到的是正品的概率为_.）全概率公式10.甲、乙两门高射炮彼此独立地向一架飞机各发一炮，甲、乙击中飞机的概率分别为0.4，0.5，则飞机至少被击中一炮的概率为_.考查独立性，设好事件后，很容易得出结果。 第二章随机变量及其分布是非常重要的一章，因为后面几章的内容都是围绕“随机变量”进行讨论的。随机变量在样本空间与实数间架了一座桥，把研究随机现象的规律转化为研究随机变量的取值规律，从而可以借助微积分作为工具解决问题。本章也是同学们理解第三章多维随机变量及第四章数字特征的的基础，学习时应注意相互联系。本章概念较多，一定注意概念间的联系，注重理解概念的内涵，离散型随机变量的分布律较简单，重点掌握两点分布、二项分布、泊松分布的分布律，会相应的计算。分布函数的概念不好理解，要掌握分布函数的概念及性质，离散型随机变量的分布函数与分布率的关系，连续型随机变量的分布函数与其概率密度函数的关系及相互转换（见例6）。连续型随机变量的密度函数的性质可以结合几何意义理解，因为密度函数的定积分是概率，而定积分的几何意义是面积，所以密度函数围成的面积就是概率。掌握正态分布、均匀分布、指数分布的密度函数的特点，会简单应用。本章还会有综合题出现（见例7、8）。例题：1抛一枚均匀硬币5次，记正面向上的次数为X，则PX1=_.二项分布的概率2设随机变量X在区间2，4上服从均匀分布，则P2X3=（）AP3.5X4.5BP1.5X2.5CP2.5X3.5DP4.5X5.5均匀分布用几何意义很容易得解，C3设随机变量X的概率密度为f (x)=则常数c等于（）A-1 B CD1利用概率密度的性质，积分为1，得D4设随机变量XN（1，4），已知标准正态分布函数值（1）=0.8413，为使PXa0.8413，则常数a_. 正态分布5.设随机变量X的概率密度为则P-1X0时，X的概率密度f(x)=_。 已知分布函数求导可得密度7司机通过某高速路收费站等候的时间X（单位：分钟）服从参数为=的指数分布.（1）求某司机在此收费站等候时间超过10分钟的概率p；（2）若该司机一个月要经过此收费站两次，用Y表示等候时间超过10分钟的次数，写出Y的分布律，并求PY1.8设顾客在某银行窗口等待服务的时间X（单位：分钟）具有概率密度某顾客在窗口等待服务，若超过9分钟，他就离开.（1）求该顾客未等到服务而离开窗口的概率PX9；（2）若该顾客一个月内要去银行5次，以Y表示他未等到服务而离开窗口的次数，即事件X9在5次中发生的次数，试求PY=0.以上两题类似。等候时间X是连续型随机变量指数分布，而Y是与X有关的离散型随机变量，事实上是参数n=5和p=PX9二项分布.这样的问题就有一定的难度了，要求熟练掌握几种重要分布。9.正态分布的概率计算第三章多维随机变量及其概率分布是第二章的推广。在熟练掌握第二章内容的基础上进行第三章的学习。注意把两个随机变量作为一个整体来看，就是一个二维随机变量，而它的每一个分量本身还是一个一维随机变量。作为一个二维随机变量，需要整体的描述，要掌握联合分布函数、联合分布律、联合密度函数等概念；而作为它的某一个分量需要用边缘分布、边缘密度、边缘分布律描述。还要掌握它们之间的关系。总的来说，已知联合可以求边缘，反过来，已知边缘不一定能确定联合，只有两个随机变量相互独立时，联合分布与边缘分布可以相互得到。要求会判断随机变量的独立性，另外，二维离散型随机变量函数的分布也要熟练掌握。近几年考题中往往出现二维随机变量有关的大题，所以大家一定要认真对待。例题：1设随机变量X与Y相互独立，且X，Y的分布律分别为X01Y12PP试求：（1）二维随机变量（X，Y）的分布律；（2）随机变量Z=XY的分布律.2.设二维随机变量（X，Y）的分布律为YX-10100.10.30.210.20.10.1，则PX+Y=0=（）A.0.2B.0.3C.0.5D.0.73设二维随机向量（X，Y）的联合分布列为 XY 012120.1a0.20.10.10.2 试求：（1）a的值；（2）（X，Y）分别关于X和Y的边缘分布列；（3）X与Y是否独立？为什么？（4）X+Y的分布列.以上三题涉及到二维离散型随机变量4.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为则常数c=（）A.B. C.2 D.45设二维随机变量（X，Y）的概率密度为f (x, y)=则PX=_. 