九年级数学二次函数（一）一周强化人教实验版.doc

二次函数（一）一周强化一、一周知识概括1、二次函数的定义一般地，形如y=ax2bxc(a，b，c为常数，a0)的函数叫做x的二次函数如y=3x2，y=3x22，y=2x2x1等都是二次函数注意：(1)二次函数是关于自变量的二次式，二次项系数a必须是非零实数，即a0，而b，c是任意实数，二次函数的表达式是一个整式；(2)二次函数y=ax2bxc(a，b，c是常数，a0)，自变量x的取值范围是全体实数；(3)当b=c=0时，二次函数y=ax2是最简单的二次函数；(4)一个函数是否是二次函数，要化简整理后，对照定义才能下结论，例如y=x2x(x1)化简后变为y=x，故它不是二次函数2、二次函数y=ax2的图象和性质（1）函数y=ax2的图象是一条关于y轴对称的曲线，这条曲线叫抛物线实际上所有二次函数的图象都是抛物线二次函数y=ax2的图象是一条抛物线，它关于y轴对称，它的顶点坐标是(0，0)当a0时，抛物线y=ax2的开口向上，在对称轴的左边，曲线自左向右下降；在对称轴的右边，曲线自左向右上升，顶点是抛物线上位置最低的点，也就是说，当a0时，函数y=ax2具有这样的性质：当x0时，函数y随x的增大而增大；当x=0时，函数y=ax2取最小值，最小值y=0；当a0时，抛物线y=ax2的开口向下，在对称轴的左边，曲线自左向右上升；在对称轴的右边，曲线自左向右下降，顶点是抛物线上位置最高的点也就是说，当a0时，函数y=ax2具有这样的性质：当x0时，函数y随x的增大而减小；当x=0时，函数y=ax2取最大值，最大值y=0；当|a|越大时，抛物线的开口越小，当|a|越小时，抛物线的开口越大（2）二次函数y=ax2的表达式的确定因为二次函数y=ax2中只含有一个需待定的系数a，所以只需给出x与y的一对对应值即可求出a的值3、二次函数y=ax2c的图象与性质(1)抛物线y=ax2c的形状由a决定，位置由c决定(2)二次函数y=ax2c的图象是一条抛物线，顶点坐标是(0，c)，对称轴是y轴当a0时，图象的开口向上，有最低点(即顶点)，当x=0时，y最小值=c在y轴左测，y随x的增大而减小；在y轴右侧，y随x增大而增大当a0时，向上平行移动，当c0，开口向上抛物线除顶点在x轴上外，其余在x轴上方，并向上无限延伸当|a|变大时，抛物线开口变窄，当|a|变小时，抛物线开口变宽四个图象的顶点都是原点，对称轴都是y轴y=2x2a1，在选取x的值时，每两点相隔半个单位比每两点相隔一个单位画图方便一定要对图象仔细观察，常误认为|a|越大，开口越大，|a|越小，开口越小而实际上恰好相反，即|a|越大，开口越小，|a|越小，开口越大用平滑曲线连接各点时，两点间不能出现直线的情况例3、已知抛物线y=ax2经过点A(2，8)(1)判断点B(1，4)是否在此抛物线上：(2)求出此抛物线上纵坐标为6的点的坐标分析：先把点A(2，8)代入抛物线的表达式y=ax2中，确定a的值，从而确定抛物线y=ax2的表达式，再把B点坐标代入验证是否满足抛物线的表达式，最后将y=6代入表达式，即通过解方程求出横坐标解：(1)把(2，8)代入y=ax2得8=a(2)2a=2抛物线的关系式为y=2x242(1)2，点B(l，4)不在此抛物线上(2)由6=2x2，得，抛物线上纵坐标为6的点有两个，即(，6)和(，6)反思：由于抛物线是轴对称图形，所以除顶点外，每一个y值都对应着两个x值注意不要漏掉一个例4、在同一直角坐标系中，作出二次函数y=2x22和y=2x23的图象，观察图象，可得出哪些结论？解析：按作二次函数图象的三个步骤，列表，描点，连接可分别作出它们的图象，再由它们的形状，开口方向，对称轴，顶点坐标及平移等可得解：（1）列表：x21012y=2x2210.56020610.5y=2x2315.5115351115.5（2）描点；（3）用光滑曲线连接，得两支抛物线设y=2x23和y=2x22观察两函数图象可知：1）、的图象形状相同；2）开口方向相同，都向上；3）对称轴都是y轴；4）的图象顶点坐标是（0，3），的图象顶点坐标是（0，2），其中的图象可以看成是的图象向上平移5个单位得到，反之的图象也可以看成是的图象向下平移5个单位得到5）当x0时，、中y的值随x增大而增大三、难点知识突破1、对二次函数概念的理解例5、已知函数(m是常数)当m为何值时，此函数为二次函数?分析：根据二次函数的定义知m23m2=2且m10即当m=4(m=1不合题意，舍去)时，y=5x23x是二次函数解：由题知m23m2=2，m10，解得m=4当m=4时，此函数为二次函数误区警示：在求解本题时，既要考虑x的最高次项的指数为2，又要考虑它的系数不为0，缺一不可，否则容易犯顾此失彼的错误2、数形结合是数学的重要思想之一，二次函数y=ax2的图象是一条抛物线，它的顶点的纵坐标对应着Y的最值；它的图象与X轴的位置关系对应着Y的符号。下面以两道简单的例题进行说明。例6、求下列函数的最值：（1）y=3x2（2）y=-3x2解析：（1）由y=3x2的图象可知，当x0时，y随x增大而减小，当x0时，y随x增大而增大，因此，顶点为图象的最低点，顶点的纵坐标为y的最小值。（2）同理由y=-3x2的图象可知当x0时，y随x增大而增大，当x0时，y随x增大而减小，因此，顶点为图象的最高点，顶点的纵坐标为y的最大值。3、二次函数Y=ax2c的表达式的确定二次函数y=ax2c的表达式中含有a、c两个字母系数，一般需要两个独立的条件并用待定系数法确定a、c即可有时在实际问题中，还需要根据抛物线的位置和形状来设出函数表达式，再利用待定系数法来确定函数表达式例7、已知抛物线y=ax2c与直线y=xl交于两点A(1，m)和B(n，1)，求抛物线的解析式分析：先由两点A、B在直线y=x1上，分别求得m，n的值，从而得A、B两点的坐标，又抛物线过A、B两点，代入表达式中，解方程组得出结论解：抛物线y=ax2c与直线y=xl交于两点A(1，m)，B(n，1)， A(1，2)，B(2，1)代