本质上是求X的边缘密度。6设二维随机变量（X，Y）的概率密度为 则当y0时，（X，Y）关于Y的边缘概率密度fY(y)= _.第四章随机变量的数字特征往往结合上两章内容进行考核。主要掌握数学期望、方差的定义、性质和计算以及常见分布的期望与方差，尤其随机变量的函数的期望的计算要求达到“综合应用”层次。关于方差其实是利用期望给出的定义：D(X)=（该式应用见例7、11）另外，对二维分布领会协方差、相关系数的定义性质及计算。尤其掌握二维正态分布协方差与相关系数，相关性与独立的关系。（见例12、13、14）离散型、连续型和任意随机变量有关概念和公式的比较表对 象离散型变量连续型变量概率分布分布列密度函数分布的性质数学期望EX函数的期望例题：1设随机变量X的分布函数为F(x)= 则E（X）=（）A B CD3如果你能看出X是（2，4）上的均匀分布，问题就非常简单，应选D。如果用连续型随机变量期望的定义求，还要先求出概率密度再求积分，比较麻烦。2.设随机变量X服从参数为2的泊松分布，则下列结论中正确的是（）A.E（X）=0.5，D（X）=0.5B.E（X）=0.5，D（X）=0.25C.E（X）=2，D（X）=4D.E（X）=2，D（X）=23设随机变量X服从参数为2的指数分布，则下列各项中正确的是（）AE（X）=0.5，D（X）=0.25BE（X）=2，D（X）=2CE（X）=0.5，D（X）=0.5DE（X）=2，D（X）=44设随机变量X服从参数为3的指数分布，则D（2X+1）=_.5设随机变量X服从参数为3的泊松分布，YB（8，），且X，Y相互独立，则D（X-3Y-4）=（）A-13B15C19D236设X，Y是任意随机变量，C为常数，则下列各式中正确的是（）AD（X+Y）=D（X）+D（Y）BD（X+C）=D（X）+CCD（X-Y）=D（X）-D（Y）DD（X-C）=D（X）7.设XB（4，），则E（X2）=_。以上几个问题只需记住常用分布的期望与方差，以及期望与方差的性质8.设随机变量X与Y相互独立，且XN（1，4），YN（0，1），令Z=X-Y，则D（Z）=（）A.1B.3C.5D.6X-1012P0.10.20.30.4，9设随机变量X的分布律为 则D（X）=_.10设随机变量X与Y相互独立，且XB（36，），YB（12，），则D（X-Y+1）=（）ABCD11已知随机变量X满足E（X）=-1，E（X2）=2，则D（X）=_.12已知D（X）=1，D（Y）=25，XY=0.4，则D（X-Y）=（）A6B22C30D4613.已知D（X）=4，D（Y）=25，Cov（X，Y）=4，则XY=（）A.0.004B.0.04C.0.4D.414.设E（X）=2，E（Y）=3，E（XY）=7，则Cov（X，Y）=_。15设随机变量X，Y的分布列分别为X123，Y-101PP 且X，Y相互独立，则E（XY）=_.16设随机变量X的概率密度为 试求：（1）E（X），D（X）；（2）D（2-3X）；（3）P0X117设二维随机向量（X，Y）的概率密度为试求： （1）E（X），E（Y）；（2）D（X），D（Y）；（3）XY.18设随机变量X的概率密度为试求：（1）常数c；（2）E（X），D（X）；（3）P|X-E（X）| 0,i=1,2, 则对任意实数x，_.到此为止，概率论内容就介绍完了。下面我们介绍数理统计的内容。统计部分的内容其实比较整齐，每一章是一个模块，只需掌握公式，记清使用的场合，直接应用公式即可解决问题，题目形式上相对也较固定，所以对提高分数十非常有效的。大家在学习时要掌握技巧。数理统计主要是利用从总体中抽取的部分个体的信息对总体进行统计推断。估计和检验是统计推断的两大重要内容。第六章统计量与抽样分布是数理统计的基本概念及一些基本结论,对我们理解后面几章非常有帮助。涉及到的考题很少，不会有大题，但本章的结论在七、八章都会用到，比如样本的均值、方差样本矩在参数点估计时要用到，统计量的抽样分布在区间估计和假设检验中也会用到。要求同学们分清定理条件，理解的基础上记清相应的结果。“分位数和正态总体的抽样分布”要求会简单应用。我们看到这几个例题涉及到的是三大分布的结构，以及正态总体样本均值和样本方差的抽样分布。首先看常用的统计量名 称统计量表达式统计量观测值 样 本均 值 样 本方 差样的k阶矩样k阶中心矩统计中常用三大分布的结构和密度函数的图像2_分布设X服从标准正态分布，则服从自由度为1的2_分布，设独立同分布于N（0，1）则，称这个分布为参数为n的分布，0xyxy02分布密度曲线T分布密度曲线密度函数图像如下T分布设X服从标准正态分布N（0，1），Y服从自由度为n的分布，假设X和Y相互独立，则称所服从的分布为自由度是n的t分布T的密度函数是一个偶函数，其图象关于y轴对称，其形状和标准正态密度的图象相似，当n趋向无穷大时，T的密度函数的极限是标准正态密度F分布设，并且X和Y独立，则称所服从的分布为自由度是n，m的F分布，记作FF（n，m）例题：1设总体XN（,2）,x1,x2,x3,x4为来自总体X的体本，且服从自由度为_的分布.2设随机变量X2（2），Y2（3），且X，Y相互独立，则所服从的分布为（）AF（2，2）BF（2，3）CF（3，2）DF（3，3）3.设总体XN（0，1），x1，x2，xn为来自该总体的样本，则统计量的抽样分布为_。4.设总体XN（1，2），x1，x2，xn为来自该总体的样本，=_。5设总体X服从正态分布N（，2），X1，X2，Xn为来自该总体的一个样本，令U=，则D（U）=_.第七章参数估计主要讲如何利用样本对总体中未知参数进行估计的问题。包括三部分内容：点估计、估计量的评价标准、区间估计。参数估计分为点估计和区间估计两类方法。点估计是找一个统计量估计未知参数的方法，要求矩法估计和极大似然估计都达到简单应用的层次，要求会求未知参数的矩估计和极大似然估计。在学习矩估计时，只需掌握矩估计的原理就是用样本的各阶矩替代总体的各阶矩，以求得未知参数估计的一种方法；极大似然估计是利用极大似然原理，在已知实验结果的基础上求得估计的一种方法。，利用样本的信息去估计总体的未知参数，肯定会有误差，但点估计既不能给出估计的精度又不能给出该估计的可信程度，所以要引出区间估计，也就是利用置信区间估计未知参数的方法。最近几次考试都有一个大题是区间估计问题，所以大家尤其要引起重视。要求理解置信区间的含义，分清场合会代入公式求均值与方差的置信区间。 置信区间的求法设，是取自总体X 的样本，求参数的置信度为的置信区间1总体方差已知，参数的置信区间是参数的点估计，构造随机变量，要求该变量包含待估参数，分布已知且分布中不包含未知参数对给定的置信度，得参数的置信度为的置信区间为 （4）2总体方差未知参数的置信区间是参数的点估计，构造随机变量，对给定的置信度，得参数的置信度为的置信区间为3.参数未知,总体方差的区间估计选取随机变量，已知，对给定的，取临界值和，有 参数的置信度为的置信区间为例题：1.设总体X具有区间0，上的均匀分布（0），x1，x2，xn是来自该总体的样本，则的矩估计=_。2设总体X服从参数为的泊松分布，其中为未知参数.X1，X2，Xn为来自该总体的一个样本，则参数的矩估计量为_.3设总体X服从0，2上的均匀分布（0），x1, x2, , xn是来自该总体的样本，为样本均值，则的矩估计=（）ABCD4设总体X的概率密度为,x1，x2，xn为总体X的一个样本，则未知参数的矩估计=_.5设总体XN（,2）,x1,x2,x3为来自X的样本，则当常数a=_时，是未知参数的无偏估计.6用传统工艺加工某种水果罐头，每瓶中维生素C的含量为随机变量X（单位：mg）.设XN（，2），其中，2均未知.现抽查16瓶罐头进行测试，测得维生素C的平均含量为20.80mg，样本标准差为1.60mg，试求的置信度95%置信区间.（附：t0.025(15)=2.13，t0.025(16)=2.12.）7一台自动车床加工的零件长度X（单位：cm）服从正态分布N（,2），从该车床加工的零件中随机抽取4个，测得样本方差，试求：总体方差2的置信度为95%的置信区间.（附：8设工厂生产的螺钉长度（单位：毫米）XN（,2），现从一大批螺钉中任取6个，测得长度分别为 55，54，54，53，54，54试求方差2的置信度90%的置信区间.（附：（5）=11.07，（5）=1.15）第八章假设检验应重点掌握单个正态总体的均值与方差的假设检验。首先由一个具体实例引出假设检验的基本思想和解题步骤，原理是“小概率原理，即小概率事件在一次实验中几乎不可能发生”，方法类似于反